北师大版八年级数学上册第二章实数知识点及习题

知识点一、【平方根】
如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根；即：当x2 a(a 0)时，我们称x是a的平方根，记做：x ...a (a 0)。

因此：
1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
2、当a>0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：
x .. a。

3、当a v0时，即a为负数时，它不存在平方根。

例1： (1) ______ 的平方是64,所以64的平方根是 _________ 。

(2) _______ 的平方根是它本身。

(3) _____________________________ 若.x的平方根是立，则x= ; . 16的平方根是 ______________________________________ 。

(4)当x ________________ 时，3-2x有意义。

(5) ______________________________________________ 一个正数的平方根分别是m和叶4,则m的值是 ______________________________________ ，这个正数是_______ 。

知识点二、【算术平方根】：
1、如果一个正数x的平方等于a,即x2a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记
为：“订”，读作，根号a”，其中，a称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：,a 0(a 0)。

3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反
数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：掐；
而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：Ja。

例2： (1)下列说法正确的是( )
A、1的立方根是 1 ;
B、•- 4 2 ;
C、81的平方根是 3 ;
D、0没有平方根•
(2)下列各式正确的是( )
A、陌9
B、3.14 3.14 C"27 恥D、屈 V3 42
(3) ________________________ ( 3)2的算术平方根是_______________________ 。

(4)若圾 ____________________________ ―x有意义，则J x 1 ________________________ 。

(5)已知△ ABC的三边分别是a、b、c,且a、b满足、
a 3 (
b 4)2 0，则
c 的取值范围为。

(6) ____________________________________________________________ 如果x、y分别是4 ..3的整数部分和小数部分，贝U x-y的值为_______________________ 。

(7)求下列各数的平方根和算术平方根.
64, 竺,0.0004, (-25)2, 11, 1.44, 0, 8, 100, 441, 196, 10-4.
121 49
(8)----------------------- (丫64)2= ; --------- )2= ； ------------- (、方)2=
(9)对于正数a, ( ■ a )2等于多少？
⑴ J4 (9= _______ ，v'4 9 =
；⑵ 716 79=________ ，v16 9 = __________________ ；
（4）：
我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算•加与减互为逆运算，乘与除互
为逆运算，乘方与开方互为逆运算.
知识点三、【开平方性质】
知识点四、【立方根】：
1、如果x的立方等于a,那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。

记做：3a，读作：3次根号a。

注意：这里的3表示的是根指数。

一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。

2、平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3：（1）64的立方根是 ___
（2）若3 a 2.89,3 ab 28.9，则 b 等于（）
A、1000000
B、1000
C、10
D、10000
（3）下列说法中：①3都是27的立方根；②3 y3 y :③• 64的立方根是2；
④3 8 24。

其中正确的有（）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
知识点五、【无理数】：
1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足无限”以及不循环”这两个条件。

在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：
圆周率以及含有的一些数，如：2- ，3等；（2）开方开不尽的数，如：.、2,・、
5,39等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01 （•两个1之间依次多1
个0）等。

应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：■ 9
等；无理数也不一定带根号，如：.
2、有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数
则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分
母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例4：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③V5 <7、④n⑤、⑥-、
3
⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有;
是无理数的有_________ 。

（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…，，・、4,32其中无理数有（）个
A、2
B、3
C、4
D、5
知识点六、【实数】：
1、有理数与无理数统称为实数。

在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对
值最小的实数是0,最大的负整数是-1,最小的正整数是1.
2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是丄@工0；实数a的绝对值
a
|a|= a（a 0），|a|的几何意义是：在数轴上表示实数a的点到原点的距离。

a（a 0）
3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数
大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。

（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。

对于
..225 289 , 361
些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。

运算
法则和运算顺序与有理数的一致。

例5:( 1)下列说法正确的是( )
A 、任何有理数均可用分数形式表示 ；
B 、数轴上的点与有理数一一对应 ；
C 、1和2之间的无理数只有；
D 、不带根号的数都是有理数。

