八年级数学下册四边形平行四边形平行四边形的判定利用对角线判定平行四边形练习新版湘教版

[222 第2课时利用对角线的关系判定平行四边形]课堂达标夯实基础过关检测
一、选择题
1. 下列命题中，真命题有（）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A. 3个B . 2个C . 1个D . 0个
2. 如图K—14 —1,在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,下列不能判定四边
形ABCD是平行四边形的是链接听课例1归纳总结（）
A. AB// DC AD= BC B . AB// DC AD// BC
C. AB= DC AD= BC D . 0A= 0C 0B= OD
3. 在四边形ABCD中 ,对角线AC BD相交于点0,给出下列四个条件：① AD// BC;②
AD= BC;③0A= 0C④0B= 0D从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有
（）
A. 3种B . 4种C . 5种D . 6种
二、填空题
4. _____________________________________________________ 如图K—14—2 所示，0A= 0C BD= 16 cm,则当0B= ___________________________________ cm 时，四边形ABCD是平行四边形•链接听课例1归纳总结
图K—14—2
5. 将两根木条AC BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD为平行四边形，理
由是_______________________________________________________________________________
6. 如图K—14—3所示，
在?ABCD中，已知两条对角线相交于点0, E, F, G H分别是
A0 B0, C0 D0的中点，以图中的点（包括？ABCD勺四个顶点）为顶点最多可以画出____________ 个平行四边形（？ ABCD 除夕卜），它们是
图K—14 -3
7•已知三条线段的长分别为10, 14 , 20,以其中两条为对角线，其余一条为边可以画
出_______ 个平行四边形.
三、解答题
&如图K—14—4,四边形ADBC勺对角线AB与CD相交于点0, AC// DB, AO BQ E , F
分别是QC QD的中点•求证：四边形AEBF是平行四边形.链接听课例1归纳总结
图K—14 —4
9. 2020 •西宁如图K- 14—5 ,在四边形ABCD中 , AC BD相交于点O, Q是AC的中点, AD// BC, AC= 8 , BD= 6.
(1) 求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2) 若AC丄BD,求四边形ABCD的面积.
图K—14—5
10. 如图K —
14- 6，在？ABCD 中，E , F 是对角线 AC 上的两点，且 AE = CF. 求证：DE = BF , BE = DF.
11. 如图K — 14 — 7, O 是？ABCD 的对角线的交点，过点 O 的直线EF 分别交AD, BC 于 F , E 两点，连接AE, CF.
12. 在?ABCD 中, O 是对角线AC 的中点，EF 过点0,分别与AD BC 相交于点E , F , GH 过点0,分
别与AB, CD 相交于点G, H 连接EG FG FH, EH.
(1) 如图K — 14- 8①，求证：四边形 EGFH 是平行四边形；
(2) 如图②，若EF// AB, GH// BC 在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有 与四边形AGHD 面积相等的平行四边形.
求证：四边形 AECF 是平行四边形.
图 K — 14— 7
13. 如图K—14—9,在四边形ABCD中 , / A=Z ABC= 90° , AD= 1 , BC= 3 , E是边CD 的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点 F.
(1) 求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2) 若厶BCD是等腰三角形，求四边形BDFC勺面积.
图K—14—9
已知P是Rt△ ABC的斜边AB上的一个动点（不与点A, B重合），Q% AB的中点，分别过点A, B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F.
⑴当点P与点Q重合时，如图K—14- 10①，连接AF, BE.求证：四边形AEBF是平行四边形；
（2）当点P与点Q不重合时，如图K—14—10②，求证：△ QEF是等腰三角形.
①②备用图
图K—14—10
详解详析
课堂达标
1. B
2.A
3.B
4.8
5•对角线互相平分的四边形是平行四边形
6. 3 ?EFGH ?AFCH ?BGDE
7. 2
& 证明：•••AC// DB
•••/ ACO=Z BDO.
在厶AOC W^ BOD中 ,
•••/ ACO=Z BDO / AOC=Z BOD
AO= BO
•△AOC^A BOD(AAS)
•OC= OD.
••• E, F分别是OC OD的中点，
1 1
•OE= 2OC OF= 2OD
•OE= OF.
又•••AO= BQ
•四边形AEBF是平行四边形.
9. 解：⑴证明：T O是AC的中点，
•OA= OC.
T AD// BC, •/ ADO=Z CBO.
在厶AOD^A COB中 ,
•••/ ADO=Z CBO / AOD=Z COB OA= OC
•△AOD^A COB
•OD= OB
•四边形ABCD是平行四边形.
⑵•/四边形ABCD是平行四边形，ACL BD,
1 1 1
•?ABCD的面积=△ CAD的面积+ △ ABC的面积=-AC- ODF ㊁人。

OB= ?AC・ BD= 24.
10. 证明：连接BD交AC于点O.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA= OC OB= OD.
又因为AE= CF,所以OA- AE= OC- CF,
即OB OF,
所以四边形BEDF是平行四边形，
所以DP BF, BP DF.
11 •证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD// BC, AO= CO
所以/ FAO=Z ECO两直线平行，内错角相等).
在厶AOFm COE中,
/ FAO=Z ECO
AO= CO
/ AOF=Z COE
所以△ AOF^A COE 所以OF= OE.
又因为AO= CO
所以四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
12. 解：⑴ 证明：•••四边形ABCD是平行四边形，••• OA= OC AD// BC, •••/ EAO=Z FCO.又•••OA= OC / AOE=Z COF
•△OAE^A OCF
•OE= OF.同理OG= OH
•四边形EGFH是平行四边形.
(2) ?GBCH ?ABFE ?EFCD ?EGFH.
13. 解：⑴证明：•••/ A=Z ABC= 90° ,
•AF/ BC
•••/ CBE=Z DFE / BCE=Z FDE.
••• E是边CD的中点，
•CE= DE.
在厶BCE^n^ FDE中，
/ CBE=Z DFE
/ BCE=Z FDE
CE= DE,
•••△BCE^A FDE(AAS),
•BE= FE.
又•••CE= DE,
•四边形BDFC是平行四边形.
(2)若厶BCD是等腰三角形：
①若BD= BC= 3,在Rt △ ABD中，
AB= BD—A^= 9- 1 = 2 2 ,
•••四边形BDFO的面积S= 2 2 X 3 = 6 2;
②若BD= CD,过点D作BC的垂线，则垂足为BC的中点，不符合题意；
③若BC= CD,过点D作DGL BC,垂足为G,所以CG= 2.
在Rt △ CDG中,
DG=寸CD—CG= • 9—4= 5,
•四边形BDFO的面积S= 3 5.
综上所述，当△ BCD是等腰三角形时，四边形BDFQ的面积为6 2或3 5.素养提升
证明：（1）T Q为AB的中点，
•- AQ= BQ.
•/ BF丄CP, AE丄CP,
•BF// AE,Z BFQ=Z AEQ.
在厶BFQA AEQ中 ,
•••/ BFQ=Z AEQ / BQF=Z AQE BQ= AQ
•△BFQ^A AEQ
•QF= QE.
又•••AQ= BQ
•四边形AEBF是平行四边形.
⑵如图，延长FQ交AE于点D.
•/ BF丄CP, AE丄CP,
•AE/ BF,
•/ FBQ=Z DAQ.
在厶FBQA DAC中 ,
•••/ FBQ=Z DAQ BQ= AQ / BQF=Z AQD
•△FBQ^A DAQ
•QF= QD.
••• AE丄CP,
•EQ是Rt△ DEF斜边上的中线，QE= QF= QD
•••△ QEF是等腰三角形.。