向量减法运算及其几何意义 课件

方法归纳
用已知向量表示其他向量的三个关注点 (1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三 角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结 合律、交换律来分析解决问题． (3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形 ABCD 中，A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
类型一 向量的减法运算
[例 1] 化简下列各式： (1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C.
【解析】 (1)解法一：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O) ＋(O→M＋M→B)＝A→O＋O→B＝A→B.
解法二：原式＝A→B＋M→B＋B→O＋O→M ＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋M→O＋O→M＝A→B＋0＝A→B. (2)解法一：原式＝D→B－D→C＝C→B. 解法二：原式＝A→B－(A→D＋D→C)＝A→B－A→C＝C→B.
B＝B→A就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于 加上这个向量的相反向量，即 a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向 量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，
防止混淆． 3．以平行四边形 ABCD 的两邻边 AB、AD 分别表示向量A→B＝
向量减法运输及其几何意义
1．相反向量 与 a 长度相等，方向相反的向量，叫作 a 的相反向量，记作－
a. (1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0. (2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝0. (3)如果 a，b 是互为相反的向量，则 a＝－b，b＝－a，a＋b＝
0.
2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向 量的相反向量． (2)几何意义：已知 a，b，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B ＝b，则B→A＝a－b，即 a－b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量．
[化解疑难] 1．准确理解向量减法的几何意义 (1)向量减法是向量加法的逆运算． 设 x＋b＝a，则 x＝a－b，如图，设O→A＝a， O→B＝b.由向量加法的三角形法则可知O→A＝O→B＋B→A， ∴B→A＝O→A－O→B＝a－b. (2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终 点，方向指向被减的向量．
a，A→D＝b，则两条对角线表示的向量为A→C＝a＋b，B→D＝b－a，D→B ＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．
(3)以向量A→B＝a，A→D＝b 为邻边作平行四边形 ABCD，则两条 对角线的向量为A→C＝a＋b，B→D＝b－a，D→B＝a－b.
2．若 a，b 是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义比较，如 图所示，设O→A＝a，O→B＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量 减法的三角形法则，有O→C＝a＋b，B→A＝a－b.因为四边形 OACB 是 平行四边形，所以|a＋b|＝|O→C|，|a－b|＝|B→A|分别是以 OA，OB 为 邻边的平行四边形的两条对角线的长．
OD，则A→D＝b－c，所以O→D＝O→A＋A→D＝a＋b－c. 解法二：如图②，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b，
连接 OB，则O→B＝a＋b，再作O→C＝c，连接 CB，则C→B＝a＋b－c.
解法三：如图③，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，A→B＝b， 连接 OB，则O→B＝a＋b，再作C→B＝c，连接 OC，则O→C＝a＋b－c.
【解析】 由题意知，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→E＝d，E→A＝ e，则
(1)D→B＝D→E＋E→A＋A→B＝a＋d＋e. (2)D→B＝C→B－C→D＝－B→C－C→D＝－b－c. (3)E→C＝E→A＋A→B＋B→C＝a＋b＋e. (4)E→C＝－C→E＝－(C→D＋D→E)＝－c－d.
方法归纳 1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和． (2)起点相同且为差． 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
类型二 已知向量作差向量 [例 2] 如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 a＋b－c.
【解析】 解法一：如图①，在平面内任取一点 O，作O→A＝a， O→B＝b，O→C＝c，连接 BC，则C→B＝b－c.过点 A 作 AD 綊 BC，连接
方法归纳
求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如 a－b，可以先作－b，然 后作 a＋(－b)即可． (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重 合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
类型三 用已知向量表示其他向量 [例 3] 如图，解答下列各题： (1)用 a，d，e 表示D→B； (2)用 b，c 表示D→B； (3)用 a，b，e 表示E→C； (4)用 d，c 表示E→C.