(2) a 、b 在数轴上的位置如图所示，贝U 下列各式有意义的是 ( ) A 、弋 __b B 、寸玩 C 、J __b D 、丁 __a --------------- a ----- 0 ---- b 》 (3) 如右图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数是,3 和-1,
则点C 所对应的实数是()
A 、1+ .3
B 、2+、3
C 、2 3-1
D 、2 3+1
(4)实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且 a
l b ，
a
Ob 。

则化简TO 2
a b 的结果为() A 、2a b B 、 2a b C 、 b D 、2a b
(5)比较大小(填 、”或 N”).
6厅后1
1.
2 2
3 V10， V 3 V20 ， A/6
(6) _______________________________________________________________ 将2,旷
8，＜3， 1 v'5用连接起来： ______________________________________________ (7) 若 a 3jb 2，且 ab 0,则 a b= _________________。

(8) 计算：
① 4 " 31127
.9 . 25 . 49 .81 ,121 , 169 (9)已知 x 7 2 121, y 1 3 0.064，求代数式x 2 . x _10y 3 245y 的值
(10)
若等腰三角形ABC 的三边长分别为a 、b 、c,且a 、b 满足-• a 2 (5 b)2 0， 求
第三边c 的长。

②3
0.125
基础练习一
1
F 列数中是无理数的是（
A 、0.1223
B 、-
2
C
22 7
2、 3、 F 列说法中正确的是（
A 、不循环小数是无理数
C 、有理数都是有限小数 F 列语句
正确的是（
） A 、3.78788788878888是无理数 C 、无限小数不能化成分数 分数不是有理数 3.1415926是有理数
B 、无理数分正无理数、零、负无理数 D 、无限不循环小数是无理数
-（a 2
+1）
17、 • a 2 等于（）
A 、a
18、 如果a （a >0）的平方根是那么（
A 、a 2
= ±m B 、a= ±m 2
C 、
D 、以上答案都不对
19、 若正方形的边长是a ,面积为S ,那么（ a B 、a 是S 的算术平方根
C 、 a =±m
D 、. 土 a =±m )
A 、S 的平方根是 、填空题：
C 、a= ± S
D 、S=、a
、选择题:
4、在直角△ ABC 中，/ C=90° , A 、整数 B 、分数
AC
=?，B C =2
，则 AB 为（
） C 、无理数 D 、不能确定
5、面积为6的长方形，长是宽的 2 倍, 则宽为（ ）
A 、小数
B 、分数
C 、 无理数
D 、不能确定
6、. （ 2）2的化简结果是（ )
A 、 2
B 、-2
C 、 2或-2
D 、4
7、9的算术平方根是（）
A 、 ±3
B 、3
C 、土. 3
D 、 3 & （— 11）2的平方根是（）
A 、 121
B 、11
C 、±1
D 、 没有平方根
9、下列式子中，正确的是（ )
A 、 . 5 .5
B 、 -；J 3.6 =- 0.6
C 、. ( 13)2
=13 D 、、. 36 = ±5
10、7 2
的算术平方根是（, ) A 、 - B 、 7 C 、丄 D 、14
7 14
11、16的平方根是（） A 、±
B 、24
C 、土 •. 2
D 、± 12、一个数的算术平方根为 a ,比这个数大 2的数是（）
A 、a+2
B 、a -2
C 、a +2
D 、a 2
+2
13、下列说法正确的是（）
A 、-2是-4的平方根
B 、 2是（-2）2
的算术平方根
C 、（- 2）2的平方根是2
D 、 8的平方根是4
14、 16的平方根是（）
A 、4
B 、-4
C 、±4
D 、±
15、 9 <16的值是（）
A 、7
B 、-1
C 、1
D 、-7
16、下列各数中没有平方根的数是 ()
A 、-(-2)3
B 、 3—3
C 、 a 0
D 、
2
1、
在下列数：0.351 - , 4.969696，- - - 6.75755175551,…0 , -5.2333
5.41101001000中;…
3
无理数有___ 个。

