历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类

高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11
10
det d d =⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=， v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(⎰⎰⎰⎰--=
--++
⎰⎰⎰⎰----=---=10
2
1
00
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (
u u
u u u u u u u u v v u
u
v u u u u u ⎰
-=1
2
d 1u u
u （*） 令u t -=1，则21t u -=
dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
⎰+--=0
1
42d )21(2(*)t
t t
⎰
+-=10
42d )21(2t t t 1516513
2
21
053=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解: 令⎰
=
20
d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
⎰
,
解得34=
A 。

因此3
10
3)(2-=x x f 。

3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222
-+=y x z 在)
,(00y x 处
的
法
向
量
为
)
1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故
)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，
即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在
)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面
22
22-+=y x z 平行平面
022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。

4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x y
________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导，得
29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+
因)(29ln y f y xe e =，故
y y y f x
'=''+)(1
，即))(1(1y f x y '-=
'，因此 2
222)]
(1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+'--=''= 3
22
232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''=
'--'-''= 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ΛΛ 故
nx
n e e e e x
e n n e e e A nx
x x x nx x x x -+++=-+++=→→ΛΛ2020lim lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1
212lim 20+=+++=+++=→ΛΛ
因此
e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++Λ
三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰
=10
d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，
求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 : 由A x x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知，0)
(lim lim )(lim )0(000===→→→x
x f x x f f x x x
因⎰=
10
d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1
===⎰f t f g ，
因此，当0≠x 时，⎰=
x
u u f x
x g 0d )(1)(，故 0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→⎰f x f x
u u f x g x x x x 当0≠x 时，
x
x f u u f x x g x
)
(d )(1)(0
2
+
-
='⎰， 2
00000d )(lim
d )(1lim )0()(lim )0(x t t f x t t f x x g x g g x x x
x x ⎰⎰→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2
2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A
A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='⎰⎰→→→→
这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）⎰⎰
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y y
x ye y xe
.
证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe D x y L
x y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-∂∂-∂∂=
--- y x e e D
x y d d )(sin sin ⎰⎰-+=
⎰--L
x
y x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-∂∂
-∂∂=-
y x e e D
x y d d )(sin sin ⎰⎰+=-
而D 关于x 和y 是对称的，即知
y x e e D
x y d d )(sin sin ⎰⎰-+y x e e D
x
y d d )(sin sin ⎰⎰+=-
因此
⎰⎰-=---L
x y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin （2）因
)1(2)!
4!21(224
2t t t e e t
t
+≥+++=+-Λ
故
2
2cos 522cos 12sin 22sin sin x
x x e e x x -=
-+
=+≥+- 由
⎰⎰⎰⎰⎰+=+=----D
x y L
D
x y y y
y x e e y x e e x ye y xe
d d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin
知
⎰⎰⎰⎰⎰+++=----D
x y L
D x
y y
y y x e e y x e e x ye y xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+++=
---D
x x D
x x D y
y y x e e y x e e y x e e d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin 200sin sin 2
5
d 22cos 5d )(ππππ
π
=-≥+=⎰
⎰-x x x e e x x
即 2sin sin 25d d π⎰≥--L y
y x ye
y xe 五、（10分）已知x
x
e xe y 21+=，x
x
e
xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是某二阶常系数
线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解 设x
x
e xe y 21+=，x
x
e xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐
次微分方程
)(x f cy y b y =+'+''
的三个解，则x x
e e
y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
0=+'+''cy y b y
的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
02=++c b λλ
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111
x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21
2++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，111
2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x
x x e xe e e xe e e xe +-++-++=
x e x )21(-=
二阶常系数线性非齐次微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解 因抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点，故1=c ，于是
2323
dt )(311
023102b a x b x a
bx ax +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=⎰ 即
)1(3
2
a b -=
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积
⎰⎰-+
=+=1
221
2
2
dt ))1(3
2
(dt )()(x a ax bx ax a V ππ ⎰⎰⎰-+-+=10221031
042dt )1(94
dt )1(34dt x a x a a x a ππ
π
22)1(27
4)1(3151a a a a -+-+=πππ 即
22)1(27
4
)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ
令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'a a a a V πππ， 得
04040904554=+--+a a a
即
054=+a
因此
4
5
-=a ,23=b ,1=c .
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e
u n =)1(, 求函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
解
x n n n
e x x u x u 1)()(-+='， 即
x n e x y y 1-=-'
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d (1x x C e y n x ⎰-+=
即
)(n
x C e y n
x
+=
因此
)()(n
x C e x u n
x
n +=
由)1
()1(n
C e u n e n +==知，0=C ， 于是
n
e x x u x n n =)(
下面求级数的和：
令
∑∑∞
=∞
===1
1)()(n x
n n n n e x x u x S 则
x e x S e x x S n e x e x x S x n x
n n x n x
n -+
=+=+='∑∑∞=-∞
=-1)()()()(1
111 即
x
e x S x S x
-=-'1)()(
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d 11
()(x x
C e x S x ⎰
-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数
∑∞
=1
)(n n
x u
的和
)1ln()(x e x S x --=
八、（10分）求-
→1x 时, 与
∑∞
=0
2
n n x
等价的无穷大量.
解 令2
)(t x t f =，则因当10<<x ，(0,)t ∈+∞时，2
()2ln 0t f t tx x '=<，故
x
t t e
x t f 1
ln
22
)(-==在(0,)+∞上严格单调减。

