量子力学第二章算符理论

量⼦⼒学第⼆章算符理论
第⼆章（⼀维）算符理论
本章提要：本章从线性变换和微分算⼦出发，建⽴算符理论统⼀它们来处理「观测⾏为」，引⼊观测公设。

接着，从观测值=本征值为实数的要求出发，找到了符合条件的厄⽶矩阵来描述⼒学量，引⼊算符公设。

之后介绍了运算法则、基本的位置和动量算符、复合算符的对易⼦、哈密顿算符等。

最后，作为对上述内容的综合应⽤，讨论了不确定性原理。

1.算符：每⼀个可观测量，在态空间中被抽象成算符。

在态空间中，观测⾏为被抽象为，某可测量对应的算符「作⽤」在态⽮量上
①线性变换：线性代数告诉我们，⼀个线性变换「作⽤」到n 维向量上会获得⼀个新的n 维向量，这等价于⼀个n 阶⽅阵「作⽤」在n ⾏1列矩阵上得到新的n ⾏1列矩阵，⽤数学语⾔可表⽰为()Ta b T =?=αβ。

总之，⽅阵与线性变换⼀⼀对应。

由于⽅阵性质⽐矩阵更丰富，我们将只研究⽅阵。

②微分算⼦：在微积分中2222,,,i
i x f x f dx f d dx df 也可简写成f f f D Df 22,,,??。

前两种在解
欧拉⽅程和⾼阶⽅程式时常⽤，后两种则经常出现在⽮量分析中。

简写法可看作是微分算⼦「作⽤」在函数上，我们知道它遵守加法和数乘法则，是⼀种线性运算
③本征值和本征⽮：在矩阵⽅程x Ax λ=中，把λ称为矩阵本征值，x 称为矩阵的本征⽮④本征值和本征函数：在微分⽅程f f D mix
µ=中，把µ称为问题本征值，f 称为本征函数
⑤线性算符：现在把上述概念统⼀为线性算符理论。

考虑⼀个可测量Q ，定义它的对应算符为Q ?，它的本征⽅程是ψ=ψλQ
或λψψ=Q ?，把λ称为算符的「本征值」，λ的取值集合称为算符的「谱」，ψ称为算符的「本征态」
（或本征⽮），ψ称为算符的「本征函数」（注意：有时也把ψ记作本征值的对应本征态λ，
如后⾯将遇到的坐标算符本征态x 、动量算符本征态p ）
⑥第三公设——观测公设：对于量⼦系统测量某个量Q ，这过程可以抽象为对应的算符Q ?作⽤于系统粒⼦的态⽮量ψ，测量值只能为算符Q ?的本征值i
λ。