2、小数或小数是有理数，小数是无理数.
3、若x2=8 ,则x 分数, ____________ 整数，_______ 有理数.（填是”或不是”）
4、面积为3的正方形的边长______ 理数；面积为4的正方形的边长_______ 有理数.
（填是”或不是”）
5、缶的平方根是 ----------- ；
6
（冷尸的算术平方根是 ----------- ；
,<4的平方根为 _______ ;
____
，算术平方根是 _____
7、一个正数的平方根是2a-1与-a+2，则a= _________ ，这个正数是 __________ ； & U25的算术平方根是 ___________ ； 9、9-2的算术平方根是 __________ ；
2、要切一块面积为36 m 2的正方形铁板，它的边长应是多少?
3、已知某数有两个平方根分别是 a+3与2a-15，求这个数.
分母有理化
1. 分母有理化
定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2. 有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就 说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下： ① 单项二次根式：利用.a .. a a 来确定，如：•、a 与a ，a b 与a b ，、a b 与.a b 等分别互为有理化因式。

② 两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如 a . b 与a . b ，-、a . b 与, a . b ，
1、 —0.01是0.1的平方根.
(
) 2、 —52的平方根为一5.
( ) 3、 0和负数没有平方根.
( ) 4、 因为一的平方根是±—,所以丿一 =±1
(
)
16 4 V16
4
5、 正数的平方根有两个，它们是互为相反数 ( )
四、 解答题：
1、 3 ? ? 已知下列实数 3
， 1.42，， 4 3.1416， 2
0 42 3
(1)2n ， 10、 V4的值等于— 11、 （- 4）2
的平方根是
三、判断题： 1.42422422
2…
（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数
(6)a . x a (x a
(4)35 5:5
:
(1)
(3)
【练习】
1. 找出下列各式的有理化因式 (1)5 2 (2)2、3 8 11
⑷
3.5
(3) .
2. 把下列各式分母有理化
2 1
5 1
2\ x y
(5)
rf
1
3 2
,3 」2 .2 .5 .5 .3
a x
b y 与a 、、x b y 分别互为有理化因式 例题：找出下列各式的有理化因式
(1) .12
(2)、5 2 (3) . 7 .,10
3 •分母有理化的方法与步骤：
(1) 先将分子、分母化成最简二次根式；
(2) 将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式;
(3) 最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

例题：把下列各式分母有理化
22
1
2
2 ,
3 1
2
2 .3
y Ty ⑵ 碍；⑶廳"锻0
H24
⑵.3 (4 3.5) ； (3) (14 6： 5) (3 .5)；⑷
1
与1 .7 「5
5 ；3
5. 把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面：
⑴26；⑵57；⑶4
2；⑷ 心；⑸软；
1计算 (1) 5.15
. 3
5 ； \ 5
'64、1
^1 ；
2 .12
3 ； 2
☆ ★专题讲解：
类型一.有关概念的识别 1、实数的有关概念
无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含
的数，如：2，- 等，开方
2
开不尽的数，如'-2, 3
6等；特定结构的数，例0.010 010 001…等；某些三角函数，如 sin60o
cos45 o 等。

判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如°,、、花 是有理
数，而不是无理数。

例1.下面几个数：0.123? , 1.010010001…，-换兩,3n, 丁，石，其中, 无理数的个数有（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
例2. （2010年浙江省东阳县）
3
是
7
有理数 C .整数 D .负数
A .无理数
B . 举一反三： 2
3 ， 0
， 3
，
1.在实数中一
—3.14, 4中无理数有（）
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
2、平方根、算术平方根、立方根的概念
若a >0则a 的平方根是-J a , a 的算术平方根-J a ；若a<0,则a 没有平方根和算 术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是3
a 。

