人教版七年级数学下册《二元一次方程组》专项练习题-附含答案

人教版七年级数学下册《二元一次方程组》专项练习题-附含答案
知识点1-1 二元一次方程（组）
1）二元一次方程：含有两个未知数 且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程。

注：所有未知数项的次数必须是1 例： 不是 2x －3xy =2 不是 2）将几个相同未知数的一次方程联合起来 就组成了二元一次方程组。

注：①在方程组中 相同未知数必须代表同一未知量。

②二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成 方程个数也不一定是两个。

例： 是 3）判断二元一次方程组的方法：
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
例1．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学七年级月考）下列方程中 ①；②；③；④ 是二元一次方程的有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数 并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程 即可判断出答案．
【详解】解：①根据二元一次方程定义可知是二元一次方程 此项正确； ②化简后为 不符合定义 此项错误； ③含有三个未知数不符合定义 此项错误；
④不符合定义 此项错误；所以只有①是二元一次方程 故选：A ．
【点睛】本题考二元一次方程 解题的关键是熟练运用二元一次方程的定义 本题属于基础题型．
变式1．（2022·山东济南·八年级期末）下列方程中 为二元一次方程的是（ ） A ．2x ＋3＝0 B ．3x －y ＝2z
C ．x 2＝3
D ．2x －y ＝5
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义 从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【详解】解：A ．是一元一次方程 故本选项不合题意； B ．含有三个未知数 不是二元一次方程 故本选项不合题意；
C ．只含有一个未知数 且未知数的最高次数是2 不是二元一次方程 故本选项不合题意；
D ．符合二元一次方程的定义 故本选项符合题意．故选：D ．
2
0x y
-
=3
235x y x y -=⎧⎨
+=⎩
6x y +=()16x y +=31x y z +=+7mn m +=6x y +=()16x y +=6xy x +=31x y z +=+7mn m +=
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义 含有两个未知数 并且含有未知数的项的次数都是1 像这样的整式方程叫做二元一次方程．
例2．（2021·湖南·衡阳市华新实验中学七年级月考）已知是关于 的二元一次方程 则______． 【答案】4
【分析】根据二元一次方程的定义 可得方程组 解得m 、n 的值 代入代数式即可．
【详解】解：由题意得 解得： ∴ 4 故填：4． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义 属于基础题型． 变式2．（2021·天津一中七年级期中）若是关于 的
二元一次方程 则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数 未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】解：
是关于
的二元一次方程
解得： ．故选：D ． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义 关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
例3．（2021·河南淇县·七年级期中）下列方程组中 是二元一次方程组的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义 含有两个未知数 并且含有未知数的项的次数为1的整式方程对个选项进行一一排查即可．
【详解】解：A. 第二个方程中的是二次的 故本选项错误；B.方程组中含有3个未知数 故本选项错误；
C. 符合二元一次方程组的定义 故本选项正确；
D. 第二个方程中的xy 是二次的 故本选项错误．故选C ．
3
211
203
n m x y -+-=x y n m +=31
211n m -=⎧⎨
+=⎩31
211n m -=⎧⎨
+=⎩40n m =⎧⎨=⎩
n m +=2019
3
(2020)(4)2021m n m x n y
---++=x y 2020m =±4n =±2020m =-4n =-2020m =4n =2020m =-4n =()()20193202042021m n m x n y ---++=x y ∴20191
20200m m ⎧-=⎨-≠⎩31
40n n ⎧-=⎨
+≠⎩
2020m =-4n =221
4x y x +=⎧⎨=⎩1236
x y y z ⎧
-=⎪⎨⎪-=⎩2
25x y x y +=-⎧⎨-=⎩213
xy y y +=⎧⎨=-⎩2x
【点睛】:根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数 且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程 判断各选项即可．
变式3．（2021·上海市建平中学西校期末）下列方程组 是二元一次方程组的是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B
【详解】A 选项：在中最高次数为2 故为二元二次方程组 不合题意；
B 选项：为二元一次方程组 符合题意；
C 选项：在中 共有3个未知数 为三元一次方程组 不合题意；
D 选项：在中最高次数为2 故为二元二次方程组 不合题意．故选B ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的概念 掌握二元一次方程的概念（含有两个未知数 并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程）是解题关键．
例4．（2021·日照市新营中学七年级期中）若方程组是二元一次方程组 则
a 的值为________． 【答案】-3
【分析】根据二元一次方程组的定义得到|a |-2=1且a -3≠0 然后解方程与不等式即可得到满足条件的a 的值．
【详解】解：∵方程组是二元一次方程组 ∴|a |-2=1且a -3≠0 ∴a =-3 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起 就组成了一个二元一次方程组．
变式4．（2021·全国·七年级课时练习）若是关于 的二元一次方程组 则__ __ __． 【答案】 3或2
【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1 据此列式即可求解． 【详解】解：
是关于 的二元一次方程组 或0 解得：或2 答案：3或2
223xy x y =⎧⎨=⎩231x y y -=⎧⎨=⎩2425x y x z -=-⎧⎨+=⎩2
27x y y x
-+=⎧⎨=⎩2
23xy x y
=⎧⎨=⎩23
1x y y -=⎧⎨=⎩
24
25x y x z -=-⎧⎨+=⎩2
27
x y y x -+=⎧⎨=⎩()2
0390
a x y
a x -⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩23
(3)3
4a b x c xy x y -+-+=⎧⎨+=⎩
x y =a b =c =2-3-23
(3)3
4
a b x c xy x y -+-+=⎧⎨+=⎩x y 30c ∴+=21a -=31b +=3a =2b =-3c =-2-
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义 利用它的定义即可求出代数式的解．
知识点1-2 二元一次方程（组）的解
1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对） 例：x+y=10 （1 9） （2 8） （3 7）等。

