职高数学集合的概念

集合的概念
一、教学要求：
1. 理解集合、空集、子集的概念；掌握用符号表示元素与集合的关系；
2. 掌握集合的表示方法.
二、知识要点：
1. 集合的概念:一些能够确定的对象的全体构成的一个整体叫集合.集合中的每一
对象叫元素;元素与集合间的关系用符号“∈”、“∉”表示.常用到的数集有自然数集N （在自然数集内排除0的集合记作N + 或N*）、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R.
2. 集合中元素的特征:
①确定性:a ∈A 和a ∉A,二者必居其一;
②互异性:若a ∈A,b ∈A,则a≠b;
③无序性: {a ，b}和{b ，a}表示同一个集合.
3. 集合的表示方法:列举法、性质描述法、图示法.
4. 集合的分类:
含有有限个元素的集合叫做有限集;含有无限个元素的集合叫做无限集;不含任
何元素的集合叫做空集,记作Φ.
5. 集合间的关系:用符号“⊆”或“⊇”、“⊂（）”或“⊃（）”、“=”表示.
子集:一般地,如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素,那么集合A 叫做集合B 的子集,记作A ⊆B 或B ⊇A,读作A 包含于B,或B 包含 A.即:A ⊆B ⇔x ∈A ⇒x ∈B.
真子集:如果集合A 是集合B 的子集,并且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集,记作A B 或B A.
等集:一般地,如果两个集合的元素完全相同,那么这两个集合相等,集合A 等于集合B,记作A=B.即:A=B ⇔x ∈A ⇔x ∈B.
三、典型例题：
例1:数集A 满足条件:若a ∈A,则有)1(11≠∈-+a A a
a . (1) 已知2∈A,求证:在A 中必定还有另外三个数,并求出这三个数;
(2) 若a ∈R,求证:A 不可能时单元素集合.
例2:已知集合A={a ，a+d ，a+2d},B={a ，aq ，aq 2},若a,d,q ∈R 且A=B,求q 的值.
例3:设A={x| x2+4x=0},B={x| x2+2(a+1)x+a2-1=0}.
(1)若B⊆A,求实数a的值;
(2)若A⊇B,求实数a的值.
四、归纳小结：
1.任何一个集合A都是它本身的子集,即A⊆A;集合A不是集合B的子集,记作
A B或
B A.
2.空集是任一集合的子集,是任一非空集合的真子集.
3.对于集合A、B、C,如果A⊆B, B⊆C,则A⊆C; 如果A B, B C,则A C;
如果A⊆B, B⊆A,则A=B; 如果A=B, 则A⊆B, B⊆A.
4.注意区别一些容易混淆的符号:
①∈与⊆的区别:∈是表示元素与集合之间的关系, ⊆是表示集合与集合之间的
关系;
②a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素a的集合;
③{0}与Φ的区别:{0}表示含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1.下列条件不能确定一个集合的是( )
A.小于100的质数的全体
B.数轴上到原点的距离大于1的点的全体
C.充分接近3的所有实数的全体
D.身高不高于1.7m的人的全体
2.下列命题中正确的是( )
A. {4，5}和{5，4}是两个不同的集合
B.{x∈R| x2+x+1=0}是空集
C.若a∈N,b∈N*,则a+b的最小值为2
D.小于10的偶数集合是有限集
3.集合M={1，2，3，4，5}的子集个数是( )
A.32
B.31
C.16
D.15
4.已知集合M={(0,1)},则( )
A.0∈M
B.1∈M
C.(0,1) ∈M
D.(1,0) ∈M
5.集合{0}与Φ的关系是( )
A.{0}=Φ
B.Φ∈{0}
C.{0}Φ
D.Φ{0}
6.设I为全集,集合A、B⊆I,A∪B=B,则( )
A.A⊇B
B.A⊆B
C.A⊆B
D. A⊇B
7.若集合A={x|kx2+4x+4=0,x∈R}只有一个元素,则A中实系数k的值为( )
A.1
B.0
C.0或1
D.以上答案都不对
8.设P={x| x=n2+1,n∈N},M={x| x=m2-4m+5,m∈N},则集合P与M的关系是( )
A.P=M
B.P M
C.P M
D.不同以上答案
9.设I为全集,且Φ⊂A⊆B⊂I,下列集合中,一定为空集的是( )
A.A∩B
B.A∪B
C.A∩B
D.A∩B
10.设M、N是两个非空集合,则M∪N中的元素x应满足的条件是( )
A.x∈M或x∈N
B.x∈M且x∈N
C.x∈M但x∉N
D.x∉M但x∈N （二）填空题：
11.已知A={x | 1≤x＜4},B={x | x＜a},若A B,则实数a的取值集合为.