【例1】M 6的平方根是 _______
【例2】327的平方根是 ___________
【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A . J x 2+1 B. J x 2y 5 C.皿 D. J 0T
【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是
（A ） 20
0 （B ） 3 1
3
（C ） 一 9 3
（D2 、3 . 5
【例5】（2010年四川省眉山市）计算的结果是 A . 3
B .
3
C . 3
D . 9
举一反三：
1.卜列说法中止确的是（ )
C 、 =±1
D 、 是 5 的平
A 、’■ 1的平方根是±3
B 、1的立方根是± 方根的相反数
2. 1.25的算术平方根是 ;平方根是 .-27立方根是
土 厉二
___________ ? ___________________ ■
类型二.计算类型题 1.估算、比较大小
正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有 理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0〜20之间整数的平方和0〜10之 间整数的立方. 例1 .设 ，则下列结论正确的是（）
A 4.5 <tj < 5.0
B 5.0 < a <5.5
C 5.5 <a <6.0
D 60 弋口 解析：
22
化简|2c—fir|+|c+ |a -c-d|
例2.(2010年浙江省金华)在-3,—,3 , - 1, 0这四个实数中，最大的是( )
A. -3
B.— 3
C. — 1
D. 0
2.二次根式的运算
二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，^ 口：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等.实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来.解决这类问题应明确各种运算的含义
(a0 1(a 0),a p ^(a 0, p是整数)，运算时注意各项的符号，灵活运用运算法则，
a p
细心计算。

例1、计算妤+a2£所得结果是_________ .
例2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：先化简下式，再求值：
a+(1-2a+a2其中a=9时”得出了不同的答案，小明的解答：原式=a+j1-2a+a2 = a+(1
—a)=1，小芳的解答：原式=a+(a—1)=2a—1=2X9—1=17
⑴___________ 错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：___________
例3、计算:(1) (3一2— 2 ,3)2—(3 2+2 3) ( 2) ( 2-. 3严(.2+•. 3严
例4、二次根式，厂a中，字母a的取值范围是( )
A. a 1
B. a< 1
C. a> 1
D. a 1
举一反三：
1.求下列各式中的-
(门干二一(2) ■(3) _门
类型三.数形结合
例1.点A在数轴上表示的数为/ ，点B在数轴上表示的数为厂’，则A，B两点的距离为 _____________
举一反三:
1.如图，数轴上表示1,「的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C 表示的数是().
C A B
A . •' — 1 B. 1— f C . 2— D 2
2。

已知实数在数轴上的位置如图所示:
3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是()
I八.「
J 0 1 A 2
3、已知戸+ (小〉+刊二°那么a+b-c的值为2
A、仁
B、1.4
C、J
D、
类型四•实数绝对值的应用
例4•化简下列各式：
_ ■
(1) | -1.4二| (2) | -n i42|
⑶「」- 'I ⑷ |x-|x-3|| (x < 3)
(5) |X2+6X+10|
举一反三：
【变式1】化简:越-2冏十应+歼陆一羽类型五•实数非负性的应用
若a为实数，则a2,| a |, , a(a 0)均为非负数。

非负数的性质：几个非负数的和等于0,贝U每个非负数都等于0
血-g⑷-49 |
例5.已知：；=0,求实数a, b的值。

举一反三：
1.已知(x-2)2+|y-4|+ . z—6 =0,求xyz 的值.
2、已知(X-6)2+」= f +|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值
类型六.实数应用题
例6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

基础训练二
1、选择题
.下列各式中正确的是( )
A.「1
B.耳陌=4
f— E =
C. - 1
D.「：
2 .■-的平方根是()
A . 4 B.=- C. 2 D.
3 .下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根
④带根号的数都是
无理数。

其中正确的说法有()
第14页共17页 知识改变命运，行动成就人生 D.
B J 左+ 1
C (3,十 1
知识改变命运，行动成就人生
第11页共17页
A . 3个 B. 2个 C. 1个
D. 0个
4. 和数轴上的点 --- 对应的是（
)
A .整数 B.有理数
C.无理数
D.实数
5. 对于打厂来说（）
A .有平方根
B .只有算术平方根 C.没有平方根 D.不能
确定
—J.14,-,0.1010010001-■
6•在？ 2 3 （两个“ 1之间依次多1个“0”中,
无理数
的个数有（） A . 3个 B. 4个
C. 5个
D. 6个
7. 面积为11的正方形边长为x ，则x 的范围是（）
A. l<z <3
B . 3 <J : <4
C . 5 < J <10
D . 10 <X <100
8. 下列各组数中，互为相反数的是（）
—丄
A . -2与㊁
B. I -庞I 与拒
一，与 J ■
9. -8的立方根与4的平方根之和是（）
A . 0
B. 4
C. 0 或-4
10. 已知一个自然数的算术平方根是 a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根 是（）
二、 填空题 11.
的相反数是 _________ 绝对值等于庞 的数是 ___________ ,
I 齐打I = _______ 。