2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。

例：{x +y =52x +y =7
的解为：{x =2y =3
3）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中 若方程组等式都成立 则为方程组的解；若有方程不成立 则不是方程的解。

注：方程组中只要有一个方程带入后不成立 则不是方程的解。

例1．（2021·北京顺义·七年级期末）在下列方程：① ② ③
④中 任选两个组成二元一次方程组 若是该方程组的解 则选择的两
个方程是（ ） A ．①③ B ．①④
C ．②④
D ．②③
【答案】C
【分析】先把分别代入四个方程里面看看是不是方程的解即可
【详解】把代入①得 等式左边不等于右边 不成立；
把代入②得 等式左边等于右边 成立；
把代入③得 等式左边不等于右边 不成立； 把代入④得 等式左边等于右边 成立；∴只能由②和④组合故选C
【点睛】此题考查的是方程的公共解 也就是方程组的解 掌握找公共解的技巧是解题的关键．
变式1．（2021·辽宁·沈阳市实验学校八年级期中）下列各组数值是二元次方程2x ﹣y ＝5的解是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
3-1x y -=-20x y +=23x y +=-321x y +=1
2x y =-⎧⎨=⎩
1
2x y =-⎧⎨=⎩1
2x y =-⎧⎨=⎩1
2x y =-⎧⎨=⎩12
x y =-⎧⎨=⎩12x y =-⎧⎨=⎩
21x y =-⎧⎨=⎩05x y =⎧⎨=⎩13x y =⎧⎨=⎩31
x y =⎧⎨=⎩
【分析】将选项中的解分别代入方程2x ﹣y ＝5 使方程成立的即为所求．
【详解】解：A. 把代入方程2x ﹣y ＝5 -4-1=-5≠5 不满足题意；
B. 把代入方程2x ﹣y ＝5 0-5=-5≠5 不满足题意；
C. 把代入方程2x ﹣y ＝5 2-3=-1≠5 不满足题意；
D. 把代入方程2x ﹣y ＝5 6-1=5 满足题意；故选：D ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解 方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．能正确掌握方程的解得概念是解答此题的关键．
例2.（2021·上海市建平中学西校期末）二元一次方程2x ＋3y ＝9的非负整数解为______．
【答案】或 【分析】先用x 的代数式表示出y 再求出非负整数解即可． 【详解】解：2x +3y =9 整理得：3y =9-2x y =3- 当x ＝0时 y ＝3 当x ＝3时 y ＝1 ∴方程2x +3y =9的非负整数解为或．故答案为：或 【点睛】本题考查了二元一次方程的解 能用x 的代数式表示出y 是解此题的关键． 变式2．（2021·上海市民办尚德实验学校期末）二元一次方程2x ＋3y ＝14的正整数解有（ ） A ．1组 B ．2组
C ．3组
D ．无数组
【答案】B
【分析】把x 看做已知数求出y 即可确定出正整数解． 【详解】解：2x ＋3y ＝14 解得：y=
∵方程的解为正整数 ∴当x =1时 y=4；当x =4时 y =2； 故正整数解共有2组 故选B ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解 解题的关键是将x 看做已知数求出y ． 例3．（2021·湖南邵阳市·七年级期末）关于x y 的二元一次方程3x ﹣ay ＝1有一组解是
则a 的值为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【分析】把代入方程3x ﹣ay ＝1得出9﹣2a ＝1 求出方程的解即可．
2
1x y =-⎧⎨=⎩
5x y =⎧⎨=⎩1
3
x y =⎧⎨=⎩31x y =⎧⎨=⎩
03x y =⎧⎨=⎩3
1
x y =⎧⎨
=⎩23
x
03x y =⎧⎨=⎩31x y =⎧⎨=⎩03x y =⎧⎨=⎩3
