(北师大版2019课标)高中数学必修第一册 第七章综合测试(含答案)

第七章综合测试
一、选择题（每小题5分，共40分） 1.下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数01x
y a a a =≠（＞且）在
定义域上是增函数. A .①③
B .①④
C .②④
D .③④
2.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的（ ） A .①②
B .①③
C .②③
D .①②③
3.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数（a ，b ，c ）称为勾股数.现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数满足2b a c =+的概率为（ ） A .2
5
B .79
C .78
D .
910
4.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知
()12P A =
，()1
6
P B =，则“出现奇数点或2点”的概率为（ ） A .16
B .1
3
C .12
D .2
3
5.下列试验属于古典概型的有（ ）
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率； ②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数； A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
6.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ） A .23
B .25
C .35
D .
910
7.某运动会期间，从来自A 大学的2名志愿者和来自B 大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是（ ） A .
115
B .25
C .35
D .
1415
8.一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1
3
，遇到红灯时停留的时间都是2 min .则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为（ ） A .13
B .
227
C .
427
D .
527
二、多选题（每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
9.在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A ，B 发生的概率相等，则称A 和B 是“等概率事件”，如：随机抛掷一枚骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”.关于“等概率事件”，以下判断正确的是（ ）
A .在同一个古典概型中，所有的样本点之间都是“等概率事件”
B .若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”
C .因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件”
D .同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”
10.某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
A .顾客购买乙商品的概率最大
B .顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C .顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率约为0.3
D .顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3
11.某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：
C ，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ） A .()0.55P A =
B .()0.18P B =
C .()0.27P C =
D .()0.55P B C +=
12.一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是（ ） A .任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是1
2
B .每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C .每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是12
D .每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16 三、填空题（每小题5分，共20分） 13.若A ，B 是相互独立事件，且()12P A =
，()2
3
P B =，则()P AB =________，()P AB =________.
14.《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题.现拟编试题如下：已知甲、乙、丙、丁四县向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为________.
15.用红、黄、蓝三种不同颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是________，3个矩形颜色都不同的概率是________.
16.在一次数学考试中，第.设4名学
生选做这两题的可能性均为1
2
.则其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率为________；甲、乙2名学生都
选做第22题的概率为________.
四、解答题（共70分）
17.（10分）某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如表所示：
（1
（2）求至少有3个人培训的概率.
18.（12分）用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径（单位：cm）检验，结果如表：
从这100
（1）事件A：螺母的直径在（6.93，6.95]内；
（2）事件B：螺母的直径在（6.91，6.95]内；
（3）事件C ：螺母的直径大于6.96.
19.（12分）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢. （1）若以A 表示和为6的事件，求P （A ）；
（2）现连玩三次，若以B 表示甲至少赢一次的事件，C 表示乙至少赢两次的事件，试问B 与C 是否为互斥事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由.
20.（12分）A ，B 两个箱子分别装有标号为0，1，2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示.
（1）从A ，B 箱中各取12x =的概率；
（2）从A ，B 箱中各取1张卡片，用y 表示取出的2张卡片的数字之和，求0x =且2y =的概率.
21.（12分）某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级.若4S ≤，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标如表：
（1）利用表中提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品.
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率.
22.（12分）某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层随机抽样检查，测得身高（单位：cm）频数分布表如表1、表2.
表1：男生身高频数分布表
表2
（1
（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；
（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，求这2人中至少有1人的身高在[165，180）内的概率.
第七章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】C
【解析】②④是随机事件，①是必然事件，③是不可能事件. 2．【答案】A
【解析】从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，所有的样本点为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑.除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立.除“两球都为白球”和“两球恰有一白球”外，还有其他事件，如无白球，故②与“两球都为白球”互斥但不对立.③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥. 3．【答案】A
【解析】从这10组勾股数随机抽取1组，共10种抽取方法，其中满足2b a c =+的有：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（15，20，25），共4种，故所求概率为42
105
P ==. 4．【答案】D
【解析】因为“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，所以()()111263
P P A P B =+=+=. 5．【答案】B
【解析】古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性，①符合两个特征，是古典概型；②中的样本点的个数无限多；对于③，出现“两正”“两反”“一正一反”的可能性不相等，故不是古典概型. 6．【答案】D
【解析】事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的总的样本点的个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率1911010
P =-=. 7．【答案】C
【解析】用列举法可得样本空间中样本点的总数为15，所求概率的事件包括的样本点的个数为9，所以
93155
P =
=. 8．【答案】C
【解析】设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A ，因为事件A 等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为
()1114
33327
P A ⨯⨯=
=（1-）（1-）. 二、
9．【答案】AD
【解析】对于A ，由古典概型的定义知，所有样本点的概率都相等，故所有样本点之间都是“等概率事件”，故A 正确；对于B ，如在1，3，5，7，9五个数中，任取两个数，所得和为8和10这两个事件发生的概率相等，故B 错误；对于C ，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C 不正确；对于D ，同
时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为3
8
，“仅有两个正面”包含3种结果，其概率为38
，故这两个事件是“等概率事件”，故D 正确. 10．【答案】BCD
【解析】对于A ，由于购买甲商品的顾客有685位，购买乙商品的顾客有515位，故A 错误；对于B ，因为从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
200
0.21000
=，故B 正确；对于C ，因为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为
100200
0.31000
+=，故C 正确；对于D ，因
为从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有183位顾客仅购买1种商品，所以顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.1830.2＜，故D 正确. 11．【答案】ABC
【解析】由题意可知，()550.55100P A ==
，()18
0.18100
P B ==，
事件A B +与事件C 为对立事件，且事件A ，B ，C 互斥，所以()()()()110.27P C P A B P A P B =+==---，()()()0.45P B C P B P C +=+=. 12．【答案】ACD
【解析】记4件产品分别为1，2，3，a ，其中a 表示次品.A 选项，样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，a ），（2，3），（2，a ），（3，a ）}，“恰有1件次品”的样本点为（1，a ），（2，a ），（3，a ），因此其概率31
62
P =
=，A 正确；B 选项，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω={（1，2），（1，3），（1，a ），（2，1），（2，3），（2，a ），（3，1），（3，2），（3，a ），（a ，1），（a ，2），（a ，3）}，因此()12n Ω=，B 错误；C 选项，“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6，其概率为
1
2
，C 正确；D 选项，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，a ），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a ），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，a ）}，因此()16n Ω=，D 正确. 三、 13．【答案】
16 1
6
【解析】因为()()1
22
3P A P B ==，，所以()()11122P A P A =-=-=1，()21
133
P B =-=.因为A ，B 相互独立，所以A 与B ，A 与B 相互独立，所以()()()111
236
P AB P A P B ==⨯=，
()()()111
236
P AB P A P B ==⨯=.
