固体电子学 第二章 晶格振动和晶体的缺陷

晶体中所有原子共同参与的同一种频 率的振动，不同原子的振动位相随空间 呈周期性变化，这种振动以波的形式在 整个晶体中传播，称为格波。
这里的格波显然是平面简谐波， 如图所示。
格波的波长为
格波的波矢为
2
q
q 2 n
n是沿格波传播方向的单位矢量。
3. 色散关系
把上述解代入运动方程组中，可得
2
2 m
x2n1 x2n
M
d 2 x2n dt 2
1
x2n1 x2n
2
x2n x2n1
其解为
x2n
Aei
q
(
2n 2
)
a
t
Aeiqnat
x
2
n
1
B'ei
q
(
2n 2
)
a
q
b
t
Be iqnat
上式代表角频率为ω 的简谐振动。其它各点的位
移按下列原则得出：
* 同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不 同，其振幅不同。
力学量连续取值
（n=0,1,2…..）
即能量只能取一些分立值。
对于一维简单格子的情况，只考虑最近邻粒子间的相互作用， 则晶体的势能为：
动能为：
U
2
（n 1 -n）2
n
T 1
2
n
mn2
势能函数包含有依赖于两原子坐标的交叉项，在处理多自由度的 振动问题时，往往引入新的坐标---正则坐标：
它与原坐标的关系：
设在平衡位置 r na时，两个原子间的相互作用势
能为 U (na), 产生相对位移后，相互作用势能变成 U (na ); 在平衡位置附近用泰勒级数展开，可得
U
(na
)
U
(na)
dU dr
na
1 2
d 2U dr 2
na
2
,
式中第一项是常数，第二项为零（在平衡时势能取极 小值）。
当振动很微弱时，第n+1个原子对第n个原子的恢复
晶格振动波矢的数目=晶体原胞数 晶格振动模式的数目=晶体自由度数
2.1.3 晶格振动量子化 声子
经典力学中，一维谐振子的
动能为：
T 1 x2 2
在量子力学中，力学量 用算符表示，能量算符即 哈密顿算符。
势能为：
U 1 m2x2
2
总能量为：E T U 1 mx2 1 mx2
2
2
解薛定谔方程 可得到能量的本征值：
{1
cos(qa )}
即
1
2
m
2
sin
qa
2
q
如图所示，上式给出了
q和ω的色散关系。
一维晶格点阵的 第一布里渊区
波矢具有简约的性质，可 将波矢限于一个周期范围。
a
q
a
4．布里渊区
从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒 格子点阵矢量，并作出每个矢量的垂直平分面，所 围成的具有最小体积的区域，称为第一布里渊区， 图所示。
例如：
热
格波在晶体中传播受到散射的过程可以理解为声子 同晶体中的原子的碰撞。
电Baidu Nhomakorabea
导电过程中电子遭受格波的散射，可以看作电子与声 子之间的碰撞。
光
光在晶体中的散射，很大程度上也可以看作是由于光 子与声子的相互作用乃至强烈的耦合。
§2.2 声学波与光学波
2.2.1 一维双原子晶格的振动
考虑由质量分别为M和m的两种不同原子所构成
A
1
2
m
2 A
相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或负 号，即对于声学波，相邻原子都是沿着一个方向振 动的。
当 q 0时 ， A 0， 则 （ B / A ） 1。 于是原子的位移变成
x2n x2n1
对长声学波，原胞内不同原子以相同的振幅和位 相作整体运动，其振动概况如图所示。
小角晶界一般指的是两晶格间结晶方位差小于10堆垛层错晶体结构中周期性的相互平行的堆垛层有其固有的顺序如果堆垛层偏离了原来固有的顺序周期性改变则就产生了堆剁除了一般的晶界以外也可能存在一些特殊的晶界界面上的原子正好坐落在两晶体的点阵座位上这种晶界称为共格晶界而最常见的共格晶界就是共格孪晶界界面两侧的晶体的位相满足反映对称的关系反映面即称为孪生面
a
1
1
2mM
2
m
M
m
M
2
16mM1 2
1 2 2
1 2
2
一维双原子复式格子中，声学波与光学波的色散 曲线如图所示。
* 相邻两种原子的振幅之比
（1） 关于声学波
1 1
2 M 2 2eiqa A
A
1
1
e iqa
2
2 m 2
B0 0
B 1 2eiqa
按照上述方法，同样可以作出第二、第三、...布 里渊区。