1
x y =⎧⎨
=⎩1423
x
-3
2x y =⎧⎨=⎩
32x y =⎧⎨=⎩
【详解】解：把代入方程3x ﹣ay ＝1
得：9﹣2a ＝1 解得：a ＝4 故选：D ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义 以及二元一次方程的解 解题的关键是理解二元一次方程的解．
变式3．（2021·重庆巫溪·七年级期末）已知是方程的一个解 则的值为
（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B
【分析】直接利用二元一次方程解的定义代入即可求解．
【详解】解：把代入方程得 解得 故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程解的定义 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 叫做二元一次方程的解．理解方程解的定义是解题的关键． 例4．（2021·武汉外国语学校七年级期末）下列方程组中 解为的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】用消元法依次求出每个选项的解即可得到答案；
【详解】解：A ：方程组的解为 不符合题意； B ：方程组的解为 不符合题意； C ：方程组的解为 不符合题意； D ：方程组的解为 符合题意．故选：D ． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法 正确消元并求解是解答此题的关键
变式4．（2021·全国·七年级课时练习）已知二元一次方程组下列说法正确的
3
2x y =⎧⎨=⎩
1
2x y =⎧⎨=⎩4mx y -=m 1
2
x y =⎧⎨=⎩4mx y -=24m -=6m =1
2
x y =⎧⎨
=-⎩12x y x y +=-⎧⎨
-=⎩21y x x y =⎧⎨-=-⎩06x y x y +=⎧⎨-=⎩1
53
x y =⎧⎨+=⎩12x y x y +=-⎧⎨-=⎩12
32x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
21
y x
x y =⎧⎨
-=-⎩1
1x y =⎧⎨
=⎩
06x y x y +=⎧⎨
-=⎩3
3x y =⎧⎨
=-⎩1
53x y =⎧⎨
+=⎩
12x y =⎧⎨=-⎩545329x y x y +=⎧⎨+=⎩①
②
是（ ）
A ．适合方程②的x y 的值是方程组的解
B ．适合方程①的x y 的值是方程组的解
C ．同时适合方程①和②的x y 的值是方程组的解
D ．同时适合方程①和②的x y 的值不一定是方程组的解 【答案】C
【分析】根据方程组的解得定义 能同时满足方程组中每个方程的未知数的值 称为方程组的"解"即可得解．
【详解】A . 适合方程②的x y 的值是方程②的解 故选项A 不正确 不符合题意； B. 适合方程①的x y 的值是方程①的解 故选项B 不正确 不符合题意； C . 同时适合方程①和②的x y 的值是方程组的解 故选项C 正确 符合题意；
D . 同时适合方程①和②的x y 的值一定是方程组的解 故选项D 不正确 不符合题．故选择C ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解的概念 掌握二元一次方程组的解的概念是解题关键． 变式5．（2021·山东临沂·七年级期末）如果方程x ﹣y ＝3与下列方程中的一个组成的方程组
的解为 那么这个方程可以是（ ） A ．3x ﹣4y ＝16 B ．x ﹣y ＝3y
C ．
D ．
【答案】B
【分析】把代入各选项的方程 看左边是否等于右边即可．
【详解】解：A 、把代入方程得：左边＝12﹣4＝8 右边＝16 左边≠右边 所以该
选项不符合题意；
B 、把代入方程得：左边＝4﹣1＝3 右边＝3 左边＝右边 所以该选项符合题意；
C 、把代入方程得：左边＝2+3＝5 右边＝8 左边≠右边 所以该选项不符合题意；
