函数的零点问题

函数的零点问题 黄雨荞
判断下列函数在给定区间是否存在零点．
（1）f （x ）=x ^2-3x-18，x ∈[1，8]；
（2）f （x ）=log2（x+2）-x ，x ∈[1，3]．
解：（1）方法一：令f （x ）=0得x2-3x-18=0，x ∈[1，8]
所以（x-6）（x+3）=0，
所以x=6∈[1，8]，x=-3∉[1，8]，
故f （x ）=x2-3x-18，x ∈[1，8]存在零点．
方法二：因为f （1）=-20＜0，f （8）=22＞0，所以f （1）•f （8）＜0故f （x ）=x2-3x-18，x ∈[1，8]存在零点．
（2）方法一：因为f （1）=log 23-1＞log 22-1=0，f （3）=log 25-3＜log 28-3=0， 所以f （1）•f （3）＜0，
故f （x ）=log2（x+2）-x ，x ∈[1，3]存在零点
方法二：设y=log2（x+2），y=x ，在同一直角坐标系中画出它们的图象， 从图象中可以看出当1≤x ≤3时，两图象有一个交点，
因此f （x ）=log2（x+2）-x ，x ∈[1，3]存在零点．
讨论：利用函数零点的存在定理确定出零点是否存在，或者通过解方程、数形结合解出其零点，（1）可以利用零点的存在性定理或直接求出零点，
（2）可以利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来确定函数是否有零点． 对函数零点存在的判断中,必须强调:
(1)f(x)在［a,b ］上连续;
(2)f(a)·f(b)<0;
(3)在（a,b ）内存在零点.
事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.
练习：设函数 (x>0),则y=f(x) （ ） A.在区间 (1,e)内均有零点 B.在区间 (1,e)内均无零点 C.在区间 内有零点，在区间(1,e)内无零点 D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点 ),1,e 1(),1,e 1(),1,e 1(),1,e 1()1()e 1(f f ∙,0)1e
31(31)1ln 31()e 1ln e 131(>+=-∙-∙=
解：因为
因此f(x)在 内无零点，
因此f(x)在(1，e)内有零点.
答案 D
)1,e 1(.093e lne)e 31()1ln 131((e))1(<-=-∙-⨯=∙f f 又。