第五章习题答案

5-1 把直径1d mm =的钢丝绕在直径为2m 的卷筒上，试计算该钢丝中产生的最大应力。

设200E GPa =
解：钢丝绕在直径为D 的卷筒上后产生弯曲变形，其中性层的曲率半径为
22
D d D
ρ+=
≈（因D d >>） 该钢丝中产生的最大应力为
3
9max
max
/211020010100/22
y d d E E E Pa MPa D D σρ-⨯====⨯⨯=
5.4 矩形截面悬臂梁如图所示。

已知4l m =，2
3
b h =，10/q kN m =，[]10MPa σ=，
试确定此梁横截面的尺寸。

解：作梁的弯矩图如图所示。

梁的最大弯矩发生在固定端截面上。

22max 11
1048022
M ql kN m =
=⨯⨯=⋅ 由强度条件，有
max max
max 2
6[]z M M W bh
σσ==≤ 将
2
3
b h =代入上式，得
0.416416h m mm ≥=== 2
2773
b h mm =
≥ 5.5 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。

若[]160MPa σ=，试求许可载荷
F 。

解：（1）求支座反力。

选整个梁为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡方程，有
0y
F =∑，0A B F F F F ++-=
()0A
M
=∑F ，6240B F F F ⨯-⨯+⨯=
解得：13A F F =
，13
B F F =-
M O
2
12
ql
M O
（2）作梁的弯矩图如图所示。

由图可知该梁的最大弯矩为
max 23
C M M F ==
查表得No.20a 工字钢的抗弯截面系数为3237z W cm =，由强度条件，有
max max 2/3
[]z z
M F W W σσ=
=≤ 解得
66
3[]3237101601056.922
z W F kN σ-⨯⨯⨯⨯≤==
所以许可载荷56.9F kN =。

5.8 压板的尺寸和载荷情况如图所示。

材料为45钢，380s MPa σ=，取安全因数
1.5n =。

试校核压板的强度。

解：由受力分析可知最大弯矩发生在m m -截面处，且其值为
3
max 10.0215.4100.02308M P N m =⨯=⨯⨯=⋅
m m -截面的抗弯截面系数z W 为
33
3max
11
302030121212156810
z
z I W mm y ⨯⨯-⨯⨯=
== 压板的最大应力为
max max 9
308
197156810
z M MPa W σ-=
==⨯ 而许用应力为
380
[]2531.5
s
MPa n
σσ=
=
=
截面m-m
因最大应力小于许用应力，所以压板的强度足够。

5.11 图示为一承受纯弯曲的铸铁梁，其截面为⊥形，材料的拉伸和压缩许用应力之比[]/[]1/4t c σσ=。

求水平翼板的合理宽度b 。

解：当上下边缘的拉、压 应力同时达到许用应力时 设计最为合理，即
1
max []t t z
My I σσ== 2
max []c c z
My I σσ=
= 两式之比，可得
12[]1[]4
t c y y σσ== 而12400y y +=，可得180y =，2320y =。

整个截面对中性轴c z 由的静面矩应为零，即
11220z c c S A y A y =+=
其中：160A b =，1803050c y =-=，23403010200A =⨯=，2320170150c y =-=，代入上式，可得6050102001500b ⨯-⨯=，解得510b mm =。

5.12 ⊥形截面铸铁悬臂梁，尺寸及载荷如图所示。

若材料的拉伸许用应力[]t σ=
40MPa ，压缩许用应力[]160c MPa σ=，截面对形心轴c z 的惯性矩410180c z I cm =，
19.64h cm =，试计算该梁的许可载荷F 。

解：作梁的弯矩图如图所示。

弯矩的两个极值应力分别为
0.8A M F =，0.6C M F =-
A 截面的弯矩为正，在形心
轴c z 的下方受拉，上方受压 由A 截面的抗拉强度要求得
M
M
F
B
A
11
0.8[]A t t zc
zc
M h Fh I I σσ=
=
≤ 解得
682
1[]4010101801052.80.80.89.6410
t zc I F kN h σ--⨯⨯⨯≤==⨯⨯ 由A 截面的抗拉强度要求得
22
0.8[]A c c zc
zc
M h Fh I I σσ=
=
≤ 解得
682
2[]160101018010132.60.80.815.3610
c zc I F kN h σ--⨯⨯⨯≤==⨯⨯ 由C 截面的抗拉强度要求得
22
0.6[]C t t zc
zc
M h Fh I I σσ=
=
≤ 解得
682
2[]4010101801044.20.60.615.3610t zc I F kN h σ--⨯⨯⨯≤==⨯⨯
综合得许用载荷为44.2F kN =。