D 、把代入方程得：左边＝1+2＝3 右边＝5 左边≠右边 所以该选项不符合题意；
故选：B ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解 当遇到有关二元一次方程组的解的问题时 要回到定义中去 通常采用代入法 即：将解代入原方程组 这是解题的关键．
4
1x y =⎧⎨
=⎩1
382
x y +=1
254
x y +=4
1x y =⎧⎨=⎩
4
1x y =⎧⎨=⎩41x y =⎧⎨=⎩41x y =⎧⎨=⎩4
1x y =⎧⎨=⎩
例5．（2022·云南文山·八年级期末）已知是二元一次方程组的解 则
的值是（ ）
A ．
B ．
C ．1
D ．
【答案】B
【分析】将代入中求出的值 进而可计算的值．
【详解】解：将代入中得解得∴
故选B ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程 代数式求值．解题的关键在于求解的值．
变式6．（2021·山东济南·七年级期末）若方程组的解为 则 的值分别为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】C
【分析】把方程组的解代入方程组得到关于a 与b 的方程组 求出a 与b 的值．
【详解】解：把代入方程组得：解得故选C ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
例6．（2021·贵州铜仁·七年级期中）小亮解方程组的解为 由于不小心滴上了两滴墨水 刚好遮住了这两个数和 则这两个数分别为（ ） A ． 8 B ． 4
C ． 6
D ．8
【答案】D
【分析】根据方程的解的定义 把代入 求得y 的值 进而求出△的值即可解答．
【详解】解：∵方程组的解为 ∴把代入 得： 解得：y =-2 把 y =-2代入 得： 即： ∴这两个数分别为：8和﹣2．故选D ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解 二元一次方程组的解满足方程组的各个方程．
21x y =-⎧⎨=⎩321
x y m
nx y +=⎧⎨-=⎩m n -2-3-4-21x y =-⎧⎨=⎩321
x y m
nx y +=⎧⎨-=⎩,m n m n -21x y =-⎧⎨=⎩321x y m nx y +=⎧⎨-=⎩()3221211m n ⎧⨯-+⨯=⎨--=⎩
4
1m n =-⎧⎨=-⎩413m n -=-+=-,m n 46ax y x by +=-⎧⎨+=-⎩2
2x y =⎧⎨
=⎩a b 3a =4b =3a =-4b =3a =-4b =-3a =4b =-22x y =⎧⎨=⎩224
226a b +=-⎧⎨+=-⎩
34a b =-⎧⎨=-⎩2212x y x y +=∆⎧⎨-=⎩5
x y =⎧⎨
=Φ⎩∆Φ2-6-4-2-5x =212x y -=2212x y x y +=⎧⎨-=⎩5x y =⎧⎨
=Φ⎩5x =212x y -=2512y ⨯-=5x =2x y +=△()252⨯+-=8=
变式7．（2021·四川眉山·七年级期中）小刚解出了方程组的解为 因不小心滴上了两滴墨水 刚好盖住了方程组和解中的两个数 则、□分别为（ ） A ．17 9 B ．16 8
C ．23 15
D ．15 23
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的解的定义 即可求答案． 【详解】解：将x ＝4代入3x −y ＝3 ∴12−y ＝3 ∴y ＝9
将x ＝4 y ＝9代入 ∴2x ＋y ＝8＋9＝17∴、□分别为17 9．故选A 【点睛】本题考查二元一次方程组 解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法 本题属于基础题型．
知识点1 -3代入消元法
1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示 再代入另一个方程 实现消元 转化为一元一次方程 进而求解这个二元一次方程组的方法。