厂
3
Ju2-
12 .朋］的算术平方根是 _______ , Y 3 = __________ 。

13. ____ ________________________ 的平方根等于它本身， _____ 的立方根等于它本身， _______ 的算术平方根等于 它本身。

14. ______________________________________________ 已知I x I 的算术平方根是8,那么x 的立方根是 _____________________________________ 。

15. _______________________________________ 填入两个和为6的无理数，使等式成立： ___________________________________________ + __ =6。

16. 大于-旋，小于历的整数有 ___________ 个。

17. 若I 2a-5 I 与松“互为相反数，则a= ________ ，b= _____ 。

18. 若 I a I =6, 庞=3,且 a^0,则 a-b= __________ 。

19. _______________________________________________________________ 数轴上点A ，点B 分别表示实数 屁序-乙则A 、B 两点间的距离为 ______________________ 。

20. 一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4,贝U a= _______ , x= ____ 。

三、 解答题
21 .计算
⑴ V 「
⑵ J 」.一 ⑶：J 「
⑷丨 > ：I + I 、「 ： I
⑹4 >9 + 2 > ）］（结果保留3个有效数字）
22.在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小
到大的顺序排列，用“ ”号连接：I ° i
参考答案：
一 ：1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D
2
- •- • 11、「「，n3
12、3,二 13、0; 0, ±1 ; 0, 1
14、
±4
15、答案不唯 」如：
16、5
17、二
18、-15
19、2
20、1, 9
21、 ⑴丄 ⑵-17 ⑶-9 ⑷2⑸-36 ⑹ 37.9
22、
—汀 <^2 <^15 "Ji < 0 < -x/2 < 1.5 < 2 <7T
基础练习三
一、选择题 1. 大于—2 5，且不大于32的整数的个数是（ ）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 5 2. 下列几种说法：（1）无理数都是无限小数；（2）带根号的数是无理数；（3）实数分为 正实数和负实数；（4）无理数包括正无理数、零和负无理数。

其中正确的有（ ） C. （1） （4） D.只 A. （1） （2） （3） （4） 有（1） 3. 要使3 （3 x ）3 =3-x ,则x 的取值范围（） A.x < 3 B.x > 3 C.0 < x < 3 D.任意数 4. 下列四个命题中，正确的是（ ） A.数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数 一个无理数 C.两个无理数之和一定是无理数 数个点 5. B. (2) (3) B.数轴上任意一点都表示唯一的 D.数轴上任意两个点之间还有无
6. 若a 为正数， A. a > -^a
2
不是（ 2 A.分数 则有（） B. a= . a C. a v a
D. a 与•• a 的关系不确定
7. B.小数 ） C.无理数 D.实数 8. 下列说法正确的是（ A.无限小数都是无理数 C.无理数的平方是无理数 下列等式正确的是（ ）
B.无理小数是无限小数 D.无理数的平方不是整数
11
3
C . 3
9 3 D .
1
3
1 2
9.实数a 在数轴上的位置如图2-6-2, 则a , -a ,
a 2
的大小关系是
1 2 A. a< - a < 一< a a B.- a <
1
C. - a < — < a <
a
D.
1 —< a 10.
2 a < a < - C . 5 2.5 2、5 5
--------- * - *-- 0 1 p
6题图
10.比较大小：(1 ) 3 25 ________ 3.26
三、判断
(1)无理数都是开方开不尽的数。