5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。

许用拉应力[]t σ=40MPa ，许用压应力[]160c MPa σ=。

试按正应力强度条件校核梁的强度。

若载荷不变，但将T 型横截面倒置，即翼缘在下成为⊥形，是否合理？何故？
M O
解：（1）首先确定支反力，选梁为研究对象，受力分析如图所示。

列平衡条件可得
0y
F =∑，102200B D F F +-⨯-=
()0B
M
=∑F ，420310210D F ⨯-⨯+⨯⨯=
解得：30B F kN =，10D F kN = （2）作梁的弯矩图如图所示。

（3）截面形心位置和形心主惯性矩的计算
2031020321.5
15.752203
c y cm ⨯⨯+⨯⨯=
=⨯⨯
形心主惯性矩为
3232411
320203 5.75203203 5.756012.51212
c z I cm =
⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 由于B 截面处弯矩为负，上边缘受拉，拉应力最大值为
32max
8
2010(2315.75)1024.1[]406012.510B t t z M y MPa MPa I σσ--⨯⨯-⨯===<=⨯ 下边缘受压，压应力最大值为
32max
8
201015.751052.4[]1606012.510
B c c c z M y MPa MPa I σσ--⨯⨯⨯===<=⨯ 由于
C 截面处弯矩为正，下边缘受拉，拉应力最大值为
32max
8
101015.751026.2[]406012.510
C c t t z M y MPa MPa I σσ--⨯⨯⨯===<=⨯ 上边缘受压，压应力最大值为
32max
8
10107.251012.1[]1606012.510C c c z M y MPa MPa I σσ--⨯⨯⨯===<=⨯ 综上所述，可见梁梁满足强度要求，安全。

若将横截面倒置成⊥形，则B 截面的最大拉应力将增大为
32max
8
201015.751052.4[]406012.510B c t t z M y MPa MPa I σσ--⨯⨯⨯===>=⨯
故不安全，亦就不合理。

5.22 由三根木条胶合而成的悬臂梁截面尺寸如图所示，跨度1l m =。

若胶合面上的许用切应力为0.34MPa ，木材的许用弯曲正应力为[]10MPa σ=，许用切应力为[]1MPa τ=。

试求许可载荷F 。

解：（1）按木条弯曲正应力强度条件确定许可载荷
6
max max 2
61[]10100.10.15
z z M Fl F Pa W W σσ⨯⨯=
==≤=⨯⨯ 解得：3750F N ≤。

（2）按木条剪应力强度条件确定许可载荷
633[]110220.10.15
s F F
A ττ=⨯
=⨯≤=⨯⨯ 解得10000F N ≤。

（3）按胶合面的剪应力强度条件确定许可载荷
63(0.10.050.05)'[']0.341010.10.150.112
s z z F S F I b ττ*⨯⨯⨯==≤=⨯⨯⨯⨯
解得：3825F N ≤，综上所述许可载荷3750F N =。

5.32 在No.18工字梁上作用着可移动的载荷F 。

为提高梁的承载能力，试确定a 和b 的合理数值及相应的许可载荷。

设[]160MPa σ=。

解：当载荷分别作用于梁的最左端、最右端和中间时梁的弯矩图分别用三个图表示如图所示。

由图可知：载荷
F 作用于梁的最左端时，最大弯矩为
max M Fa =；载荷F 作用于梁的最右端时，最大弯矩为max M Fb =；载荷F 作用于梁的中间时，最大弯矩为
M O
M O M O
max 1
4
M F =
⨯ ()l a b --。

合理设计应该使三种情况下的最在弯矩相等，即 1
()4
Fa Fb F l a b ==--
解得：1
26a b l m ===
查附录II 型钢表得No.18工字钢，其3185z W cm =。

根据强度条件，有
max max []z z
M Fa
W W σσ=
=≤ 解得：
66
[]160101851014.82
z W F kN a σ-⨯⨯⨯≤==
所以许可载荷14.8F kN =。