在这次测量后，假设得到
测量值i λ，则意味着系统状态ψ此时已坍缩到对应于本征值i λ的Q
的本征态i λ
（观测的影响：测量任何⼒学量都必须使⽤仪器。

在观测的过程中，探测仪器不可避免地要与被测粒⼦发⽣相互作⽤：例如，要观测粒⼦的⾃旋，必须外加磁场）
2.厄⽶矩阵：根据实际要求观测量应为实数，即算⼦对应的矩阵的本征值为实数，我们找到这样的矩阵，在数学上称为厄⽶矩阵（⾃共轭矩阵）
①厄⽶矩阵定义：⽅阵A 任⼀元素满⾜()
*ji ij a a =，称⽅阵为厄⽶矩阵，记作A A H
= 由这个定义，今后就把转置共轭称作厄⽶共轭
②厄⽶矩阵性质：（1）本征值是实数（2）不同本征值对应的本征⽮正交（3）本征⽮量构成⼀组完备基（经施密特规范正交化就得到标准正交完备基）
③第⼆公设——可观测量公设（算符公设）：每个可观测量Q 都有其对应的厄⽶算符Q
，算符的所有本征⽮组成⼀个完备基
3.线性厄⽶算符的运算法则：
①基本运算：（1）B A f B f A
,==（2）单位算符1,?==λf f I （3）()g f A g A f A
+=+（4）()
f B A f B f A +=+ （5）()()C B A C B A
++=++（6）()()f A B f A B =（⼀般地A B B A ≠）②算符作⽤在态⽮（在坐标表象下）：
（1）回顾投影式：
∑==n i i i e e 1
γγ，∑==n
j j j e e 1
γ，j j e c γ=*，γi i e c =
（2）算符作⽤在右⽮/左⽮的矩阵表⽰（这要求本征值必须是离散的！）：
i
j ij i j
j ij i j j
j i M M e e e M e M βαβαβαβα=?=?=?=∑∑][?? ****?][?i
ji j i j
ji j i j
i j j N N e e N e e N βαβαβαβα=?=?=?=∑∑ 由此可得N N
M M N N N H
ij ji i j ji i ji j ==?=?=?=****βαβα
此结论可简单表述为：同⼀算符作⽤在右⽮与作⽤在左⽮得到的结果构成厄⽶共轭
（3）算符的矩阵形式：由上可知j
i ij e M e M ?= （4）厄⽶算符判别条件：
()()βαβαβαQ Q Q
H ====+++b a Q Q b a 算符对函数作⽤时，条件改为：()()βαβα,??,Q Q
=
4.位置算符：x
是⼀个极其特殊的厄⽶算符，它的本征函数系平⽅不可积但是完备①本征⽅程：g xg g x
λ==? ②本征值：本征值的集合就是实数集R ，这种本征值取值连续的情况称为连续谱相应地，本征值取值离散的情况称为离散谱
③本征函数：除了点λ=x 之外g 取值都是0，考虑归⼀化要求有()λδλ-=x B g
()()∞→-=
λλδλλ2
,B g g ，()()µλδµλ-=2
,B g g
④本征函数规格化：虽然⽆法归⼀化，但可考虑⽤δ函数代替克罗内克符号ij δ于是有规格化处理()λδλ-=x g ，()()x x g g x x '-='δ,，简写作()()x x x x '-='δ,
5.动量算符：D p
-i ?=和x ?相同，它的本征函数系平⽅不可积但是完备①从x
到p ?：推导过程留在本章结尾②本征⽅程：()f i dx df f f D i f p
λλ=?==-?
③本征值：本征值的集合是实数集R ，本征值可直接记作p ④本征函数：x
i Ae
f λ
λ=，
()∞→=
∞
∞-dx A
f f 2,λλ，()()µλδπµλ-2,2
A f f =
（*δ函数的傅⾥叶变换公式：()?
∞
∞
-=
dx e k ikx π
δ21
）
⑤本征函数规格化：x p
i p e f
π21
=，()()p p f f p p '-='δ,，简写作()()p p p p '-='δ,
6.对易⼦：⼀般地A B B A
≠，不妨定义运算[]
A B B A B A ??-,?=，称为对易⼦①对易⼦的性质：（1）[][]0,?=+A B B A
，（2）[][][]C A B A C B A ?,??,,?+=+ （3）[][][]C B A C A B C B A
,,,?+=，[][][]B C A C B A C B A ??,??,,??+=
（4）雅可⽐恒等式：[][][][][][]
0?,?,??,?,??,?,?=++B A C A C B C B A
②位置-动量对易关系（最基本）：[] i p x =?,?，进⼀步地[]
jk j k i p x δ =?,? ③哈密顿量-⼒学量算符对易关系：]
t
Q Q H i dt Q
d ??+
=??,?? ，V m p H +=2??2 特别地，如果Q 不显含时且[]
0?,?=Q H
，那么⼒学量Q 是守恒量
7.不确定性原理：[]
2
22
,21
≥B A i B
A
σσ，其中()2
2
ψ-=Q Q
Q
σ（⽅差定义）
（1）解说：当[]
0?,?=B A ，称两算符可对易，此时存在ψ令0==B
A σσ即
B A
,在该状态下的观测值可以同时确定当[]
0?,?≠B A ，称两算符不可对易，若0=A σ，则∞→B
σ即A
的观测值确定时，⽆论如何都⽆法确定B ?的观测值（反之亦然）（2）算符相容性：[] 0?,?=B A
称两算符相容，此时它们有共同的本征态和本征函数（3）位置-动量不确定性关系：2 ≥
p x σσ或写作2
≥??p x 能量-时间不确定性关系：2
≥
t H σ，其中dt
Q d t Q /σ=?表⽰Q 变化Q σ所⽤时间（4）本征值还是平均值？：当0==B A σσ，易知()0?=ψ
-Q Q
即ψ=ψQ Q
显然这是算符Q
的本征⽅程，ψ是本征态，是平均值⼜是本征值，这是怎么⼀回事？粒⼦状态对测量结果有什么影响？答案见第三章8.附录1：不确定性原理的推导⽅差(
)
q q q
Q Q
Q
==ψ-=
2
2
2?σ，故a a A =2σ，b B =2
σ
根据柯西-施⽡茨不等式有2
b
a b a a ≥，对任意复数有()()
2
*2
2
2Im
-=≥i z z z z 不妨设b a z =，考察()()
B A B A
B B A A
b a -=
ψ--ψ=代⼊归⼀条件
同理有A B A B a b b a z *
*-===，代⼊得]
2
22?,?21??
≥B A i B
A σσ（此过程来源于《量⼦⼒学导论》3.4节，格⾥夫斯著）
附录2：从x
到p ?的推导过程（波动⼒学观点）已知⼀维薛定谔⽅程⼀般形式为ψ
+-=ψ?V x m t i 22
22 整理为ψ-?ψ?=?ψ?V i x m i t 222①，⽅程两边取共轭得*
2*2*2ψ+?ψ?-=?ψ?V i x m i t ②ψ?ψ?+?ψ?ψ=ψ??t
t t **2
ψ?ψ?-?ψ?ψ??=???? ??ψ?ψ?-?ψ?ψ=→x x x m i x x m i **2*222*22 代⼊
①②考察??????? ??ψ?ψ?-?ψ?ψ=???? ??ψ?ψ?-?ψ?ψ??=ψ??=x x xd m i dx x x x x m i dx t x x dt d ****222?
ψ?ψ=→????? ??ψ?ψ?-?ψ?ψ=→?dx x
m i dx x x m i ***2-22- 对后⼀项分部积分分部积分
则有：dx x i dx x i x dt d m p
ψ??? ?
ψ=?ψ?ψ== --??** 将此式和?∞∞
-ψψ=dx x x
*?⽐较，可定义x
i p ??
= -?，即为动量算符（此过程来源于《量⼦⼒学导论》1.5节，格⾥夫斯著）。