因此
1
1
1
()d ()d ()(0)()d 1()d n n
n
n n n n f t t f t t f n f f t t f t t ∞
∞
∞
+∞++∞
-====≤≤+=+∑∑∑⎰
⎰
⎰
⎰
即
0()d ()1()d n f t t f n f t t ∞
+∞+∞=≤≤+∑⎰
⎰
，
又
2
()n n n f n x ∞
∞
===∑
∑，
11
1
lim 11ln
lim 11=--
=-→→x x x x x 21ln 1d 1ln 1d d d )(0
1
ln
2
22
π
x
t e x
t e
t x t t f t x
t t =
=
==⎰
⎰⎰
⎰
∞+-∞
+-∞+∞+，
所以，当-
→1x 时, 与∑∞
=0
2
n n x 等价的无穷大量是
x
-121π。

2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）
一、（25分，每小题5分）
（1）设22(1)(1)(1),n
n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞
（2）求2
1lim 1x x
x e
x -→∞
⎛⎫
+ ⎪⎝⎭。

（3）设0s >，求0
(1,2,)sx n I e x dx n ∞
-=
=⎰
L 。

（4）设函数()f t 有二阶连续导数，2
2
1,(,)r x y g x y f r ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂。

（5）求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩
与直线2213
:421x y z l ---==
--的距离。

解：（1）2
2(1)(1)(1)n
n x a a a =+++L =2
2(1)(1)(1)(1)/(1)n
n x a a a a a =-+++-L =2
2
2(1)(1)(1)/(1)n
a a a a -++-L =L =1
2(1)/(1)n a
a +--
1
2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞
→∞
=--=-∴
(2) 2
2
211
ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x
x x
x x x e e e
x -++--→∞→∞→∞
⎛⎫+== ⎪⎝⎭
令x=1/t,则
原式=2
1(ln(1))
1/(1)1
12(1)
22
lim lim lim t t t t t
t
t t t e
e
e
e +-+--
-
+→→→===
（3）00001120
21
011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s
n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞
-∞----+==-=--=
-=====⎰⎰⎰⎰L
二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且
()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞
→-∞
''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。

证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。

解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

将f(x)二阶泰勒展开：
'''
2
()()(0)(0)2
f f x f f x x ξ=++
因为二阶倒数大于0，所以
lim ()x f x →+∞
=+∞，lim ()x f x →-∞
=-∞
证明完成。

三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2
2(1)()
x t t t y t ψ⎧=+>-⎨
=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2
2
1
3
2t u y e du e
-=
+
⎰
在1t =出相切，求函数()t ψ。

解：（这儿少了一个条件22d y
dx
=
）由()y t ψ=与2
2
1
3
2t u y e du e
-=
+
⎰
在1t =出相切得 3(1)2e ψ=
，'2(1)e
ψ= '//()22dy dy dt dx dx dt t t
ψ==+ 22
d y dx ='3
''()(2(/)(/)//(22)2)2()
d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设1
0,,n
n n k k a S a =>=
∑证明：
（1）当1α>时，级数
1n
n n
a S α+∞
=∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n
n n
a S α
+∞
=∑发散。

解：
（1）n a >0, n s 单调递增 当
1n n a ∞
=∑收敛时，1
n n n a a s s αα
<Q
，而1n a s α收敛，所以n
n a s α收敛； 当
1
n
n a
∞
=∑发散时，lim n n s →∞
=∞
111
n n n n s s n n n s s n n n a s s dx dx s s s x
αααα----==<⎰⎰Q
所以，1111
1211n n n s s n s s n n n
a a a dx dx s s x s x ααααα-∞
∞==<+=+∑∑⎰⎰ 而
1
11111
1111lim 11
n
s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰
，收敛于k 。

所以，
1n
n n
a s α
∞
=∑收敛。

（2）lim n n s →∞
=∞Q
所以
1
n
n a
∞
=∑发散，所以存在1k ，使得
1
12
k n
n a
a =≥∑
于是，1
1
1
12221
2k k k n n n n n
k a a a s s s α≥≥≥∑∑∑
依此类推，可得存在121...k k <<<
使得1
12i i k n k n a s α+≥∑成立，所以11
2N
k n n
a N s α
≥⋅∑
当n →∞时，N →∞，所以
1n
n n
a s α
∞
=∑发散 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2
2
2
1)αβγ++=的直线，均匀椭球
222
2221x y z a b c
++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。