( )
(3)无限小数都是无理数。

无理数。

( )
(5)不带根号的数都是有理数。

( )
(7)有理数都是有限小数。

( ) (2)
)(2)无理数都是无限小数。

(4)无理数包括正无理数、零、负
)(6)带根号的数都是无理数。

)(8)实数包括有限小数和无限小数
11.下列各语句中错误的个数为( )•①最小的实数和最大的实数都不存在；②任何
实数的绝对值都是非负数；③任何实数的平方根都是互为相反数；④若两个非负数的和为零，则这两个数都为零•
A.4
B.3
C.2
D.1
二、填空题
1、2 3 4 5 6 7 8 9的算术平方根是•(一 1.44)2的算术平方根为.屈的算术平方根为
9
_______ 10.04= ___________
磋的平方根是__________ ; 9_2是 _________ 的算数平方根；5、(-丄)2的算术平方根是
2•等腰三角形的两条边长分别为2.3和5,那么这个三角形的周长等于___________ 。

4 负数a与2的差的绝对值是____________ .
5若a、b都是无理数，且a+b=2,则a、b的值可以是______________ (填上一个满足条件的值即可).
5、实数a在数轴上的位置如图所示，则|a 1| J(a 2)2________ _____ 1 ----- 1 ----- 1一*--- L
6 •(运-运)2007U2-炎)2008= ____________________ . 一I ° I " 2 7•实数P在数轴上的位置如图1所示，化简.(p 1)2..(p 2)2
9 一个负数a的倒数等于它本身，则Ja 2 = _____________ ;若一个数
本身，则
3a — 5 2a 1 + 23 a 8 =
9.__________________ 数轴上的点与____________________________________________ 一一对应关系，一3.14在数轴上的点在表示一n的点的_____________________________________________
侧。

a的相反数等于
(9)所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数
( )
四、解答题
1.实数a、b、c在数轴上的对应关系如2-5-1，化简|a- b - |c- a + b- c - a。

a b D
图2-6-1 2.求・a 4 —9 2a + 1 3a + . a2的值
6.
7. 2 在实数中，一5 ,0, . 3，— 3. 14, . 4无理数有(
(D) 一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是(
(A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个 8. 9. (A )非负数 (B )非正数 若x v — 3,贝，x + 3|等于(
(A ) x + 3 ( B )— x — 3 下列说法正确是( )
(A) 有理数都是实数
(B) 带根号的数都是无理数
(C )负数 )
)
(D )正数
(D ) x — 3
(B )实数都是有理数 (D )无理数都是开方开不尽的数
、易考题:
1 •— 1的相反数的倒数是
2•已知| a+3|+.b+1 = 0,则实数(a+b )的相反数 _________________ 3•数一3. 14与一 的大小关系是 _____________
4•和数轴上的点成一一对应关系的是 ______________
5.和数轴上表示数—3的点A 距离等于2. 5的B 所表示的数是 __________________ 10. 实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小: (1) c-b 和 d-a (2) bc 和 ad
二、考点训练： 1 .判断题：
(1) 如果a 为实数，那么一a 一定是负数；()
(2) 对于任何实数a 与b,|a — b|=|b — a 恒成立；() (3) 两个无理数之和一定是无理数；() (4) 两个无理数之积不一定是无理数；() (5) 任何有理数都有倒数；() (6)最小的负数是—1；()
(7) a 的相反数的绝对值是它本身；()
(8) 若 |a|=2,|b|=3且 ab>0，则 a — b=— 1；() 2.把下列各数分别填入相应的集合里
—|— 3|，21. 3，— 1. 234，— 22
综合练习
-畀8 , ( .' 2 — 3 )0
,
无理数集合｛ 整数集合｛ 3—
2，1.2121121112 ...... 中
｝ 负分数集合｛
｝ 非负数集合｛
*7 .已知(a —3b) 2+|
a+2
*3 .已知1<x<2，则|x—3|+.■齐矛等于( )
(A)—2x (B)2 (C) 2x (D)— 2
4.下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？
—3, '2 —1, 3, —0. 3, 3—1, 1 + ；'2 , 3X
互为相反数： ________ ;互为倒数：______ 互为负倒数： ________
*5 .已知x、y是实数，且(X — 2 ) 2和|y + 2丨互为相反数，求x, y的值
6._____________________________________________________________________ 若
a ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2,则盘++1 +4m-3cd= ___________________ X0的相反数是—,3—畀的相反数是—,3—8 的相反数是______ ;—畀的绝对
1. 下列语句正确的是(
(B) 无理数都是无尽小数 (D )不带拫号的数一定不是无理
) (C)
无理数 (D )实数
4.如果a 是实数，下列四种说法: (1)a 2和|a|都是正数；
1
(3)a 的倒数是-；
a 的( )
=—a ，那么a —定是负数，
(4)a 和一a 的两个分别在原点的两侧，几个是正确
(2)|
(C ) 2
3
4 —
2a+3b *5 .比较下列各组数的大小： 6.若a,b 满足心爲毗=0,则的值是 ________________________ *7 .实数a,b,c 在数轴上的对应点如图，其中 O 是原点，且|a|=|c|
(2) 判定a+b,a+c,c-b 的符号
(3)
化简 |a|-|a+b|+|a+c|+|c-b| ----
(1)
(D ) 3
(2) I .''3 — . 12 (3) a<b<0 时,1
三、解题指导:
*8 .数轴上点A 表示数—1,若AB = 3,则点B 所表示的数为 ____________________ 9. 已知 x<0,y>0，且 yv|x|,用"<"连结 x , — x ,— |y|, y 。