2)代入消元法的步骤：
①在方程组中选取一个系数较简单的方程 将这个方程变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；
②将这个关系式代入另一个方程 消去一个未知数 转换为一元一次方程 并求解该一元一次方程。

③利用已求解的未知数 代入关系式中 求解出另一个未知数的解。

知识点1-4 加减消元法
1）消元法的目的：消去一个未知数 转化为方便求解的一元一次方程
2）加减消元法：两个二元一次方程中 同一未知数的系数相反或相同时 将这两个方程的两边分别相加或相减 消去一个未知数的方法。

注：①当两个方程中 同一个未知数的系数成倍数关系时 将某一个方程扩大相应倍数 使两个方程中某个未知数的系数相同或相反 然后再利用加减消元法。

②若两个方程中两个未知数的系数不相等且不成倍数关系时 则应选取一组系数 求出其对应最小公倍数 对方程组变形（系数变形成对应最小公倍数） 再利用加减消元法。

（此种情况 加减消元法与代入消元法难易程度差不多 随意选取）。

3）加减消元法步骤：
①确定消元对象 并把该对象的系数化为相等或相反形式；
②将两个方程的两边分别相加或相减 消去一个未知数 转化为一元一次方程 并求解； ③将求解出来的值代入任意原方程中 求解出另一个未知数的值。

