数学分析中的典型问题和方法第一章课后习题答案裴礼文

裴礼文第一章习题解答
1.1.1 求复合函数表达式:
(1) 已知,,求
;(南京邮电大学等)
(2) 设,试证明,并求
(华中理工大学)
1.1.2 是否存在这样的函数,它在区间上每点取有限值,在此区
间的任何点的任意邻域内无界. (上海师范大学)
1.1.3 试说明能有无穷多个函数,其中每个函数皆使为上的恒等函数.
1.1.4 设为上的奇函数,,,
.
1)试用表达和;
2)为何值时,是以为周期的周期函数. (清华大学)
1.1.5 设(即的小数部分),,说明这时
为何不是周期函数.类似地也如此.从而周期
函数的和与差未必是周期函数.
1.1.6设是上的实函数, 的图像以直线和直线
分别作为其对称轴, 试证必是周期函数, 且周期为.
1.1.7 设是上的奇函数, 并且以直线作为对称轴,试
证必为周期函数并求其周期.
1.1.8 设是上以为周期的周期函数, 且在上严
格单调, 试证不可能是周期函数
1.1.9 证明确界的关系式:
1) 叙述数集的上确界定义, 并证明: 对于任意有界数列,总有(北京科技大学)
2) 设是两个由非负数组成的任意数集, 试证
1.1.10 试证:若,则必达到下确界(即
使得). (武汉大学)
1.1.11 设是上的实函数, 且
在上不恒等于零，但有界，试证:
、
1.1.12 设是闭区间上的增函数，如果,
试证，使得(山东大学)
1.1.13 设在, 试证，
使得. (福建师范大学)
1.2.1
1) 已知, 求证:
(武汉大学, 哈尔滨工业大学)
2) 用语言证明(清华大学)
1.2.2 用方法证明:
1)
2)
3)
1.2.3 设, 试用方法证明：
若, 则
1.2.4 设,试证收敛.
1.2.5 为一数列.试证: 若
(为有限数)
则(首都师范大学)
1.2.6 设且时有.已
知中存在子序列.试证(武汉大学)
1.2.7 设, 求证发散.
1.2.8 判断题:设是一个数列, 若在任一子序列中均存在收敛子列则必为收敛数列. (北京大学)
1.2.9 设为单调递增数列，为其一子列，若,试证(华中师范大学)
1.2.10 设是一个无界数列,但非无穷大量,证明: 存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列. (哈尔滨工业大学)
1.2.11 设函数在0的某个邻域有定义，
;且当时，
, ,时,对于一切, 有;另
设.试证
当右端极限存在时成立
1.2.12 证明.并求
1.3.1 求极限
(北京航空航天大学,中国科技大学)
1.3.2 证明公式:
1.3.3 求
1.3.4 求
1.3.5
1.3.6 求
(华中师范大学)
1.3.7 求(湖北大
学)
1.3.8 设在上连续,求
1.3.9 设极限存在,试求
1)
2)
1.3.10 设,求
(陕西师范大学)
1.3.11 求.(内蒙古大学)
1.3.12 .(中国科学院)
1.3.13 计算(中国科学院)
1.3.14 若求.(上海工业大学)
1.3.15 求华中师范大学)
1.3.16 证明: 当时,
1.3.17 求(浙江大学)
1.3.18 ,求(国防科技大学)
1.3.19 求(华中师范大学)
1.3.20 求(武汉大学)
1.3.21 设是上的可微函数,,试证
1.3.22 设是上的可微函数,,试证
1.3.23 ,试证:
1)
2) (南开大学)
1.3.24 对, ,
,令
试先证明:
然后求解
1.4.1 求,其中
1) 设
2) 设
1.4.2 求(华中师范大学)
1.4.3 已知数列满足条件证明:
(四川大学, 国防科技大学)
1.4.4 设.
1) 若为有限数, 证明
2) 若为, 证明: (南京大
学)
1.4.5 证明:若数列收敛于,且,
,则
(东北师范大学)
1.4.6 已知存在,为单调增加的正数列,且
,求证:
(北京师范大学)
1.4.7 若且,试证:
1.4.8 求极限
1)
2)
1.5.1 已知试证:存在并求其值.(中国科技大学,北京大学,哈尔滨工业大学,北京邮电大学等)
1.5.2 设,证明:收敛,并求
.(哈尔滨工业大学,华中理工大学等)
1.5.3 设,证明:收敛并求其极
限.(武汉大学,华中师范大学)
1.5.4 设证明
收敛并求其极限(华东师范大学)
1.5.5 设,试证收敛,并求其极
限.(华中理工大学,厦门大学,工程兵学院)
1.5.6 求证:
1.5.7 证明:1)存在唯一的使得;2)任给定
则有(中国人民大学)
1.5.8 证明数列.收敛.(北京师范大
学)
1.5.9 设,求. (武汉大学)
1.5.10 设,数列由如下递推公式定义:
求(浙江大学)
1.5.11 设如果数列收
敛,计算其极限,并证明数列收敛于上述极限.（武汉大学）
1.5.12 设,其
中:,试证:存在且为克普勒方程
的唯一根.
1.5.13 设(),试证:收敛.
1.5.14 设是二正数,令.试
证:和均收敛且极限相等. (大连理工大学)
1.5.15 设和是任意两个整数,并且,还设
求证: 和均收敛且极限相等.(中国科学院,安徽大学）
1.5.16 讨论由所定义的数列的收敛
性(南京大学)
1.5.17 设中数列满足
其中,证明:
当有界时,有界. (清华大学)
1.5.18 设,求极限.
1.5.19 则
1)(中国科学院)
1.5.20 设连续函数在上是正的,单调递减的,且
.
证明:数列收敛(清华大学)
1.5.21 已知
证明:及存在且相等,并求出该极限. (内蒙古大学)
1.5.22证明:数列
的极限存在,并求其极限. (国外赛题)
1.5.23 设是如此数列:
证明收敛并求其极限. (国外赛题)
1.5.24 设,
求
1.5.25 设证明
1.5.26 设试计算:
(国外赛题)
1.5.27 收敛,数列()由下式确定:
证明是递增的收敛数列(福建师范大学)
1.6与1.7 习题机动跳过
1.8.1 设函数在有限区间上有定义,满足,存在的某
个开邻域,使得在上有界.
(1).证明:当时,在上有界;
(2).当时,在上一定有界吗? (厦门大学)
1.8.2 设在上有定义且在每一点处函数的极限存在,求
证:在上有界. (哈尔滨工业大学)
1.8.3 设在内有定义,当
时,有
1.8.4 用有限覆盖定理证明:任何有界数列必有收敛子列.(西北大学)
1.8.5 试用区间套定理重新证明练习1.1.13:“上,
”(福建师范大
学)。