布里渊区的边界由倒格 矢的垂直平分面构成。
第一布里渊区就是倒格 子原胞，其体积是一个倒 格点所占的体积，与倒格 子原胞的体积相等，即
b1 b2 b3
2 3 a1 a2 a3
2.1.2 周期性边界条件
在前面的讨论中没有考虑边界问题，认为一维晶体是无限的。但实 际晶体总是有限的，总存在边界，边界原子所处的情况与体内原子不同， 相应的振动状态也与体内原子不同。
qa 2
1
2
和
2 o
1 2
2mM
m
M
m
M
2
16m M1 2
1 2 2
sin
2
qa 2
1
2
显然，复式格子的振动频率在波矢空间内具有周 期性，即
q 2 a q
实际上，当波矢增加2π /a的整数倍时，原子位
移和色散关系不变。
对一维复式格子，如果其晶格常数为a，则q值也 限制在（-π/a，π/a），即第一布里渊区内。
* 相隔一个晶格常数a 的同种原子，位相差为qn。
把上式代入动力学方程，整理后得
1 2 M 2
A
1
e iqa
2
B0
1 2e iqa A 1 2 m 2 0
若A、B 有非零解，则其系数行列式必零，即
1 2 M 2 1 2eiqa
由此可以解得
2 m
mM
M
1
1
4mM1 2
2 2 m
M
2
sin
2
qa 2
当 q 0 时 ， 光学波的频率具有最大值，即
1
o max
1
2
2
式中μ=mM/(m+M)是两种原子的折合质量。 当 q 0 时 ， A 0 这时光学波频率则为最小。
综合上述的讨论结果，归纳如下：
（1）当取
q
a
因为qa介于（-π，π），所以有
A max
和
1
1 2
2mM
m
M
m
M
2
16mM1 2
1 2 2
1 2
2
o min
1
1
2mM
2
m
M
m
M
2
16mM1 2
1 2 2
1 2
2
显然，o 的最小值比 A 的最大值还大，即 A 支
格波频率总比 o 的频率低。
实际上， o 支的格波可以用光来激发，所以常称为 光频支格波，简称为光学波。
第二章 晶格振动和晶体的缺陷
在一般温度下，晶体内的粒子在各自平衡位置附 近振动。由于粒子间存在着相互作用力，因此，各 粒子的振动相互关联。
当振动很微弱时，粒子间非谐的相互作用可以忽 略，可近似地用简谐振动来处理，此时这些振动模 式是相互独立的。
晶格周期性条件决定了模式所取的能量值是分立 的。这些独立的、分立的振动模式，可以用一系列 独立的简谐振子——声子来描述。这样，晶格振动 的总体就可以看作是声子的系统。
2.格波
格点运动方程的解可以写成
xn Aei(qnat)
式中qna表示第 n个原子振动的位相因子。
当第m个和第n个原子的位相差等于2π的整数倍
时，有
xm Aei(qmat) Aei(qnat) xn
即当第m个原子和第n个原子的距离满足，
ma na 2s
q
原子因振动而产生的位移相等。
也就是说，原子振动随空间呈 周期性变化，空间周期λ=2π/q
晶格振动同晶体的许多宏观热学性质，如固体的 比热、热膨胀、热导等问题有密切的联系，对晶体 的电学、光学性质也有很大的影响。
在研究晶体的光学、电学等宏观性质时，由于晶 格振动对光子、电子和中子等都有散射作用，而引 入声子概念可以把上述散射当作声子与光子、电子 和声子的相互碰撞来处理。所以，在研究与晶格振 动有关的各种物理问题时，就变的非常形象直观。
而 A 支的格波常称为声频支格波，简称声学波。
现在，由于高频超声波技术的发展，声学波也可以 用超声波来激发。
2.2.2 声学波和光学波的特点
下面讨论复式格子中两支格波的色散关系。
* 声学波的色散关系 因为
2 A
1
2mM
2
m
M
m
M
2
16m M1 2
1 2 2
sin
2
qa 2
1
2
设想一个有限晶体的长度为Na，对于一维有限的简单格子，第一个
原胞的原子和第N+1个原胞原子的振动情况相同，即
其中：
x1 x N1
x1 A e i(qa t)
x A e i [ q (Nn 1 ) a t ] N 1
因此：
e iqN a 1
要想上式成立，必须有qNa=2πl（l为整数），也即
fn fn1,n fn,n1
(xn1 xn ) (xn xn1) (xn1 xn1 2xn )
第n个原子的运动方程可以写成
m
d 2 xn dt 2
(2xn
xn1 xn1) ,
(n 1,2,, N)
