大学物理-82电通量高斯定理

E dS

E d E E dS EdS cos
S S S
S
讨论
dE E dS
正与负
E dS
如右上图可知 E ds >0 若如红箭头所示，则 E ds <0
取决于面元的法线 方向的选取
S
dS
（3）任意电场中通过闭合面的电通量
q 2 S E dS E 4r 0
q E 40 r 2
（1）rR时，高斯面无电荷
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+ + + +
+ + + +
q
E 0
（2）rR时，高斯面包围电荷q
E
q 40 r
2
均匀带电球面的电场分布
E r关系曲线
+ + + +
该面元对点电荷所张的 立体角 d 点电荷在面元处的场强为 E
q
S
d
dS
E
点电荷在面元处的场强为
E
q 4 0 r 2
q
r
^ r
^ r
S
d
dS
E
dE E dS
E dS
S
qdscos q q ˆ dS d r 2 2 4 0 4 0 r 4 0 r
S S i
q
S内
0
推广到任意带电系统的电场： 用迭加原理
s
q1
q2
q3
E
ds

q5 q4 E E ds Ei ds s s s E1 ds s E 2 ds s E 3 ds s E 4 ds s E 5 ds
b
a
c
Ec
E
1.4 电力线的性质
（1）起始于正电荷，终止于负电荷，有头有尾，不会在无电荷 处中断。
（2）在没有点电荷的空间，任何两条电力线不会相交。
（3）电力线不会形成闭合曲线。
这些基本性质，由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
2.电通量 藉助电力线认识电通量 匀强电场 E 2.1 定义：通过任一面的电力线条数叫做通过
课题:
§ 8－2
教学目标： 1、正确理解高斯定理；
电通量
高斯定理
2、掌握用高斯定理分析、求解电场强度的条件和方法，并能 熟练运用之。 教学重点： 1、高斯定理的理解； 2、应用高斯定理分析、求解电场强度。 教学难点： 高斯定理的证明(了解) 教学手段：多媒体教学与讲授相结合
课时安排：2课时
d
S
E2
dS1
1
E1
d 1 d2 0
E d s 0
S
q
（因为电力线穿入、穿出此曲面的数目一样） q 在面内对通量有贡献，q 在面外对通量无贡献。
3) 源和面均任意 根据叠加原理可得
s
E ds
S
q
S内
i
0
i
E dS Ei dS
r
d
取 r1为半径的弧长
dl1
r 1
dl0 r0
dl1 dl0
dl
r0
dl 1 d r1
当然也
射线长为
r
一般的定义： 线段元 dl 对某点所张的平面角
dl0 dl d cos r r
单位：弧度

dl0 dl 平面角： d cos r r
立体角： 面元dS 对某点所张的立体角， 锥体的“顶角”。 对比平面角，取半径为 r1
r
r1
d
dl1 dl0
dl
dS
r0

r1
dS1
rdS
0
r0

球面面元
ds1
定义式
d
单位：球面度
dS1 dS 0 dS d 2 2 d 2 cos r1 r0 r
计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角
dl dl0 2 d cos r r0 l l0 l
为此当电场具有： 球对称时，高斯面选为同心球面； 轴对称时，高斯面选为同轴柱面； 面对称时，高斯面选为柱面，并使两底与 E 垂直， 侧面与 E 平行。
例2. 均匀带电球体电荷体密度已知，球半径为R，在球内挖
去一个半径为r（r<R）的球体。 试证：空腔部分的电场为匀强电场，并求出该电场。 证明： 用填补法证明。
q q

q d d 4 0 4 0 S 0 S
E ds
S
在所设的情况下得证
q
内
i
0
2)源电荷仍是点电荷 取一闭合面不包围点电荷(如图示)
在闭合面上任取面元 dS1
该面元对点电荷张 的立体角 d , 也对应面元 dS 2
q
r2
dS 2
3.静电场的高斯定理
3.1 表述
Gauss theorem
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量 等于这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。
E E dS
S
q
S内
E
i
q1
q2
q3

ds
0
s
q5
q4
补充：立体角的概念
平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角

平面
弧度
r r0
l0
计算闭合曲面对面内一点所张的立体角
l
dS 0 d 2 4 r0 S S
球面度
3.2 高斯定理的证明 库仑定律 + 叠加原理
思路：先证明点电荷的场 然后推广至一般电荷分布的场 1) 源电荷是点电荷
在该场中取一包围点电荷的闭合面(如图示)
在闭合面S上任取面元 ds
E ”。 该面的电场强度通量（电通量）“
2.2 电通量的计算
S


S
S Se n
en E
（1）匀强电场中通过任意平面的电通量 e E E ES cos E S S
（2）任意电场中通过任意曲面的电通量 把曲面分成许多个面积元
每一面元处视为匀强电场
E
在空腔内任取一点p, 设该点场强为
,
c
E1 r
设想用一个半径为r且体电荷密度与大球相同的小 OP 球将空腔补上后， p点场强变为 Ε1 3 0
p o E2
R
小球单独存在时，p点的场强为 E2 3 cp 0 E E1 E2 (op cp) oc 3 0 3 0
0
r
R
4 3 a.rR时，高斯面内电荷 q dV r 3
b. rR时，高斯面内电荷
E r 3 0
4 3 q R 3
R 3 1 E 3 0 r 2
均匀带电球体的电场分布
E
r 3 0
R 1 3 0 r 2
3
rR
rR
R
E
R 3 0
1.3几种电场的电场线（P-29）
点电荷的电场线
+
负电荷
正电荷
一对等量异号 电荷的电场线
一对等量正点 电荷的电场线
+
+
+一对异号不等量点源自荷的电场线+ 2q
q
带电平行板电容器的电场
++ ++ + + + + +
小结：电场强度 E
Eb
Ea
方向： 曲线上各点切线方向
de 大小： E =电力线密度 dS
1 e E dS
S
0
q
S内
i

