八年级初二数学二次根式知识点及练习题及解析

一、选择题
1．
5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数
B ．0≤x≤5
C ．x≥5
D ．x≤5
2．下列运算错误的是（ ） A
= B
．=
C
．
)
2
16=
D
．
)
2
23=
3．
a b =--则（ ） A ．0a b +=
B ．0a b -=
C ．0ab =
D ．2
2
0a b +=
4．
=
a 、x 、y 是
两两不同的实数，则22
22
3x xy y x xy y +--+的值是( )
A ．3
B ．
13
C ．2
D ．
53
5．当4x =
-
的值为（ ）
A ．
1
B
C ．2
D ．3
6．如果关于x 的不等式组0,2
223
x m
x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >
则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
7．下列计算正确的是（ ）
A 6=
± B
．=
C
．6
= D
=（a≥0，b≥0）
8．下列计算正确的是（ ）
A
=
B
=
C
4=
D
3=-
9．下列运算正确的是（
） A
=
B ．(2
8-=
C
1
2
=
D
1=
10．与根式1
x x
--的值相等的是（ ） A ．x -
B ．2x x --
C ．x --
D ．x -
二、填空题
11．若m ＝20161
-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．
12．把31
a a
-
根号外的因式移入根号内，得________ 13．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“
”表示算数平
方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.
14．已知函数1
x f x
x
，那么21
f _____．
15．120654010144152118+++235a b c +的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.
16．下面是一个按某种规律排列的数阵：
1
1第行
3
2
5 6
2第行
7
22
3
10 11 23
3第行 13
15
4
17
32 19
25
4第行
根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．
17．1
4
+⋅⋅⋅=的解是______．
18．已知实数m 、n 、p 满足等式
，则p =__________．
19．=_______．
20．a ，小数部分是b b -=______.
三、解答题
21．观察下列各式子，并回答下面问题．
（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】
（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；
（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】
解：（1 该式子一定是二次根式，
因为n 为正整数，2
(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式
（2
15=16=，
∴1516<
<.
15和16之间． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．
22．
解：设x
222(35)(35)2(35)(35)x =++-++-，即2
35354x =++-+，
x 2=10 ∴x =
10．
∵3535++-＞0，∴3535++-=10． 请利用上述方法，求4747++-的值． 【答案】14 【分析】
根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】
设x =47++47-，
两边平方得：x 2=（47+）2+（47-）2+247?47+-， 即x 2=4+7+4﹣7+6， x 2=14 ∴x =±14．
∵47++47-＞0，∴x =14． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．
23．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】
试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；
（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮
（2（a ＜0）
（3）原式＝a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.
24．-
10 【分析】
先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】
=(2
2
⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
=()212--
10+．
10． 【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．
25．（1）计算：
（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中1
4
a =．
【答案】（1）2）82-a ，【分析】
（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；
（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】
（1）
=
=；
（2）(()8a a a a +--
2228a a a =--+
82a =-,
当14a =
时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．
【点睛】
本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
26．
已知x y =
=求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2)
.y x
x y
+ 【答案】(1) 7
2
;(2)8. 【分析】
计算出
xy=
12
， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把原式变形为2()2x y xy
xy
+-，然后利用整体代入的方法计算.
【详解】
∵x =
，y =
=3
2
∴
xy=1
2
, (1)22x xy y -+ =（x+y ）2-3xy,
=2
132
-⨯ =
72
; (2)
y x x y +
=22
1
2()2281
2
x y xy xy
-⨯
+-==.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区
分，避免互相干扰．
27．2020(1)- 【答案】1 【分析】
先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】
2020(1)-
=1 =1． 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．
28．已知x²+2xy+y²的值. 【答案】16 【解析】
分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算． 本题解析： ∵x² +2xy+y² =(x+y)²，
∴当
∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可． 【详解】
|5|5x x ==-=-， ∴5-x≥0， 解得：x≤5，
故选D ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．
2．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得． 【详解】
A =，此项正确；
B 、=
C 、)2
1516=+=+
D 、)
22743=-=，此项正确；
故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．
3．C
解析：C 【分析】
直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a 与b 中至少有一个为0，进而分析得出答案即可． 【详解】
解:∵a b =--， ∴a-b=-a-b ， 或b-a=-a-b
∴a= -a ，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0ab =． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
4．B
解析：B 【分析】
根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】
由于根号下的数要是非负数，
∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得
，
所以有x=-y ， 即：y=-x ，
由于x ，y ，a 是两两不同的实数， ∴x ＞0，y ＜0． 将x=-y 代入原式得： 原式=
()()()()
2
22
2313
x x x x x x x x +---=
--+-． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．
5．A
解析：A 【分析】
根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 解：原式2
2
232323
23
x x x x
11
23
23
x x
将4x =代入得， 原式
11
423423
2
2
111
3
1
3
3113
33311
3
1=.