（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。

解：
（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
2222222(1)(1)(1)222d x y z xy yz zx αβγαββγγα=-+-+----
0xydV yzdV zxdV Ω
Ω
Ω
===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Q
2
22
2
2
2
22
2
23214
(1)15c
c
c
c x y z a
b c z z dV z dz
dxdy ab z dz abc c ππ--Ω
+≤-
==-=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
由轮换对称性，
2
32344
,1515x dV a bc y dV ab c ππΩ
Ω
==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2232323444
(1)
(1)(1)151515
I d dV a bc ab c abc απβπγπΩ
==-+-+-⎰⎰⎰ 2222224
[(1)(1)(1)]15
abc a b c παβγ=
-+-+- （2）a b c >>Q
∴当1γ=时，22max 4
()15I abc a b π=+
当1α=时，22min 4
()15I abc b c π=+
六、(15分)设函数()x ϕ具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线
积分
422()c
xydx x dy
x y ϕ++⎰Ñ的值为常数。

（1）设L 为正向闭曲线2
2
(2)1,x y -+=证明
422()0;c
xydx x dy
x y ϕ+=+⎰Ñ （2）求函数()x ϕ；
（3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()c
xydx x dy
x y ϕ++⎰Ñ。

解：
（1） L 不绕原点，在L 上取两点A ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从A ，B 作一曲线3L ，
使之包围原点。

则有
132
3
4242422()2()2()L L L L L
xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y ϕϕϕ-+++++=-+++⎰⎰⎰j i i （2） 令4242
2()
,xy x P Q x y x y ϕ=
=++
由（1）知
0Q P x y
∂∂-=∂∂，代入可得 '42352()()()422x x y x x x xy ϕϕ+-=-
上式将两边看做y 的多项式，整理得
2''4325()()()4(2)2y x x x x x y x x ϕϕϕ+-=-+
由此可得
'()2x x ϕ=-
'435()()42x x x x x ϕϕ-=
解得：2
()x x ϕ=-
（3） 取'
L 为4
2
4
x y ξ+=，方向为顺时针
0Q P x y
∂∂-=∂∂Q
'''424242
2
42()2()2()1
2c
c L L
L xydx x dy xydx x dy xydx x dy
x y x y x y xydx x dy ϕϕϕπ
ξ
-
-
++++∴=++++=
-=⎰
⎰⎰⎰i i i i
2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书
及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）
一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求11cos 0
sin lim x
x x x -→⎛⎫
⎪⎝⎭
；
解：（用两个重要极限）：
()
()
20003
2
2
1
sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12lim
lim
lim sin 11331cos 3
222
sin sin lim lim 1lim x x x x x x
x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e
e e
e
e
→→→-•
---→→-----
-→-⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=====
（2）.求1
11lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝
⎭； 解：(用欧拉公式）令111
...12n x n n n n
=+++
+++ 11
1ln =C+o 1211111ln 2=C+o 1212n n
n n n n
+
++-++++++-+L L L 由欧拉公式得（），则（），
其中，()1o
表示n →∞时的无穷小量，
-ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞
∴=
（3）已知()2ln 1arctan t t
x e y t e ⎧=+⎪
⎨
=-⎪⎩
，求22
d y
dx。

解：222222221211,121121t
t t t t t t t t t
t
e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++
()()
222222412121224t
t
t t
t
t
t
e e d y d dy e e dx dx dt dx e e
e
dt
+--+⎛⎫∴=•==
⎪⎝⎭g
二．（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。

解：设24,1P
x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy +=
1,P Q y x
∂∂==∴∂∂Q 0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设
dz Pdx Qdy =+
()()()
(),0,0241x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy ==+=+-++-⎰⎰⎰
,P Q y x
∂∂=∴∂∂Q 该曲线积分与路径无关 ()()2
2
00124142
x
y
z x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-⎰⎰
三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且
()()()'"0,0,0f f f 均不为
0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得
()()()()
1232
230lim
0h k f h k f h k f h f h
→++-=。

证明：由极限的存在性：()()()()1230
lim 2300h k f
h k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦
即
[]()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=①
由洛比达法则得
()()()()()()()
1232
'''1230
230lim
2233lim 0
2h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++==
由极限的存在性得()()()'''
1230
lim 22330h k f h k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦
即
()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=②
再次使用洛比达法则得
()()()()()()
()()()'''1230
"""1230
""1232233lim
24293lim
02
490000
h h k f h k f h k f h h
k f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠Q
123490k k k ∴++=③
由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490
k k k k k k k k k ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩的解
设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则Ax b =， 增
广
矩
阵
*111110031230010314900011A ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪=- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
:，则
()(),3R A b R A ==
所以，方程Ax b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意，
且1
233,3,1k k k ==-=。