对每一个原子，都有一个类似上式的运动方程， 方程的数目和原子数相同。
1
1 2
2mM
m
M
1
1
1
16m M1 2
2 2 m M
2
sin
2
qa 2
2
令
1
16mM1 2
2 2 m M
2
sin
2
qa 2
y
由
1 y 1 1 y 1 y2 28
取前两项，即得
1 y 1
1/2
A
(1
412 2 )(m
M
)
sin(qa)
该式与一维布喇菲格子中的色散关系在形式上是相 同的，也具有如图所示的特征。
§2.1 晶格振动和声子
首先考虑一维晶格的振动，然后把一些主要结论 和方法推广到三维晶格振动的分析和研究中去。
2.1.1 一维原子晶格的振动
1.运动方程
由一系列质量为
m的原子构成的一维原
子链，如图所示，其
平衡时原子间距为a。 用x n表示第n个原子 的位移，第n个原子和第n+1个原子的相对位移为
xn1 xn
q=2πl/(Na)，l为整数
即描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的值。可将q 限 知于，简l只约能区取，N即个不同a 的 q值 a，q也，只所能以取l限N于个不 N2同 的l 值N2，，这由里此N可原
胞的数目。 只要晶体大小是有限的，则波矢的取值就不是连续的。波
矢取值只能与宏观参量L=Na（L是晶体的长度）有关。 如果每个原胞或原子不限于一维晶体，则。
时，声学波的频率有最大值，即
1
1
2mM
2
m
M
m
M
2
16m M1 2
1 2 2
1 2
2
当 q 0时 ， A 0 ，声学波的频率有最小值。
上述结论表明：声学波的取值可以无限低。
（2）当 q 0 时，光学波的频率有最大值，为
1
1
2
2
当取 q 时，光学波的频率有最小值，为
上述结果说明：由完全相同原子所组成的布喇菲 格子只有声学波。
* 光学波的色散关系 因为
2 o
1 2
2mM
m
M
m
M
2
16m M1 2
1 2 2
sin
2
qa 2
1
2
1
1 2
2mM
m
M
1
1
1
16m M1 2
2 2 m M
2
sin
2
qa 2
2
近似得：
2 o
1
的一维复式格子，如图所示。
设相邻两个不 同原子构成一个 分子，分子内两
AB
b
a
原子平衡位置的间距为b，恢复力常数为β1 ；两分 子间两原子对应的恢复力常数为β2 。质量为 m 的 原子位于...2n-1，2n+1，2n+3...各点，质量为 M 的原子位于...2n-2，2n，2n+1...各点。
若只考虑相邻原子的相互作用，则第 2n+1 个原
子所受的恢复力为
f
m 2n
1
2
x 2n2 x 2n1
1
x 2n1 x 2n
第2n个原子所受恢复力为
f
M 2n
2
x2n1 x2n
1
x 2n x 2n1
AB
2n-1
b
a
2n 2n+1 2n+2
相应的动力学方程为
m
d
x2 2 n1
dt 2
2
x2n2 x2n1
1
Qq (t)
m N
n
n (t)eiqna
哈密顿量可以消去交叉项：
H 1
2
q
(
Pq
2
q2
Qq
2
)
该坐标体系下的总能量：
E(q )
(nq
1) 2
q
N个原子的集体振动可以转化为N个独立的谐振子。各谐振子的 能量是量子化的。
可以用独立谐振子的振动来描述格波的独立模式。
声子是晶格振动中简谐振子的能量量子，声子具有能量 ，动量 q ，但声子只反映晶体原子集体运动状态的激发单元，不能脱离固体 单独存在，并不是一种真实的粒子，只是一种准粒子。
1 2eiqa 0
1 2 m 2
2
1
2
mM
2
m
M
m
M
2
16mM1 2
1 2 2
sin
2
qa 2
1
2
上式表明，对一维复式格子，可以存在两种独立
的格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系， 即：
2 A
1 2
mM
2
m
M
m
M
2
16mM1 2
1 2 2
sin
2
力近似为
fn1,n
dU
d
d 2U dr 2
na
xn1
xn
这一近似称为简谐近似，式中
d 2U dr 2
na
称为恢复力常数，或耦合常数。
除第n+1个原子外，原子n还受到第n-1个原子的
作用，其表达式为
f n,n1 xn xn1
若仅考虑相邻原子的相互作用，则可以获得第 n
个原子所受到的总作用力，即