高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.1.1 等差数列的定义和通项公式课后习题(含解析)

§2等差数列
2.1等差数列
第1课时等差数列的定义和通项公式
课后篇巩固探究
1.若{a n}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是()
A.{a n2}
B.{1
a n
} C.{3a n} D.{|a n|}
解析:设{a n}的公差为d,则3a n+1-3a n=3(a n+1-a n)=3d是常数,故{3a n}一定成等差数列.
{a n2},{1
a n
},{|a n|}都不一定是等差数列,例如当{a n}为{3,1,-1,-3}时.
答案:C
2.在等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,
∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.
答案:B
3.已知{a n}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若a n=2 018,则序号n等于()
A.670
B.671
C.672
D.673
解析:∵a1=2,d=3,∴a n=2+3(n-1)=3n-1.
令3n-1=2018,解得n=673.
答案:D
4.等差数列{a n}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是()
A.3
4B.-3
4
C.-6
7
D.-1
解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d=a5-a1
8=2-8
8
=-6
8
=-3
4
.故选B.
答案:B
5.已知点(n,a n)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{a n}中有()
A.a7+a9>0
B.a7+a9<0
C.a7+a9=0
D.a7·a9=0
解析:∵(n,a n)在直线3x-y-24=0,∴a n=3n-24.
∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3,
∴a7+a9=0.
答案:C
6.在等差数列{a n }中,若a 1=7,a 7=1,则a 5= . 答案:3
7.在等差数列{a n }中,已知a 5=10,a 12>31,则公差d 的取值范围是 . 解析:设此数列的首项为a 1,公差为d ,
由已知得{a 1+4d =10,a 1+11d >31,①
②
②-①,得7d>21,所以d>3.
答案:d>3
8.在数列{a n }中,a 1=3,且对任意大于1的正整数n ,点(√a n ,√a n -1)在直线x-y-√3=0上,则数列{a n }的通项公式为a n = .
解析:由题意知√a n −√a n -1=√3(n ≥2),
∴{√a n }是以√a 1为首项,以√3为公差的等差数列, ∴√a n =√a 1+(n-1)d=√3+√3(n-1)=√3n. ∴a n =3n 2.
答案:3n 2
9.已知数列{a n },{b n }满足{1
a n +
b n
}是等差数列,且b n =n 2,a 2=5,a 8=8,则a 9= .
解析:由题意得1
a
2+b 2
=19,1
a
8+b 8
=1
72,
因为{
1
a n +
b n }是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-7
72×6
,
所以1
a 9+
b 9
=1
72−7
72×6=-1
432,所以a 9=-513.
答案:-513
10.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第 项.
解析:设a n =3n-1,公差为d 1,新数列为{b n },公差为d 2,a 1=2,b 1=2,d 1=a n -a n-1=3,d 2=d
14=3
4,则b n =2+3
4(n-1)=3
4n+5
4,b 29=23,令a n =23,即3n-1=23.故n=8. 答案:8
11.若一个数列{a n }满足a n +a n-1=h ,其中h 为常数,n ≥2且n ∈N +,则称数列{a n }为等和数列,h 为公和.已知等和数列{a n }中,a 1=1,h=-3,则a 2 016= . 解析:易知a n ={1,n 为奇数,-4,n 为偶数,
∴a 2016=-4.
答案:-4
12.已知a ,b ,c 成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a ,b ,c 的值. 解由已知,得{2b =a +c ,
a +
b +
c =33,2lg (b -5)=lg (a -1)+lg (c -6),
∴{b =11,a +c =22,(b -5)2
=(a -1)(c -6),
解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9. 13.
导学号33194005已知无穷等差数列{a n },首项a 1=3,公差d=-5,依次取出项的序号
被4除余3的项组成数列{b n }. (1)求b 1和b 2; (2)求{b n }的通项公式;
(3){b n }中的第110项是{a n }的第几项? 解(1)∵a 1=3,d=-5,∴a n =3+(n-1)(-5)=8-5n.
∵数列{a n }中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…, ∴{b n }的首项b 1=a 3=-7,b 2=a 7=-27.
(2)设{a n }中的第m 项是{b n }的第n 项,即b n =a m , 则m=3+4(n-1)=4n-1,
∴b n =a m =a 4n-1=8-5(4n-1)=13-20n (n ∈N +).∴{b n }的通项公式为b n =13-20n (n ∈N +).
(3)b 110=13-20×110=-2187,设它是{a n }中的第m 项,则8-5m=-2187,则m=439. 14.
导学号33194006已知数列{a n }满足a 1=15,且当n>1,n ∈N +时,有a
n -1
a n
=
2a n -1+11-2a n
,设
b n =1
a n
,n ∈N +.
(1)求证:数列{b n }为等差数列.
(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.
(1)证明当n>1,n ∈N +时,a
n -1
a n
=
2a n -1+11-2a n
⇔
1-2a n a n
=
2a n -1+1a n -1
⇔1a n
-2=2+1
a
n -1
⇔1a n
−1
a n -1
=4⇔b n -b n-1=4,且
b 1=1
a 1
=5.
∴{b n }是等差数列,且公差为4,首项为5.
(2)解由(1)知b n =b 1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.
∴a n =1b n
=1
4n+1,n ∈N +.
∴a 1=15,a 2=19,∴a 1a 2=1
45.
令a n=1
4n+1=1
45
,∴n=11,即a1a2=a11.
∴a1a2是数列{a n}中的项,是第11项.。