33
2x y x y -=⎧⎨+=∆⎩4x y =⎧⎨
=⎩
∆2x y +=∆∆
例1．（2022·陕西汉中·八年级期末）关于x 、y 的二元一次方程组 用代入法消去y 后所得到的方程 正确的是（ ） A ．3x ﹣x ﹣5＝8 B ．3x +x ﹣5＝8
C ．3x +x +5＝8
D ．3x ﹣x +5＝8
【答案】D
【分析】方程组利用代入消元法变形得到结果 即可作出判断．
【详解】 把①代入②得：3x -（x -5）=8 即3x -x +5=8 故选：D ． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组 熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1．（2021·全国·七年级课时练习）若 用含y 的式子表示x 的结果是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B
【分析】根据得 t ＝
然后将其代入即可求解． 【详解】解：由 得t ＝
∴＝3×+1＝ 即x ＝． ∴用含y 的式子表示x 的结果是x =
故选：B ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解法 解本题关键是把方程中含有x 的项移到等号的右边 得到t ＝
． 变式2．（2021·贵州六盘水·八年级期末）用代入消元法解二元一次方程组 将①代入②消去x 可得方程（ ） A ．（y ＋2）＋2y ＝0 B ．（y ＋2）﹣2y ＝0
C ．x ＝x ＋2
D ．x ﹣2（x ﹣2）＝0
【答案】B
【分析】把x ﹣2y ＝0中的x 换成（y +2）即可．
【详解】解：用代入消元法解二元一次方程组 将①代入②消去x
可得方程（y +2）﹣2y ＝0 故选：B ．
【点睛】此题主要考查解二元一次方程组 解方程组的基本思想是消元 基本方法是代入消元和加减消元．
5
38y x x y =-⎧⎨
-=⎩538y x x y -⎧⎨
-⎩
＝①
＝②31,21x t y t =+=-253
x y -=
35
2
y x +=
25
3
x y +=
35
2
y x -=
21y t =-1
2
y +31x t =+21y t =-12y +31x t =+12y +352y +35
2y +35
2
y +21y t =-1
2
y +220x y x y =+⎧⎨
-=⎩①
②
1
2220x y x y =+⎧⎨-=⎩
①②
例2．（2021·福建·晋江市季延中学七年级期中）解方程组时 由(2)−(1)得
（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【分析】应用加减消元法 解方程组时 由(2)−(1)得：4y ＝8．
【详解】解：解方程组时 由(2)−(1)得：4y ＝8．故选：B ．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组的方法 要熟练掌握 注意代入消元法和加减消元法的应用．
变式3．（2021·河南淇县·七年级期中）用加减法解方程组由②-①消去未知数
所得到的一元一次方程是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】观察两方程发现y 的系数相等 故将两方程相减消去y 即可得到关于x 的一元一次方程．
【详解】解：解方程组 由②-①消去未知数y 所得到的一元一次方程是2x =9 故选：A ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组 利用了消元的思想 消元的方法有：加减消元法与代入消元法．
例3．（2022·江苏·七年级专题练习）二元一次方程组更适合用哪种方法消元（ ）
A ．代入消元法
B ．加减消元法
C ．代入、加减消元法都可以
D ．以上都不对 【答案】B
【分析】由题意直接根据加减消元法和代入消元法的特点进行判断即可．
【详解】解： ①② 得 消去了未知数 即二元一次方程组更适合用加减法消元 故选：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组 注意掌握解二元一次方程组的方法：代入消元法和加减消元法两种．
()
()43214102x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
28y =48y =28y -=48y -=()
()43214102x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩()
()43214102x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
336x y x y +=-⎧⎨+=⎩①
②
y 29x =23x =49=x 43x =336x y x y +=-⎧⎨
+=⎩①
②
325223x y x y -=⎧⎨+=⎩325223x y x y -=⎧⎨
+=⎩①
②
+58x =y 325
223x y x y -=⎧⎨+=⎩
B
变式4．（2020·浙江杭州市·七年级期中）解方程组①② 比较简便的方法是（ ） A ．均用代入消元法
B ．均用加减消元法
C ．①用代入消元法 ②用加减消元法
D ．①用加减消元法 ②用代入消元法
【答案】C
【分析】根据方程组的特点 选择加减法或代入法即可．
【详解】解：方程组①有用x 表示y 的方程 适合用代入法；方程组②未知数x 的系数相同 y 的系数互为相反数 适合用加减消元法 故选C ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法选择 解题关键是明确适合用代入消元法和加减消元法方程组的特征．
例4．（2021·辽宁本溪·八年级期中）（1） （2）
【答案】（1）；（2） 【分析】（1）将②式整理后 利用代入消元法求解即可； （2）将②式整理后 利用代入消元法求解即可．