四．（本题17
分）设222
1222:1x y z a b c
∑++=，其中0a b c >>>，
2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面
到原点距离的最大值和最小值。

解：设Γ上任一点(),,M x y z ，令()222
222,,1x y z F x y z a b c
=++-，
则'''222222,,,x
y z x y z
F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：
222,,,x y z t a b c ⎛⎫
=∴ ⎪⎝⎭
r 1∑在点M 处的切平面为∏：
()()()2220x y z
X x Y y Z z a b c
-+-+-= 原点到平面
∏
的距离为
2
2
2
444
1d x y z
a b c =
++，令
()222444,,,x y z G x y z a b c =++ 则()
1
,,d G x y z =，
现在求
()222444,,,
x y z G x y z a b c
=++在条件
222
2221x y z a b c
++=，
222z x y =+下的条件极值，
令
()()222
22222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭
则由拉格朗日乘数法得：
'1242'12
42'124
2222
22222222202220
222010
0x y z x
x H x a a y y H y b b z z H z c c x y z a
b c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪
⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪
⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩
，
解得2222
220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩
或22
22220a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪
=⎩， 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()44
2222,,a c G x y z a c a c +=+
此时的22
144
b c d bc
b c +=+或22
244
a c d ac
a c +=+
又因为0a
b c >>>，则12d d <
所以，椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：
22
244
a c d ac a c +=+，22
144
b c d bc
b c +=+
五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231
x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面
的上半部分（0z
≥）取上侧，∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面，()
,,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。

计算：
（1）(),,S
z dS x y z ρ⎰⎰；
（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰
解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()2
22310x y z z ++=≥
令22231,F
x y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===，
切平面∏的法向量为(),3,n x y z =r
，
∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=，
原点到切平面∏的距离()2222
2
2
2
2
2
31,,99x y z x y z x y z
x y z
ρ
++=
=
++++
()22219,,S S
z
I dS z x y z dS x y z ρ∴==++⎰⎰⎰⎰
将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz
D x z x z +≤≥≥
()()
()()
22
221
210
22
2
323244sin 3131xz
D z x z r r dr I dxdz d x z
r
π
θθ⎡⎤-+-⎣⎦
∴==---⎰⎰
⎰⎰
()()
()22221
2
2
32sin 32sin 443
31r r dr d r
π
θθθ
--==-⎰
⎰
4313322
24223ππ
⨯⎛⎫=-=
⎪⨯⎝⎭g
(2)方法一：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3,,999x y z x y z
x y z
x y z
λμν=
=
=
++++++
()2
2
2213392S S
I z x y z dS z x y z dS I π
λμν∴=++=++==
⎰⎰⎰⎰
六．（本题12分）设f(x)是在
(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，
其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：
()11
n
n n a
a ∞
-=-∑绝对收敛。

证明：()()112ln ln n
n n n a a f a f a ----=-
由拉格朗日中值定理得：ξ∃介于12,n n a a --之间，使得
()()()()
()'1212ln ln n n n n f f a f a a a f ξξ-----=
-
()()
()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=
-，
又
()()
f mf ξξ<、得
()()
'f m f ξξ<
111210...n n n n n a a m a a m a a ----∴-<-<<-01m <<Q
∴级数1
10
1
n n m
a a ∞
-=-∑收敛，∴级数
1
1
n
n n a
a ∞
-=-∑收敛，即
()
11
n
n n a
a ∞
-=-∑绝对收敛。

七．（本题15分）是否存在区间
[]0,2上的连续可微函数
f(x)，满足
()()021f f ==，
()()2
01,1f
x f x dx ≤≤⎰、
？请说明理由。

解：假设存在，当[]0,1x ∈时，由拉格朗日中值定理得：
1ξ∃介于0，x 之间，使得()()()'10,f x f f x ξ=+， 同理，当[]1,2x ∈时，由拉格朗日中值定理得：
2ξ∃介于x ，2之间，使得()()()()'222f x f f x ξ=+-
即()()[]()()()[]''
121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤Q 、，
()[]()[]11,0,1;13,1,2x f x x x x f x x x ∴-≤≤+∈-≤=-∈
显然，
()()2
00,0f x f x dx ≥≥⎰
()()()()()1
2
2
1
2
1
1
111133
x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()20
1f x dx ∴≥⎰，又由题意得()()22
1,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰
即
()2
1f x dx =⎰
，()[][]
1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩
()()()()1
1111111lim lim 1,lim lim 1111
1x x x x f x f f x f x x
x x x x +
+-+
→→→→----====-----Q
()'1f ∴不存在，
又因为f(x)是在区间[]0,2上的连续可微函数，即()'
1f 存在，矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。