12.已知A={1，a，b},B={a，a2，ab},且A=B,则实数a= ,b= .
13.若集合A有n个元素,则其子集个数为.
14.已知非空集合M满足:M⊆{1，2，3，4，5},且若x∈M,则6-x∈M,则满足条件
的集合M的个数是.
（三）解答题：
15.已知集合A={x| ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}.
(1)若A中只有一个元素,求a的值,并求出这个元素;
(2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.
集合的运算
一、教学要求：
理解全集和补集的概念;掌握集合的交、并、补运算.
二、知识要点：
1. 交集:一般地,对于两个给定的集合A 、B,由既属于A 又属于B 的所有元素所构
成的集合,叫做A 、B 的交集,记作A∩B,读作A 交B.即:A∩B ⇔{x|x ∈A 且x ∈B}.
2. 并集:一般地,对于两个给定的集合A 、B,把它们所有的元素合并在一起构成的
集合,叫做A 、B 的并集,记作A ∪B,读作A 并B.即:A ∪B ⇔{x|x ∈A 或x ∈B}.
3. 补集:一般地,如果集合A 是全集U 的一个子集,由U 中的所有不属于A 的元素
构成的集合,叫做A 在U 中的补集,记作A C U (或A ),读作A 在U 中的补集.即:A C U = {x|x ∈U 且x ∉A}.
三、典型例题：
例1:已知集合A={1，3，- x 3},B={1，x+2}.是否存在实数x,使得B ∪(B C U )=A? 实数x 若存在,求出集合A 和B;若不存在,请说明理由.
例2:若A={x|x 2-ax+a 2-19=0},B={x|x 2-5x+6=0},C={x|x 2+2x-8=0}.
(1)若A∩B=A ∪B,求a 的值;
(2)若ΦA∩B 且A∩C=Φ,求a 的值;
(3)若A∩B=A∩C≠Φ,求a 的值.
例3:某校先后举行数理化三科竞赛,学生中至少参加一科的:数学807人,物理739人,化学437人,至少参加两科的:数学与物理593人,数学与化学371人,物理与化学267人,三科都参加的有213人,试计算参加竞赛的学生总数.
四、归纳小结：
1. 交集的性质:A∩A=A;A∩Φ=Φ;A∩B=B∩A;A∩B ⊆A;A∩B ⊆B;如果A ⊆B,则
A∩B=A.
2. 并集的性质:A ∪A=A;A ∪Φ=A;A ∪B=B ∪A;A ⊆A ∪B;B ⊆A ∪B;如果A ⊆B,则
A ∪B=B.
3. 补集的性质:A C A =Φ;ΦA C =A;A ∪A C U =U;A∩A C U =Φ;A A C C U U =)(;
)(B A C U ⋂=A C U ∪B C U ;)(B A C U ⋃=A C U ∩B C U .