【详解】（1） 解：由②得：③ 将③代入①得 将代入③得：
原方程组的解为； （2） 解：由②得：③ 将③代入①得：
将代入③得：
原方程组的解为． 216511y x x y =+⎧⎨+=-⎩2310
236x y x y +=⎧⎨
-=-⎩
2313314x y x y +=⎧⎨+=+⎩54
12
3x y x y -=⎧⎪
⎨+=⎪⎩23
x y =⎧⎨=⎩2
6x y =⎧⎨
=⎩2313,31 4.x y x y +=⎧⎨
+=+⎩
①
②33y x =-29913x x +-=2x =2x =3y =∴2
3x y =⎧⎨
=⎩
541.23x y x y
-=⎧⎪
⎨+=⎪⎩，①
②3
32
y x =
+7
72
x =2x =2x =6y =∴2
6x y =⎧⎨
=⎩
【点睛】本题主要考查用代入消元法解二元一次方程组．掌握代入消元法是解题关键．
变式5．（2022·甘肃兰州·八年级期末）解方程组 【答案】 【分析】运用代入消元法解方程组；
【详解】解：由②式得y =10－4x
代入①式得3x －20＋8x =13 11x =33 x =3 代入②式得y =﹣2
故方程组解为： 【点睛】此题考查二元一次方程组的解法：代入消元法是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来 再代入另一个方程 实现消元；熟记方程的解法是关键．
例5．（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期中）解方程组：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）根据加减消元法计算即可；（2）先进行化简 再利用加减消元法计算即可；
【详解】（1） 得： 解得： 代入①可得：
∴方程组的解集为；
（2） 整理得： 得： 解得： 代入①得： ∴方程组的解集为． 3213
410x y x y -=⎧⎨
+=⎩3
2
x y =⎧⎨
=-⎩3213410x y x y -=⎧⎨+=⎩
①
②3
2
x y =⎧⎨
=-⎩23149x y x y +=⎧⎨-=⎩2310
21124x y x y y +=⎧⎪⎨++-=⎪⎩21x y =⎧⎨=-⎩123
x y ⎧
=
⎪⎨
⎪=⎩23149x y x y +=⎧⎨
-=⎩
①
②2⨯-①②77y =-1y =-2x =2
1x y =⎧⎨=-⎩
2310
2112
4x y x y y
+=⎧⎪
⎨++-=⎪⎩231045x y x y +=⎧⎨
+=⎩
①
②2⨯-①②515y =3y =1
2
x =
123
x y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解 准确计算是解题的关键．
变式6．（2021·广东·深圳中学八年级期中）（1）解方程组：（2）解方程组：
； 【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）根据加减消元法可直接进行求解；（2）根据加减消元法可直接进行求解；
【详解】解：（1） ①+②得： 解得： 把代入①得：
∴原方程组的解为；
（2） ①×5+②×2得： 解得： 把代入①得： 解得：
∴原方程组的解为；
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的求解 熟练掌握二元一次方程组的求解是解题的关键．
例6．（2021·陕西·交大附中分校八年级期中）解方程组： （1）； （2）．
【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将方程组化简 进而根据代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）②① 得 解得
将代入②得 原方程组的解为；
425x y x y -=⎧⎨+=⎩①
②328453x y x y +=⎧⎨
-=⎩
①
②31x y =⎧⎨=-⎩21x y =⎧⎨=⎩
425x y x y -=⎧⎨
+=⎩①
②
39x =3x =3x =1y =-3
1x y =⎧⎨=-⎩
328453x y x y +=⎧⎨
-=⎩
①②2346x =2x =2x =3228y ⨯+=1y =2
1x y =⎧⎨=⎩
32146x y x y +=⎧⎨-=-⎩14()34
123
x y x y ⎧
--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩12x y =-⎧⎨=⎩
2
0x y =⎧⎨=⎩32146x y x y +=⎧⎨-=-⎩
①
②2⨯+83121x x +=-+1x =-1x =-462y =-+=∴1
2x y =-⎧⎨=⎩
（2）原方程组可化为： 由①可得③ 将③代入②得： 解得
将代入③ 得原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组 掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． 变式7．（2021·山东济南市·八年级期末）解方程组 （1） （2）
【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二元一次方程组的代入消元法即可求解．（2）根据二元一次方程组的加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：把①代入②得：
把代入①得：∴方程组的解是： （2）解：由①得：2x ＋2y ＝8 ③
由③－②得：把代入①得：∴方程组的解是： 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的方法 灵活运用消元的思路是解题的关键．
知识点1-5 三元一次方程组的概念
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数 且未知数的项的次数都是一的方程组。