14．【答案】
1
6
【解析】依题意，所有的样本点为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的样本点数有24种，
其中满足条件的样本点为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4
种，故所求概率为
41246=. 15．【答案】19 2
9
【解析】以“红黄蓝”表示从左到右三个矩形所涂的颜色，则所有的样本点有：红红红、红红黄、红红蓝、红黄红、红黄黄、红黄蓝、红蓝红、红蓝黄、红蓝蓝、黄红红、黄红黄、黄红蓝、黄黄红、黄黄黄、黄黄蓝、黄蓝红、黄蓝黄、黄蓝蓝、蓝红红、蓝红黄、蓝红蓝、蓝黄红、蓝黄黄、蓝黄蓝、蓝蓝红、蓝蓝黄、蓝蓝蓝，共27个样本点，事件“3个矩形颜色都相同”所包含的样本点有：红红红、黄黄黄、蓝蓝蓝，共3个，所以3个矩形颜色都相同的概率是
31
279
=.事件“3个矩形颜色都不同”所包含的样本点有：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝黄红、蓝红黄，共6个，所以3个矩形颜色都不同的概率是62279
=. 16．【答案】
12 1
4
【解析】设事件A 表示“甲选做第22题”，事件B 表示“乙选做第22题”，则甲，乙2名学生选做同一道题
的事件为“
AB AB +”，且事件A ，B 相互独立，所以
()()()()()11111
1122222
P AB AB P A P B P A P B +=+=⨯+-⨯-=（）（）.所以甲、乙2名学生选做同一道题的
概率为12；因为()()111224P A P B =⨯=，所以甲、乙2名学生都选做第22题的概率为1
4
. 四、
17．【答案】（1）设“有2人及以下培训”为事件A ，“有3人培训”为事件B ，“有4人培训”为事件C ，“有5人培训”为事件D ，“有6人及以上培训”为事件E ，所以“有4个人或5个人培训”的事件为事件C 或事件D ，A ，B ，C ，D ，E 为互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式可知
()()()0.30.10.4P C D P C P D =+=+=.
（2）“至少有3个人培训”的对立事件为“有2人及以下培训”，所以由对立事件的概率可知
()110.10.9P P A =-=-=.
18．【答案】（1）螺母的直径在（6.93，6.95]内的频数为261541A n =+=，所以事件A 的频率为41
0.41100=. （2）螺母的直径在（6.91，6.95]内的频数为1717261575B n =+++=.所以事件B 的频率为75
0.75100
=.
（3）螺母的直径大于6.96的频数为224C n =+=，所以事件C 的频率为4
0.04100
=.
19．【答案】（1）甲、乙出手指都有5种可能，因此样本点的总数为5525⨯=，事件A 包括甲、乙出的手指
的情况有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3）共5种情况，所以()51
255
P A =
=. （2）B 与C 不是互斥事件.因为事件B 与C 可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件.
（3）这种游戏规则不公平.和为偶数的样本点的个数为13个，（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）.所以甲赢的概率为
13
25
，乙赢的
概率为
13
25
.所以这种游戏规则不公平. 20．【答案】（1）记事件A ={从A ，B 箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}.样本点的总个数为
6530⨯=，事件A 包含样本点的个数为5.由古典概型的概率公式得()51306P A =
=.则2x =的概率为1
6
. （2）记事件B ={从A ，B 箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}.事件B 包含的样本点的个数为10.由古典概型的概率公式得()101303P B =
=.则0x =且2y =的概率为1
3
. 21．【答案】（1）计算10件产品的综合指标S ，如表：
其中4S ≤的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为0.610
=，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
（2）①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种.
②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能
结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种.所以()62155P B ==. 22．【答案】（1）设高一女生人数为x ，由题中表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则70040
30
x x -=，
解得300x =.因此高一女生的人数为300.
（2）由题中表1和表2可得样本中身高在[165，180）的男、女生人数分别为32，10，其和为42.样本容量
为70.所以样本中该校学生身高在[165，180）的概率为423
705
=.估计该校学生身高在[165，
180）的概率为35. （3）由题中表格可知：女生身高在[165，180）的概率为1
3
.男生身高在[165，180）的概率为45，所以这2
人中至少有1人的身高在[165，180）内的概率为41414113
1153535315
⨯-+-⨯+⨯=（）（）.。