ZW-北师大版八年级上册数学练习：第七章 平行线的证明

第七章单元测试卷
[时间：120分钟分值：150分]
A卷(共100分)
一、选择题(共10个小题，每小题3分，共30分)
1．下列四个命题中是真命题的有()
①同位角相等；②相等的角是对顶角；③直角三角形的两个锐角互余；④三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝30°，则∠2的度数为()
A．60°B．50°C．40°D．30°
第2题图 第3题图
3．如图，∠1＝∠2，∠3＝40°，则∠4的度数为( ) A ．120° B ．130° C ．140° D ．40° 4．在△ABC 中，∠A ＝13∠B ＝1
5∠C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形
5．如图，已知AC ∥BD ，∠CAE ＝30°，∠DBE ＝45°，则∠AEB 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
第5题图第6题图6．如图，直线a∥b，直角三角形按如图放置，∠DCB＝90°.若∠1＋∠B＝70°，则∠2的度数为()
A．20°B．40°C．30°D．25°
7．[2018·黄石]如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝()
A．75°B．80°C．85°D．90°
第7题图第8题图
8．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1＋∠2的关系是()
A．∠A＞∠1＋∠2 B．∠A＝∠1＋∠2
C．∠A＜∠1＋∠2 D．无法确定
9．如图，已知AB∥CD.若∠A＝20°，∠E＝35°，则∠C的度数为()
A．20°B．35°C．45°D．55°
10．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数为()
A．720°B．540°C．360°D．180°
二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)
11．命题“两点确定一条直线”的条件是______________，结论是____________________．
12．如图，若AD∥BE，且∠ACB＝90°，∠CBE＝30°，则∠CAD＝______．
13．[2018·抚顺]将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5＝________．
14．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，且在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于______度．
三、解答题(共6个小题，每小题9分，共54分)
15．将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，求∠AFD的度数．
16．如图，∠PCN＝45°，直线CP与CN分别交AQ，EF于点B，D，∠ABC＝20°，∠CDE＝25°.求证：AQ∥EF.
17．如图，AC平分∠BAD，∠BAC＝∠C，AB∥DE，求证：
(1)AD∥BC；
(2)∠B＝∠D.
18．如图，已知∠HDC与∠ABC互补，∠HFD＝∠BEG，∠H ＝20°，求∠G的度数．
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAD＝40°，并且∠ADE ＝∠AED，求∠CDE的度数.
20.[2018秋·汉阳区期中]如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．
(1)若∠C＝70°，∠BAC＝60°，则∠BED的度数是________；若∠BED＝50°，则∠C的度数是__________．
(2)探究∠BED与∠C的数量关系，并证明你的结论．
B卷(共50分)
四、填空题(共5个小题，每小题4分，共20分)
21．如图，直线MN∥P Q，∠ABM＝30°，∠D＝40°，∠EF Q＝70°，则∠C＋∠E＝__________．
22．如图，将△ABC沿着DE翻折．若∠1＋∠2＝80°，则∠B ＝__________．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠EAC的平分线交于点D，∠ABD和∠BAD的平分线交于点F，则∠AFB的度数为__________.
24．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是两组对边延长线的交点，EG，FG分别平分∠AEB，∠AFD.已知∠ABC＝88°，∠ADC ＝72°，则∠EGF的度数为__________．
25．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点E，EC延长线交∠ABC的外角平分线于点D.若∠D比∠E 大10°，则∠A的度数是__________．
五、解答题(共3个小题，每小题10分，共30分)
26．【探究发现】
(1)如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
图1 图2 图3
【迁移拓展】
(2)如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n
等分线的交点，即∠PBC＝1
n∠ABC，∠PCD＝
1
n∠ACD，试猜想∠P
与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
【应用创新】
(3)已知，如图3，AD，BE相交于点C，∠ABC，∠CDE，∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝__30°__．
27．[2018春·南岗区校级期中]已知AD是△ABC的角平分线(∠ACB＞∠B)，P是射线AD上一点，过点P作EF⊥AD，交射线AB
于点E，交直线BC于点M，
图1 图2
(1)如图1，∠ACB＝90°，求证：∠M＝∠BAD；
(2)如图2，∠ACB为钝角，P在AD延长线上，连接BP，CP，BP平分∠EBC，CP平分∠BCF，∠BPD＝50°，∠CPD＝21°，求∠M的度数．
28．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠B O D，又因∠B O D是△P O D的外角，故∠B O D＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D 之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD，∠B，∠D，∠B Q D之间有何数量关系？(不需证明)
图1图2
图3
参考答案
一、1．B 2.A 3.C
4.C【解析】设∠A＝x°，则∠B＝3x°，∠C＝5x°，
∴x＋3x＋5x＝180，x＝20，
∴∠B＝60°，∠C＝100°.
