正弦定理和余弦定理1

高中数学必修五正弦定理和余弦定理(教学案)
导学目标：
1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.
2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
自主梳理
1．三角形的有关性质
(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝________； (2)a ＋b ____c ，a －b <c ；
(3)a >b ⇔sin A ____sin B ⇔A ____B ；
(4)三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12
ac sin B ＝_________________； (5)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或_______________⇔三角形为等腰或直角三角形； sin(A ＋B )＝sin C ，sin
A ＋
B 2＝cos
C 2. 2．正弦定理和余弦定理
知识点1 : 正弦定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sin sin a
b
A B =sin c
C =
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；
（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C
从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B
= ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b =。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形
知识点2 : 余弦定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
2222cos c a b ab C =+-
变形公式：222
cos 2+-=b c a A bc
222
cos 2+-=a c b B ac
222
cos 2+-=b a c C ba
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

学习结论：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
sin sin a
b
A B =sin c
C =
（2）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余
弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-
2222cos b a c ac B =+-
2222cos c a b ab C =+-
1．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( )
A ．2 3
B ．12
C ．27
D ．28
2．(教材习题改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( )
A ．－223 B.223 C ．－63 D.63
3．△ABC 中，a ＝5，b ＝3， B ＝4
π，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个
4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13
，则△ABC 的面积为________． 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．
题型一 利用正弦定理解三角形
例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c.
已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A
的大小为___________．
题型二 利用余弦定理求解三角形
例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c
. (1)求角B 的大小； (2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，
且2cos 2A
2
＋cos A ＝0. (1)求角A 的值； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．
题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用
例3(2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.
(1)求A ； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .
(1)若c ＝2，C ＝π3
，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．
方法与技巧
1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2
中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．
2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得s in 2A ＝sin 2B ＋sin 2
C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明．
失误与防范
1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有
时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．
2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．。