故选：A. 【点睛】
本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．
6．C
解析：C 【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02
x m
->得x ＞m ， 解不等式
2
23
x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m ≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
7．D
解析：D
6=，故A 不正确；
根据二次根式的除法，可直接得到2=，故B 不正确； 根据同类二次根式的性质，可知C 不正确；
= （a≥0，b≥0）可知D 正确.
故选：D
8．B
解析：B 【分析】
由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】
解：A A 错误；
B =，故B 正确；
C ==C 错误；
D 3=，故D 错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
9．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．
【详解】
选项A A 错误；
选项B ，(2428-=⨯=，选项B 正确；
选项C 1
24==，选项C 错误；
选项D 1，选项D 错误．
综上，符合题意的只有选项B ．
故选B ．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.
【详解】
由题意可得x 是负数，
所以-x x
-⋅=- 故选：D .
【点睛】
此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x 的符号是负号，这是解题的难点. 二、填空题
11．4030
【分析】
利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m== m==+1，
∴m3-m2-2017m+2015
=m2（m ﹣1）﹣2017m+2015
解析：4030
【分析】
利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.
【详解】
m
m ）， ∴m 3-m 2-2017m +2015
=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015
= ）22017）+2015
=（2017+2015
﹣2
=4030.
故答案为4030.
【点睛】
本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.
12．【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质
【分析】
根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【详解】 解：∵310a
-
≥， ∴0a <，
∴===
故答案为：
a ． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．
13．a+3
【分析】
根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.
【详解】
解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2所示题目（字母代表正数）翻
【分析】
根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.
【详解】
解：根据题意可知图中的甲代表a,
∴图2
∵a ＞0+3.a =
a+3. 【点睛】
本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键. 14．【分析】
根据题意可知，代入原函数即可解答.
【详解】
因为函数，
所以当时， ．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.
解析：2+
【分析】
根据题意可知1x =
，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f x
x ，
所以当1x =时， 211()2221f x ． 【点睛】
本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 15．【解析】
【分析】
根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.
【详解】
∵=
∴，
即．
解得
．
【点睛】
本题考查了
解析：【解析】
【分析】
a ，
b ，
c 的三元方程组，解方程组即可.
【详解】
∴(2
2118=，
即2222118235a b c =+++++．
2222352118,2120,2540,2144,
a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
154181080abc ∴=⨯⨯=．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左
、
.
16．；．
【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．
【详解】
观察表
【分析】
根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．
【详解】
观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3
=
∵第（n-1
，
∴第n （n ≥3且n 是整数）行从左向右数第n-2
个数是
．
．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．
17．9
【解析】
【分析】
设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.
【详解】
设y=，则原方程变形为
，
∴，
即，
∴4y+36-4y=y(y+9)，
即y2+9y-36=0，
∴
解析：9
【解析】
【分析】
设()11111
y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】
设则原方程变形为 ()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴
1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194
y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，
即y 2+9y-36=0，
∴y=-12或y=3， ∵
， ∴
，
∴x=9，
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111
y y y y =-++的应用. 18．5
【解析】
试题解析：由题可知，
∴，
∴，
∴，
①②得，，
解方程组得，
∴．
故答案为：5.
解析：5
【解析】
试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩
， ∴3m n +=，
0=，
∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②
， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，
解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩
， ∴4(1)5p m n =-=--=．
故答案为：5.
19．【分析】
设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是二
t =，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
t =，由算术平方根的非负性可得t ≥0，
则244t =+
8=+
8=+
81)=+
6=+
21)=
1t ∴=．
．
【点睛】
此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
20．【详解】
若的整数部分为a ，小数部分为b ，
∴a=1，b=，
∴a -b==1．
故答案为1．
解析：【详解】
a ，小数部分为
b ，
∴a =1，b 1，
∴
-b 1)=1．
故答案为1．
三、解答题
21．无
22．无
23．无
25．无26．无27．无28．无。