高中数学必修5北师大版 等比数列 第2课时 等比数列的性质 作业(含答案)

学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在正项等比数列{a n }中，a 3·a 5＝4，则a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝( )
【导学号：47172072】
A ．64
B ．128
C ．256
D ．512
【解析】 a 3·a 5＝a 1·a 7＝a 2·a 6＝a 24＝4，∵a n ＞0，∴a 4＝2，
∴a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝(a 24)3·a 4＝a 74＝27＝128.
【答案】 B
2．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8＝( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
【解析】 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，
∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝16.
【答案】 D
3．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【解析】 不妨设a >b ，由题意得⎩⎨⎧ a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，
∴a >0，b >0， 则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，
∴⎩⎨⎧ ab ＝(－2)2，a －2＝2b ，∴⎩⎨⎧
a ＝4，
b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.
【答案】 D
4．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，则下面说法中不正确的是( )
【导学号：47172073】
A ．{a n ＋2＋a n }是等比数列
B ．对于k ∈N *，k ＞1，a k －1＋a k ＋1≠2a k
C ．对于n ∈N *，都有a n a n ＋2＞0
D ．若a 2＞a 1，则对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＞a n
【解析】 对于A ，{a n ＋2＋a n }是公比为q 的等比数列，正确；
对于B ，对于k ∈N *
，k ＞1，a k －1＋a k ＋1＝a k q ＋a k q ， ∵q ≠1，∴a k －1＋a k ＋1≠2a k ，正确；
对于C ，a n a n ＋2＝a 2n q 2＞0，正确；
对于D ，若a 2＞a 1，q ＞1，则对于任意n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，故不正确．故选D.
【答案】 D
5．在等比数列{a n }中，a 5a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5
＝( ) A ．3
B.13 C ．3或13 D ．－3或－13
【解析】 ∵a 5a 11＝a 3a 13＝3，又a 3＋a 13＝4，
∴⎩⎨⎧ a 3＝1a 13＝3或⎩⎨⎧
a 3＝3a 13＝1
，又a 15a 5＝q 10＝a 13a 3，∴a 15a 5的值为3或13. 【答案】 C
二、填空题
6．若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中a ＝5＋26，c ＝5－26，则b ＝________.
【解析】 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝a ·c
＝(5＋26)(5－26)＝1.
又b >0，∴b ＝1.
【答案】 1
7．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为________．
【解析】 由a 27＝a 3a 9，d ＝－2，
可得[a 1＋6×(－2)]2＝[a 1＋2×(－2)]·[a 1＋8×(－2)]，
即(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，
解得a 1＝20，
所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.
【答案】 110
8．已知{a n }是公差不为零的等差数列，且a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，若b 1＝3，则b n ＝________.
【解析】 ∵{a n }是公差不为零的等差数列，设首项为a 1，公差为d ，∵a 7，a 10，a 15是等比数列{b n }的连续三项，
∴(a 1＋9d )2＝(a 1＋6d )(a 1＋14d )，整理可得d ＝－23a 1.
设数列{b n }的公比为q ，则q ＝a 10a 7
＝a 1＋9d a 1＋6d ＝53， ∴b n ＝b 1q n －1＝3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫53n －1. 【答案】 3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫53n －1 三、解答题
9．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .
【导学号：47172074】 【解】 由b 1＋b 2＋b 3＝3，
得log 2(a 1·a 2·a 3)＝3，
∴a 1·a 2·a 3＝23＝8，
∵a 22＝a 1·
a 3，∴a 2＝2，又
b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得
log 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2q ·log 2(2q )＝－3， 解得q ＝4或14，。