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1.下列说法正确的是( )
A.任何一个集合A 必有两个子集
B.任何一个集合A 必有一个真子集
C.A 为任一集合,它与B 的交集是空集,则A,B 中至少有一个是空集
D.若集合A 与B 的交集是全集,则A,B 都是全集
2.设集合A={x| x 2-6x+5＜0},B={x||x-4|≤2},则A∩B=( )
A.{x|1＜x≤6}
B.{x|2≤x ＜5}
C.{x|2＜x≤5}
D.{x|2≤x≤6}
3.设集合A={x| x(x-1)=0,x ∈R},B={x| x 2+x-2=0,x ∈R},则A∩B 是( )
A.{0,1,2}
B.{0}
C.{1}
D.{2}
4.设集合A={(x,y)| 4x+y=6},B={(x,y)| 3x+2y=7},则集合A∩B 是( )
A.{(1,2)}
B.{1,2}
C.{(2,1)}
D.{(-1,-2)}
5.集合A={}110|-≤≤-∈x Z x x 且,B={}5|||≤∈x Z x x 且,则A ∪B 中的元素个数( )
A.11
B.11
C.16
D.15
6.设全集U=R,集合M={x| -3≤x ＜2},P={x| x≥0},则)(P M C U =( )
A.{x| 0≤x ＜2}
B.{x| x≥2}
C.{x| x ＜0或x≥2}
D.{x| x≤0或x ＞2}
7.已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8},A={3，4，5},B={1，3，6},那么集合{2，
7，8}是( )
A.A ∪B
B.A∩B
C.B A ⋃
D.B A ⋂
8.已知集合A={a 2，a+1，-3},B={a-3，2a-1，a 2+1},若A∩B={-3},则实数a 的值是( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
9.设全集为U,对任意子集合A,B,若A B,则下列集合为空集的是( )
A.A∩(B C U )
B.(A C U )∩(B C U )
C.(A C U )∩B
D.A∩B
（二）填空题：
10. 设集合A={x|x+8＞0},B={x|x-3＜0},C={x|x 2+5x-24＜0},(x ∈R),则集合A 、B 、C 的关系是 .
11. 设A={x||x-a|≤2},B={x|x 2-6x+8≥0},且A∩B=Φ,则a 的取值范围是 .
12. 已知A={x|-2≤x≤4},B={x|x ＞a},若A∩B≠Φ,A ∪B≠B,则a 的取值范围是 .
13. 若集合A 和集合B 满足A ∪B=A∩B,则A 与B 的关系是 .
14. 设M={x|x 2-2x+p=0},N={x|x 2+qx+r=0},且M∩N={-3},M ∪N={2，-3，5},则实数p= ,q= ,r= .
15. 已知集合A={1，2，3，x},B={x 2，3},且A ∪B=A,试求x 的值.
简易逻辑
一、教学要求：
理解推出、充分条件、必要条件和充要条件.
二、知识要点：
1. 推出:①如果p,则q(真命题);②p ⇒q;③p 是q 的充分条件;④q 是p 的必要条件. 这四句话表述的是同一逻辑关系.
2. 充要条件:①p ⇔q;②p 是q 的充要条件;③q 当且仅当p;④p 与q 等价. 这四句话表述的是同一逻辑关系.
三、典型例题：
例:甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,则丁是甲的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
四、归纳小结：
1. 命题联结词中,“非p”形式复合命题的真假与p 的真假相反;“p 且q”形式复合命
题当p 与q 同时为真时为真,其它情况时为假;“p 或q”形式复合命题当p 与q 同时为假时为假,其它情况时为真.
2. 符号“⇒”叫作推断符号,符号“⇔”叫作等价符号.
五、基础知识训练：
1.在下列命题中,是真命题的是( )
A.x ＞y 和|x|＞|y|互为充要条件
B.x ＞y 和x 2＞y 2互为充要条件
C.a 2＞b 2 (b≠0)和2211b
a >互为充要条件D.
b a 4131-<-和4a ＞3b 互为充要条件 2.设A={x|x 具有性质p},B={x|x 具有性质q},则下列每组命题不等价的是( )
A.A∩B 和“p 且q”
B.A ∪B 和“p 或q”
C.A ⊆B 和“p ⇔q”
D.A=B 和“p ⇔q”
3.如果命题p 、q 都是真命题,在下列命题中:
①p ∨q ②p ∧q ③q p ∨ ④q p ∧ ⑤q p ∨ ⑥q p ∧真命题的个数是（）
A.1
B.2
C.4
D.6
4. “a ＜b ＜0”是“b
a 11>”成立的( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.既不充分又不必要条件
5.“A∩B=A”是“A=B”的( )
A.充分必要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件
D.既不充分又不必要条件。