5．D 6.A
7.A【解析】根据三角形内角和定理，得∠ACD＝180°－(∠BAC ＋∠ABC)＝70°，∴∠CAD＝90°－∠ACD＝20°.∵AE是∠BAC的平
分线，∴∠CAE＝1
2∠BAC＝25°，∴∠EAD＝∠CAE－∠CAD＝25°
－20°＝5°.∴∠EAD＋∠ACD＝5°＋70°＝75°.
8．B 9.D
10.D
答图
【解析】如答图，延长BE交AC于点G.
∵∠CFG是△DEF的外角，∠CGE是△ABG的外角，
∴∠CFG＝∠D＋∠DEF，∠CGE＝∠A＋∠B.
∵∠C＋∠CFG＋∠CGE＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
二、11.通过两点作直线这样的直线只有一条
12. 60°
13. 40°【解析】由三角形内角和定理知，180°－(∠1＋∠2)＋180°－(∠3＋∠4)＋∠5＝180°，整理，得∠5＝(∠1＋∠2＋∠3＋∠4)－180°＝220°－180°＝40°.
14.90
三、15．解：由三角板的性质可知∠EAD＝45 °，∠C＝30°，∠BAC＝∠ADE＝90°.
∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴∠DAF＝∠EAD－∠EAC＝45°－30°＝15°，
∴∠AFD＝180°－∠ADE－∠DAF＝180°－90°－15°＝75°.
16．
答图
证明：如答图，过点C作CG∥AQ，
则∠ABC＝∠1＝20°.
∵∠CDE＝25°，∠PCN＝45°，
∴∠2＝∠PCN－∠1＝25°，即∠2＝∠CDE，∴CG∥EF，
∴AQ∥EF.
17.证明：(1)∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC.
又∵∠BAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD∥BC.
(2)∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DEC.
∵AB∥DE，
∴∠B ＝∠DEC ，
∴∠B ＝∠D .
18．解：∵∠HFD ＝∠BEG 且∠BEG ＝∠AEF ，
∴∠HFD ＝∠AEF ，
∴DC ∥AB ，∴∠HDC ＝∠DAB .
∵∠HDC ＋∠ABC ＝180°，
∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°，
∴AD ∥BC ，∴∠G ＝∠H ＝20°.
19．解：设∠DAE ＝x °，则∠BAC ＝40°＋x °.
∵∠B ＝∠C ，∴2∠C ＝180°－∠BAC ，
∴∠C ＝90°－12∠BAC ＝90°－12(40°＋x °)，
同理∠AED ＝90°－12∠DAE ＝90°－12x °，
∴∠CDE ＝∠AED －∠C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－12x °－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤90°－12（40°＋x °）＝20°.
20. (1)55° 80°
解：(1)∵∠C ＝70°，∠BAC ＝60°，
∴∠ABC ＝50°.
∵AD ，BE 分别是∠BAC ，∠ABC 的角平分线，
∴∠CAD ＝12∠BAC ＝30°，∠DBE ＝12∠ABC ＝25°.
∵∠ADB ＝∠DAC ＋∠C ＝100°，
∴∠BED ＝180°－100°－25°＝55°.
∵∠BED ＝50°，
∴∠ABE ＋∠BAE ＝50°，
∴∠ABC ＋∠BAC ＝2×50°＝100°，
∴∠C ＝80°.
(2)∵AD ，BE 分别是∠BAC ，∠ABC 的角平分线，
∴∠ABE ＝12∠ABC ，∠BAE ＝12∠BAC .
∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAE ＝12(∠ABC ＋∠BAC )＝12(180°－∠C )
＝90°－12∠C .
B 卷
四、21． 140°【解析】 分别过点C ，D ，E 作直线CK ∥MN ，DT ∥CK ，EL ∥DT ，如答图．
答图
∵MN ∥PQ ，
∴CK ∥MN ∥DT ∥EL ∥PQ .
∴∠BCK ＝∠ABM ＝30°，∠KCD ＝∠CDT ，∠DEH ＝∠TDE ，∠HEF ＝∠EFQ ＝70°，
∴∠C ＋∠E ＝∠BCK ＋∠KCD ＋∠DEH ＋∠HEF ＝∠ABM ＋∠D ＋∠EFQ ＝30°＋40°＋70°＝140°.
22． 40°【解析】 设∠BED ＝x °，∠BDE ＝y °，
则x ＝(180°－∠1)×12，y ＝(180°－∠2)×12，
x °＋y °＝12[360°－(∠1＋∠2)]＝12(360°－80°)＝140°，
∴∠B ＝40°.
