浙江省瑞安中学高三数学上学期期中试题 理 新人教A版

瑞安中学2013学年第一学期高三期中考试
数学（理科）试卷 2013.11
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1. 若集合}1|{},2|{-====x y y P y y M x ，则M ∩P= （ ）
A ．}1|{>y y
B ．
}1|{≥y y C ．
}0|{>
y y D ．}0|{≥y y
2. 已知平面向量(1,2),(2,),a b m ==-r r 且,a b r r P 则23a b +=r r （
） A. (2,4)-- B. (3,6)-- C. (4,8)-- D. (5,10)--
3. 若α、β都是第一象限的角，则“αβ>”是“tan tan αβ>” （
） A ．充分不必要条件 B ． 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
4. 已知ABC ∆中，5
tan 12A =-，则cos A = （
） A. 1213 B. 513 C. 5
13- D. 12
13-
5.抛物线2y x =的焦点关于直线:l y x =-的对称点是 （
） A .1(,0)4- B. 1(0,)4- C. 1(,0)4 D. 1
(0,)4
6. 一束光线从点(1,1)-出发经x 轴反射到圆C ：22(2)(3)1x y -+-=上
的最短路程是 （
）
A. 4
B. 1
C. 5
D.
7. 已知双曲线的渐近线方程为,y = 焦点坐标为(4,0)-、(4,0),
则该双曲线的方程为 （
） A. 221824x y -= B. 2
2
1124x y -= C. 22
1248x y -= D. 2
2
1412x y -=
8.已知12,F F 为双曲线C:22
1916x y -=的左、右焦点，点P 在曲线C 上，123,
PF PF =
则12cos F PF ∠= （
） A. 527 B. 527- C. 7
25- D. 7
25
9. 如图是函数Q(x)的图象的一部分, 设函数()sin ,f x x = 1()g x x =
，则Q(x)是( ) A ．)
()(x g x f B ．f (x)g (x) C ．f ( x ) – g ( x ) D ．()()f x g x +
10. 若以椭圆的四个顶点为顶点的菱形的内切圆过椭圆的
焦点，则椭圆的离心率为 （ ） 35-51-31- D. 212
二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共计28分.
11. 双曲线221x y -=的离心率是 ▲ ．
12. 函数sin lg(2cos 1)y x x =-的定义域为 ▲ ． 13．已知12,F F 为椭圆22
1369x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A,B 两点，若2216F A F B +=，则AB = ▲ 。

14.已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右
平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象
如图所示，则ϕ= ▲ ．
15. 设函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，若1150(0),(1)444f f ≤≤
-≤≤，则以,a b 为坐标的点(,)P a b 所构成的图形面积是 ▲ ．
16. 已知ABC ∆中4,5,7AB AC BC ===,点O 是其内切圆圆心， 则⋅= ▲ ．
17. 设,t R ∈ 若*n N ∈时，不等式(20)ln()0n t n t
⋅-≥恒成立；
则t 的取值范围是 ▲ ．
(第9题) y
x 17π24π8O
三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出必要的理由和解题步骤.
18.（本题满分14分）已知函数||)(2a x x x f -+=．
（I ）试讨论)(x f 的奇偶性；（II ）若1≥a ，且)(x f 的最小值为１，求a 的值．
19.（本题满分14分）已知ABC ∆中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，设向量(,cos )m a B =r
，(,cos )n b A =r ，且m n r r P ，m n ≠r r
（I ）求C ∠的值；
（II ）若实数x 满足2
(sin cos )1sin A A x A =+，求x 的取值范围.
20.（本题满分14分）已知函数sin(),(0,0,)2y M x M π
ωφωφ=+>><的
部分图像如图所示，其中B,C 为函数的最大值
和最小值的对应点，过点B 与直线AB:1
+=x y 垂直的直线BC 被圆229x y +=所截得的弦长
为32.