1
0

V
d V;
4.一般情况下，当电荷分布给定时，由高斯定理只能求出通过某 一闭合曲面的电通量，并不能把电场中各点的场强确定下来。 5.当电荷分布具有某些特殊的对称性，相应的电场分布也具有一 定的对称性时，应用高斯定理可计算其场强。
由高斯定理得
S 2 ES 0
E 2 0
S
E
E
σ
例8-11 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R， 沿轴线方向单位长度带电量为。
电荷分布具有柱对称性，电场分布也应有柱对称性， 解： 方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 高为l，半径为r r
E dS E dS E 2rl
b
a
Ea
c
. P
E
1.2 电力线密度：经过电场中任一点P作与该点场强方向垂直的面 积元 S ，设通过它的电力线根数为 E 。 定义：该面积元上的平均电力线密度 E ∴ P的电力线密度 lim E dE S 0 S dS
S

引入“电力线”时，可使 E ∝
1 1 (q1 q2 q3 ) qi 0 0 ( s内)
（证毕）
0
5
讨论
1.高斯定律表明了静电场是“有源场”，电荷就是静电场的源。 2.闭合面内、外电荷的贡献： 对 E 都有贡献, 对电通量 E dS 的贡献有差别,

S
只有闭合面内的电量对电通量有贡献。 3.对电荷连续分布的带电体
回顾：电场强度的计算 F 1 q （1）点电荷的电场 E r 3 q0 40 r （2）点电荷系的电场 E Ei Ei

qi r 3 i 40 ri 1
1 dl r (电荷线分布 ) 3 4 0 r 1 ds r (电荷面分布 ) 3 4 0 r
4.高斯定理在求解场方面的应用
对 Q 的分布具有某种对称性的情况下,
利用高斯定理求解 E 较为方便
常见的电量分布的对称性：
均 匀 带 电 的
球对称
球体 球面
柱对称
无限长 柱体 柱面
面对称 无限大 平板
平面
(点电荷)
带电线
例1 均匀带电球面的电场，球面半径为R，带电为q。 解： 电荷分布具有球对称性，电场分布也应有球对称性， 其方向沿径向。 作同心且半径为r的高斯面.
r
2
+
R
+ +
+
q
q 40 R 2
E
+ + + +
+ + r + +
0
R
r
例8-9 均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密度为。
解： 电荷分布具有球对称性，电场分布也应有球对称性， 其方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面
q 2 E dS E 4r
S
q E 40 r 2
r1
r^ 1
2 两面元处对应的点电荷的电场强度分别为 E1，E2 q ^ q r ds1 r ^ ds2 dE E1 ds1 E2 ds2 2 1 2 2 4 0 r1 4 0 r2 qds1 cos1 qds2 cos 2 0 2 2 4 0 r1 4 0 r2
O
Er 关系曲线
2
r
R
r
例8-10 均匀带电无限大平面的电场.
解： 电荷分布具有面对称性，电场分布也应有面 对称性，方向沿法向。
E
E
σ
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S， 两底面到带电平面距离相同。
sE dS 两底 E dS 2 ES
圆柱形高斯面内电荷 q S
1 dq （3）连续带电体的电场 dE r 3 40 r
dV r (电荷体分布 ) 3 4 0 r
1
1.电场的图示法—电力线（电场线1996年）
用一族空间曲线形象描述电场分布 1.1 电场中电力线必须满足的两个条件： （1）曲线上每一点的切线方向都表示该点的场强方向； （2）曲线的密、疏程度可反映该点场强的强、弱。 Eb Ec S
d e ， dS
de 当比例系数为1时，则有： E dS
即：电场中某点的场强的大小等于该点的电力线密度。
dE E dS 通过一个横切面的电力线数就确定了。
若按此规定画出电力线，则在电力线密处场强大， 电力线疏处场强就小。
这样从电场的电力线图形就可看出电场中各处场强 的大小和方向，对电场的整体情况就一目了然。
s 侧面
l
20lr （1）当r<R 时， q 0
由高斯定理知 E
q
E 0
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
q l
E 20 r
均匀带电圆柱面的电场分布 E Er 关系曲线
r
l
1
20 R
0
r
R
r
应用高斯定理求场强时，高斯面的选择
（1）高斯面一定要通过待求场强的那一点； （2）高斯面的各部分或者与 E 垂直，或者与 E 平行； （3）与 E 垂直的那部分高斯面上，各点的场强应相等； （4）高斯面的形状应比较简单。
E
E dS E dS cos
S S
S
规定：面元方向由闭合面内指向面外
E
S
E E dS E dS cos
S S
讨论：
dS


dS
E ds <0 （1）电力线穿入 E ds >0 （2）电力线穿出 （3）电力线与曲面相切 E ds =0