高中数学北师大版必修5 1.4 教学设计 《数列在日常经济生活中的应用 》(北师大)

《数列在日常经济生活中的应用》
◆教材分析
等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，在科学技术和日常生活中有着广泛的应用。

例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关。

著名的马尔萨斯人口论，把粮食增长喻为等差数列，而把人口增长喻为等比数列。

这些科学事实和生活实例都有助于我们认识和理解数列知识。

◆教学目标
【知识与能力目标】
通过探究“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题，体会等差数列、等比数列知识在现实生活中的应用。

【过程与方法目标】
通过具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括，发现并建立等差数列、等比数列数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差数列、等比数列的广泛应用。

【情感态度价值观目标】
通过本节学习，让学生感受生活中处处有数学，从而激发学习的积极性，提高数学学习
的兴趣和信心。

【教学重点】
建立“零存整取”“定期自动转存”“分期付款”三个数学模型，并用于解决实际问题。

【教学难点】
在实际问题情境中，发现并建立以上三个模型。

◆课前准备
◆
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

◆教学过程
一、导入部分
一位中国老太太与一位美国老太太相遇。

美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款；而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足。

教师进一步指出：我国现代都市人的消费观念正在变迁，花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活，贷款购物，分期付款已深入我们的生活。

但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，我们究竟选择什么样的方式好呢？
二、研探新知，建构概念
教材整理数列在日常经济生活中的应用
阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题。

1．三种常见的应用模型
(1)零存整取：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)。

(2)定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存，例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和。

(3)分期付款：分期付款是购物的一种付款方式，即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清。

2．常用公式
(1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S ＝P(1＋r)n
(2)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x.
(3)单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr)
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息 ( )
(2)定期自动转存模型是等差数列 ( )
(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价 ( ) 【解析】
(1)本息是指存入的本金与本金生成的利息之和。

(2)定期自动转存模型是等比数列。

(3)不相等，在分期付款中，各期所付款额及各期所付款所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。

【答案】(1)×(2)×(3)×
三、质疑答辩，发展思维
例1 零存整取模型
银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取。

规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)。

(1)若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式；
(2)若每月初存入500元，月利率为0.3%，到第36个月末整取时的本利和是多少？
(3)若每月初存入一定金额，月利率是0.3%，希望到第12个月末整取时取得本利和2 000元，那么每月初应存入的金额是多少？
活动：这实际上就是教育储蓄本利和的数学模型。

这里的“零存整取”是每月存入相同的x 元，到期所获得的利息组成一个等差数列。

解：
(1)根据题意，第1个月存入的x 元，到期利息为x •r •n ；第2个月存入的x 元，到期利息为x •r •(n －1)元……第n 个月存入的x 元，到期利息为xr 元，不难看出，这是一个等差数列求和的问题。

各月利息之和为xr (1＋2＋…＋n )＝n (n+1)r 2x (元)，
而本金为nx 元，这样 就得到本利和公式y ＝nx ＋
n (n+1)r 2x (元)，
即y ＝[n ＋n (n+1)r 2]x (元)(n ∈N ＋) ① (2)每月存入500元，月利率为0.3%，根据①式，本利和
y ＝500×(36＋36×372×0.3%)＝18 999(元)。

(3)依题意，在①式中，y ＝2 000，r ＝0.3%，n ＝12
x ＝y n ＋n (n+1)r 2＝
2000
12+12×(12+1)×0.3%2≈163.48(元) 答：每月应存入163.48元。

点评：通过本例的数学建模，学生应了解和经历解决实际问题的全过程，即实际情境→提出问题→数学模型→数学结果→检验→问题结果。

体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力，并学会通过查询资料等手段获取信息。

变式训练1: 某同学依教育储蓄的方式从2004年11月1日开始，每月按时存入250元，连续存6年，月利率为0.3%，求到期一次可 支取本利和共多少元？
解：根据题意，教育储蓄是 一种零存整取的定期储蓄，由例1可知到期一次可支取本利和为250×72＋72×732×0.3%＝19 971(元)
答：到期一次可支取本利和共为19 971元。