（I ）求直线BC 的方程.（II ）求函数sin(),(0,0,)2y M x M πωφωφ=+>><
的解析式；
21.（本题满分15分）已知：动点(,)P x y 到点(0,1)F 的距离比它到直线20y +=的距离小1， （I ）求点P 的轨迹C 的方程；
（II ）在直线1y =-上任取一点M 作曲线C 的两条切线12,l l ，切点分别为A,B ，在y 轴上是
否存在定点Q ，使ABQ ∆的内切圆圆心在定直线n 上？若存在，求出点Q 的坐标及定直线n 的方程；若不存在，请说明理由.
22.（本题满分15分）已知函数()ln f x x x =
（I ）求()f x 在[,1]t t +(0)t >上的最小值；（II ）当2x >时，()2f x kx k >-恒成立，求正整数k 的最大值.（e 为自然对数的底数， 2.71828...e ≈）
瑞安中学2013学年第一学期高三年级期中考试
数学（理科）试卷答案
二、填空题 12. [2,2),3k k k Z π
ππ+∈ 13. 8 14. 3π
15. 3
8 16. 1 17. [4,5].
三、解答题
18. 解:(i)当0a =时,2(),f x x x =+定义域为R 关于原点左右对称.
2(),()().f x x x f x f x -=+∴-=()f x ∴为偶函数. …………………(3分)
(ii)当0a ≠时,22(),()2f a a f a a a =-=+,()(),()()f a f a f a f a ∴≠--≠- ()f x ∴为非奇非偶函数. ……………………………………(7分)
（2）22
,(),x x a x a
f x x x a x a ⎧+-≥=⎨-+<⎩ ……………………………………(8分)
当x a ≥时，1a ≥Q 2
11
()()24f x x a ∴=+--在[,)a +∞上单调递增，
∴当x a =时，2min ()f x a =…………………………………… (10分)
当x a <时，211
()()24f x x a ∴=-+-，1a ≥Q ∴当12x =时，min 1
()4f x a =-
21
4a a >-Q 又()f x Q 的最小值为1，15
1,44a a ∴-=∴=………………… (13分)
综上得：5
4a =…………………………………… (14分)
19. （I ）由m n r r P 得cos cos a A b B =，…………………………………… (2分) 再由正弦定理得sin cos sin cos A A B B =，…………………………………… (4分) 即sin 2sin 2A B =，……………………………………………………… (5分)
又m n ≠r r ，∴A B ≠，∴2A B π
+=，∴2C π
=，……………………………(7分)
（II ）解法一：由2(sin cos )1sin A A x A =+得
22222221sin 2sin cos 2sin sin 22sin cos sin cos sin sin A A A A B a b b a x A A A A A B ab a b
++++=====+≥ …………………………………………… (12分) 当且仅当2b a a b
=时取等号. ,3,a b x ≠∴≠Q 所以x 的取值范围是(3,)+∞U …………………………(14分) 解法二：由2
(sin cos )1sin A A x A =+得 221sin 22sin 21cos 23cos 2sin cos 2sin cos sin 20sin 2A A A A x A A A A A A
+++--====--………………… (10分)
3cos 20sin 2A A
--表示定点(0,3)D 与动点(sin 2,cos 2)P A A 连线的斜率，又2(0,)A π∈，所以动点P 的轨迹是半圆，结合图像得3cos 2(,0sin 2A A
-∈-∞-- ……………………(13分) 所以x 的取值范围是)+∞. ……………………………………………………(14分)
20.解：（I ）依题意设直线:,BC y x b =-+ ……………………………………(1分) 圆心O 到直线BC 的距离2
d ==……………………… (3分) 又3,2
d b ==∴=Q ………………………………………… (5分) 又依题意0,3,b b >∴=∴直线: 3.BC y x =-+………………… (7分)
(II)由13y x y x =+⎧⎨=-+⎩ 得：1,2
x y =⎧∴⎨=⎩点(1,2)B ， 2.M ∴=………………… (8分)
取直线BC 与x 轴的交点为E ，(3,0)E ∴，……………………………(9分)
Q 点,B C 关于点E 中心对称， (5,2)C ∴-2(51)8,0,4T πωω=⨯-=>∴=
Q 2=∴y Q 函数的图象经过点(1,2)B ，
2,,42k k Z π
π
φπ+=+∈,,24π
π
ϕφ<∴=Q ………………………………………(13分)
2sin().44
y x ππ∴=+……………………… (14分) 21．解：（1）解法（一）：设(,)P x y