10. 最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？ 11. (2011广东茂名，9, 3分)对于实数a 、b ，给出以下三个判断：
①若 b ，贝U < a v'b . ②若a |b ，则a b . ③ 若a
b ，贝U (a)2
b 2
.其中正确的判断的个数是(
)
A . 3
B . 2
C . 1
D . 0
12. 若 5的值在两个整数 a 与a+1之间，贝U a= _______ *13.数轴上作出表示.2 , 3 , — . 5的点。

四. 独立训练：
值是 ______ , 0 的绝对值是 _____ , ◎—乜 的倒数是 ______________
2. ___________________________________________ 数轴上表示一
3. 2的点它离开原点的距离是 ________________________________________ 。

一 1 1 一
A 表示的数是一2，且A
B — 3，则点B 表示的数是 ___________ o 3 — 3,3 , JI ，— '2 )0—22 ,0. 1313…,2cos60, — 3—
1 ,1. 101001000…
（两1之间依次多一个 0）,中无理数有 ____________ ，整数有 _____________ ，负数 有 _______________ o 4. 若a 的相反数是27,贝U| a _________ ; 5 .若|a |= ： 2，则a= 5. 若实数x , y 满足等式（x + 3） 2+丨4 — y 丨=0,则x + y 的值是
6.实数可分为（ 数
和负数
）（A ）正数和零（B ）有理数和无理数（C ）负数和零 （D ）正 *7 .若2a 与1 — a 互为相反数，则a 等于（ ）
1 1
（A ） 1 （B ）— 1 （C ） 2 （ D ） 8 .当a 为实数时，，a 2
= — a 在数轴上对应的点在（ ）
（A ）原点右侧（B ）原点左侧（C ）原点或原点的右侧（D ）原点或原点左侧 a b ab
*9 .代数式+ |b| + labl 的所有可能的值有（ ）
|a| | b| | ab|
（A ） 2个 （B ） 3个 （C ） 4个 （D ）无数个 10 .已知实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图 （1）比较a — b 与a+b 的大小 （2）化简|b — a|+|a+b|
11. 实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，其中|a| = |c| 试化简：|b — c| — | b — a| + |a — c — 2 b| — | c — a|
*12 .已知等腰三角形一边长为a ，—边长匕，且（2 a — b ） 2 +| 9—a 2 |= 0。

求它 的周长。

衣13.若3,m, 5为三角形三边，化简：（2—m ） 2
— : （m — 8）。