例2 定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存。

例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和。

按照定期存款自动转存的储蓄业务(暂不考虑利息税)，我们来讨论以下问题：
(1)如果储户存入定期为1年的P 元存款，定期年利率为r ，连存n 年后，再取出本利和。

试求出储户n 年后所得本利和的公式；
(2)如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为2.79%，那么5年后共得本利和多少万
元(精确到0.001)？
活动：教师引导学生阅读实际问题，理解这种定期自动转存储蓄中，第二年的本金是第一年的本利和。

这种储蓄的计息方式是按复利计息，是等比数列的模型，这是解决本例的关键。

事实上，在将实际问题转化为数列问题时，特别应分清是等差数列还是等比数列。

解：(1)记n年后得到的本利和 a n，根据题意，
第1年存入的本金P元，1年后到期利息为P•r,1年后本利和为
a n1＝P＋P•r＝P(1＋r)(元)；
2年后到期利息为P(1＋r)r元，2年后本利和为
a2＝P(1＋r)＋P(1＋r)r＝P(1＋r)2(元)；
……
各年的本利和是一个以a1＝P(1＋r)为首项，公比q＝1＋r的等比数列{a n}，故n年后到期的本利和a n＝a1q n−1＝P(1＋r)(1＋r)n−1＝P(1＋r)n(元)(复利公式)
(2)根据上式，5年后本利和为
a5＝1×(1＋0.027 9)5≈1.148(万元)
答：5年后共得本利和约为1.148万元。

点评：教师可借此引导学生探究银行存款的最佳方式及储蓄业务的种类。

尝试设计“寻找最好存款方式”的算法程序，并上机实现。

可利用多媒体探究以下问题：
变式训练2：银行整存整取定期储蓄年利率如下表所示。

(2007年3月18日)
某公司欲将10万元存入银行5年，可按以下方案办理(不考虑利息税)：
(1)直接存入5年定期；
(2)先存2年定期，取出本利和后再存3年定期。

问题1 计算出不同存法到期后的本利和，哪种存款方式更合算？(第(1)种更合算)
问题2 你能设计出更好的存款方案吗？(答案略)
例3 分期付款模型小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清，商场提出的付款方式为：购买后2个月第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后12个月第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。

求小华每期付的金额是多少？
活动：教师引导学生探究，分期付款是数列知识的一个实际应用，在现实生活中形式很多。

除本题要求每次付款金额相同外，各次付款的时间间隔也相同。

分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与分多少次付款有关，且付款的次数越少，差额越大。

分期付款是等比数列的模型。

解：假定小华每期还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为A K元，则
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x；
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×(1＋0.008)4－1.0082x－x；
A6＝A4(1＋0.008)2－x＝5 000×(1＋0.008)6－1.0084x－1.0082x－x；
…
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋1.0086＋1.0084＋1.0082)x；
由题意年底还清，所以A12＝0
解得x＝5 000×1.00812
1.00810＋1.0088＋1.0086＋1.0084＋1.0082
≈880.8(元)
答：小华每期付款的金额为880.8元。

这是一个关于x的一次方程，利用等比数列求和公式及计算器可求得x≈880.8；这样，用另一种方法求得了小华每期付款的金额为880.8元，付款总额为5 284.8元。

变式训练3:商场出售电脑，提出了如下表所示的3种付款方式，以供顾客选择。

请分别算出各种付款方式每次应付款金额，并填在表中．选择一种你喜欢的付款方式，与同学交流，并说明选择的理由。

购买后12个月第6次付款。

购买后1个月第1次付款，
过1个月第2次付款……
购买后12个月第12次付款。

注：1.每种方案中每次所付款额相同；
2.规定月利率为0.8%，每月利息按复利计算。

答案：略。

四、课堂小结：
1．由学生归纳整合银行存款的计息方式，银行储蓄业务的种类及三种模型：零存整取模型、
定期自动转存模型、分期付款模型，熟悉教育储蓄的计息方法。

2．教师点拨，等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型。

要把学习知识，应用知识，探索发现，使用计算机工具及培养良好的科学态度与思维品质很好地结合起来。

在归纳整合探究实际问题的过程中，进一步加深对数学问题的理解。

五、作业布置：
1．课本本节习题1—4 1,2
2．利用网络资源，探究分期付款问题。

3．阅读课本本章小结建议，梳理全章知识点和思想方法。

◆教学反思
略。