21y =+- ………（2分） 222(1)(2)221x y y y ∴+-=+-++ ………………………………………（3分） 由条件知：2y >-，224424x y y y ∴-=+--，即2
4x y =24x C y ∴=曲线的方程为 ………………………………………………………（6分）
解法（二）：由题设发现：点(,)P x y 在y=-2的上方
∵点P(x,y)到y=-2的距离比它到直线y=-1的距离多1………（2分）
∴点P(x,y)到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离
∴曲线C 是以F(0,1)为焦点，直线y=-1为准线的抛物线………（4分）
2
4
x C y ∴=曲线的方程为……………………………………………（6分） （2）设2111(,),0,42x x A x x y '≠= 1MA 2
x k ∴=直线MA ：2111()42x x y x x -=-……（7分） 令y=-1得：221111422x x x x --=- 21111
21242x x x x x x ∴=-∴=- 112(,1)2x M x ∴--…（8分）设2222(,),04
x B x x ≠，同理得：222(,1)2x M x ∴--……（9分） 121212
22,()22x x x x x x ∴-=-≠，12121221122()220)022x x x x x x x x x x -∴-+-=∴-+=1 ,（2 124x x ∴=-……………………………………………（10分）
设直线AB ：y kx b =+代入24x y =得：2
24404
x kx b x kx b =+∴--= 121244,4,x x b x x k ∴=-=-+=∴ b=1…………………………（11分）
存在点(0,1),Q -221212121212114440444
AQ BQ x x x x x x k k k k x x x x ++++=+=++=-= ………………………………………………………………………(14分)
OQ ∴平分,AQB ∠∴存在点(0,1),Q -ABQ ∆的内心在定直线:0n x =上.
………………………………………………………………………(15分)
方法（二）：过点A 作,AC l ⊥(:1)l y =-垂足为E ，过点B 作,BD l ⊥垂足为D ， 连结MF 。

由抛物线光学性质知：,EAM FAM ∠=∠………（7分）
又AE=AF ，AM=AM ，0,.90AEM AFM AME AMF AFM ∆≅∆∴∠=∠∴∠=
……………………………………………………………………（9分）
0,.90BDM BFM BMD BMF BFM ∆≅∆∴∠=∠∴∠=………（10分）
MF AB ∴⊥，直线AB 过焦点F. …………………………………（11分）
以下过程同方法（一）.
22.（I ）()ln f x x x =Q 的定义域为(0,),()ln 10,f x x '+∞=+=得:1.x e
=
………（2分） 当1(0,)x e ∈时，()0,f x '<当1(,)x e ∈+∞时，()0,f x '>()f x ∴在1(0,)e
内单调递减，在 1(,)e
+∞上单调递增. …………………………………………………………（3分） ∴当10t e <≤时，()f x 在[,1]t t +上的最小值为11(),f e e
=-…………………（4分） 当1t e >时，()f x 在[,1]t t +上单调递增，()f x ∴的最小值为ln t t …………………（5分） min 11,0()1ln ,t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪∴=⎨⎪>⎪⎩
…………………………………………………………（6分） （II ）当2x >时，()2f x kx k >-恒成立可转化为ln 2x x k x <
-恒成立……………（7分） 令22
ln (ln 1)(2)ln 2ln 2(),(2),()2(2)(2)x x x x x x x x g x x g x x x x +---+-'=>==---………（8分） 令2()2ln 2,()10,h x x x h x x
'=-+-=-+>∴()h x 在(2,)+∞上单调递增………（10分） (5)2ln530,(6)2ln 640,h h =-+<=-+>∴Q 存在唯一的实数0(5,6),x ∈使0()0h x =， ……………………………………………………（11分），即002ln 20,x x -+-= 当0(2,)x x ∈时，()0,g x '<当0(,)x x ∈+∞时，()0.g x '>()g x ∴在0(2,)x 内单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，00000min 000ln ln ()()22ln 2
x x x x x g x g x x x ∴====-………（14分） 053,22
x <<∴Q 正整数k 的最大值为2. ……………………………（15分）。