23． 112.5°
答图
【解析】 如答图，由题知，∠EAC ＝2∠3，∠ABC ＝2∠ABD . 又∵∠3＝∠D ＋∠ABD ，
∠EAC ＝∠C ＋∠ABC ，
∴2∠3＝2∠D ＋2∠ABD ＝∠C ＋∠ABC ，
∴∠C ＝2∠D ，
而∠C ＝90°，∴∠D ＝45°.
又∵∠DAB ＝2∠F AB ，∠ABD ＝2∠1，
∴2∠F AB ＋2∠1＋2∠AFB ＝360°，
∴∠DAB ＋∠ABD ＋2∠AFB ＝360°，
∴180°－∠D ＋2∠AFB ＝360°，
∴∠AFB ＝90°＋12∠D ，而∠D ＝45°，
∴∠AFB ＝90°＋22.5°＝112.5°.
24． 100°
答图
【解析】 如答图，连接EF ，
∠EGF ＝180°－(∠GFE ＋∠GEF )
＝180°－(∠CFE ＋∠CFG ＋∠CEF ＋∠CEG )
＝180°－(∠CFE ＋∠CEF )－(∠CFG ＋∠CEG )
＝180°－(180°－∠ECF )－(∠CFG ＋∠CEG )
＝∠ECF －12(∠CED ＋∠CFB )
＝∠ECF －12(180°－∠ECD －∠CDE ＋180°－∠BCF －∠CBF )
＝∠ECF －12(－360°＋2∠ECF ＋88°＋72°)＝100°.
25． 80°【解析】 ∵∠ABC ＝2∠EBC ，∠CBD ＝12∠CBF ，
∴∠EBC ＋∠CBD ＝
12∠ABC ＋12∠CBF ＝
12(∠ABC ＋∠CBF )＝12∠ABF ＝12×
180°＝90°， 即∠EBD ＝90°，
∴∠D ＋∠E ＝90°.
∵∠D －∠E ＝10°，
∴∠D ＝50°，∠E ＝40°.
∵CE 平分∠ACG ，
∴∠ACG ＝2∠ECG ，
∴∠A ＝∠ACG －∠ABC ＝2∠ECG －2∠EBC ＝2(∠ECG －∠EBC )＝2∠E ＝80°.
五、26．解：(1)∠A ＝2∠P ，理由如下．
∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，
∴∠PBC ＝12∠ABC ，∠PCD ＝12∠ACD ，
∵∠ACD 是△ABC 的外角，∠PCD 是△BPC 的外角， ∴∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∠PCD ＝∠PBC ＋∠P ，
∴12∠ACD ＝12∠ABC ＋12∠A ，
∴12∠ABC ＋12∠A ＝∠PBC ＋∠P ，
∴∠A ＝2∠P ；
(2) ∠A ＝n ∠P ，理由如下．
∵点P 是内角∠ABC 和外角∠ACD 的n 等分线的交点，
∴∠PBC ＝1n ∠ABC ，∠PCD ＝1n ∠ACD .
∵∠ACD 是△ABC 的外角，∠PCD 是△BPC 的外角， ∴∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∠PCD ＝∠PBC ＋∠P ，
∴1n ∠ACD ＝1n ∠ABC ＋1n ∠A ，
∴1n ∠ABC ＋1n ∠A ＝∠PBC ＋∠P ，
∴∠A ＝n ∠P ；
(3) 30°
∵∠ABC ，∠CDE ，∠ACE 的角平分线交于点P ，
∴由(1)的结论知，∠BPC ＝12∠A ＝35°2，∠CPD ＝12∠E ＝25°2，
∴∠BPD ＝∠BPC ＋∠DPC ＝30°.
27．解：(1)∵EF ⊥AD ，
∴∠APF＝∠MCF＝90°，
∵∠AFP＝∠MFC，
∴∠M＝∠P AF，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠M＝∠BAD.
(2)∵∠BPD＝50°，∠CPD＝21°，
∴∠BPC＝71°，
∴∠PBC＋∠PCB＝109°，
∵∠BCF＝2∠PCB，∠EBC＝2∠PBC，
∴∠EBC＋∠BCF＝218°，
∴∠ABC＋∠ACB＝360°－218°＝142°，
∴∠BAC＝180°－142°＝38°，
∴∠DCP＝∠FCP＝∠CPD＋∠CAD＝40°，
∴∠MDP＝∠DPC＋∠DCP＝61°，
∵EF⊥AP，
∴∠MPD＝90°，
∴∠M＝90°－61＝29°.
28．解：(1)以上结论不成立，正确的结论是∠BPD＝∠B＋∠D.理由如下：如答图，延长BP交CD于点E.
答图
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED.
又∠BPD是△PED的一个外角，
∴∠BPD＝∠BED＋∠D，
∴∠BPD＝∠B＋∠D.
(2)结论：∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D.。