知识点1-6 解三元一次方程组的方法和步骤
1）步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元 例1．（2021·全国·八年级专题练习）下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）．
14()34
123
x y x y ⎧
--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩42326x y x y -=⎧⎨
-=⎩①②24x y =+3(24)26y y +-=0y =0y =2x =∴20x y =⎧⎨=⎩
3129y x x y =+⎧⎨
+=-⎩4
2311
x y x y +=⎧⎨+=⎩-2-5x y =⎧⎨
=⎩=1
=3
x y ⎧⎨
⎩3129y x x y =+⎧⎨
+=-⎩
①
②23x 1-9x ++=-2x =-2x =-5y =-2-5
x y =⎧⎨
=⎩42311x y x y +=⎧⎨
+=⎩
①
②y 3=y 3=1x =13
x y =⎧⎨
=⎩−−→
−消元−−→−消元
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】三元一次方程组中共含有三个未知数 并且含未知数的项的次数都是1 每个方程都是整式方程 由此进行判断即可．
【详解】解：A 、a 的最高次数是2 选项错误；B 、x 、y 、z 的最高次数都是2 选项错误； C 、每个方程都是分式方程 选项错误；D 、符合题意 选项正确．故选：D 【点睛】本题考查三元一次方程组的识别 牢记定义是解题的切入点． 变式1．（2021·全国·八年级专题练习）若是一个三元一次方程 那
么_______ ________． 【答案】 -1 0
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数 未知数的次数都是1的方程 由此可得 解出即可得出答案． 【详解】由题意得： 解得：．故答案为：-1 0．
【点睛】本题考查了三元一次方程 解题关键是掌握三元一次方程的定义．
变式2．（2021·山西忻州·七年级期末）我们知道 适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．同样地 适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解．请写出方程的一个正整数解______．
【答案】或或
【分析】利用“适合三元一次方程的一对未知数的值叫做这个三元一次方程的一个解”即可得出答案．
【详解】解：当时 成立；当时 成立；
225
8232
a b c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪+=⎩2222
225810x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩114
11711
10x y y z z x
⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩::3:4:524x y z x y z =⎧⎨++=⎩()1
2||15210b a a x y z +--++==a b =101121a b a ⎧-≠⎪
+=⎨⎪-=⎩
10
1121
a b a ⎧-≠⎪
+=⎨⎪-=⎩
10a b =-⎧⎨=⎩4x y z ++=112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩121x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2
11x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩4x y z ++=1
21x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
4x y z ++=
当时 成立；故答案为：或或． 【点睛本题考查了三元一次方程组的解 熟练掌握概念是解题的关键．
例2．（2022·全国·七年级）解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行___ 把“三元”___ “二元” 使解三元一次方程组转化为解_____ 进而再转化为解_____． 【答案】 消元 化为 二元一次方程组 一元一次方程
【分析】利用解三元一次方程组的基本思想-消元的思想 判断即可得到结果．
【详解】解三元一次方程组的基本思路：通过“代入”或“加减”进行消元 把“三元”化为“二元” 使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组 进而再转化为解一元一次方程． 故答案为：消元；化为；二元一次方程组；一元一次方程
【点睛】此题考查了解三元一次方程组的思路 利用了消元的思想 消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
变式3．（2021·山西临汾·七年级期中）三元一次方程组消去一个未知数后
所得二元一次方程组是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据选项可以得出是将原三元一次方程组中的c 进行消元 从而得到只含a b 的二元一次方程组 所以只需要进行加减消元消掉c 即可得到方程组．
【详解】解： ②-①得： 化简可得：④
①③得： 化简可得：⑤
联立④与⑤： 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组消元转化为二元一次方程组的过程 主要是加减消元法的运用 熟练掌握计算原理是解题关键．
例3．（2021·广东深圳·八年级期末）解三元一次方程组要使解法较为简便
首先应进行的变形为（ ） A ．①+②
B ．①﹣②
C ．①+③
D ．②﹣③
211x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩4x y z ++=112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩121x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩211x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩0
4232319a b c a b c a b c -+=⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩52191a b a b -=⎧⎨+=⎩33
24a b a b +=⎧⎨+=⎩1
21a b a b +=⎧⎨+=⎩1
3219a b a c +=⎧⎨-=⎩
4232319a b c a b c a b c -+=⎧⎪
++=⎨⎪+-=⎩
①②③333a b +=1a b +=3+⨯()32319a b c a b c -+++-=5219a b -=1
5219a b a b +=⎧⎨
-=⎩
3210x y z x y z x y -+=-⎧⎪
+-=⎨⎪+=⎩①
②③
【答案】A
【分析】观察发现 第三个方程不含z 故前两个方程相加小区z 可将三元方程转化为二元一次方程组来求解．
【详解】解：解三元一次方程组要使解法较为简便 首先应进行的变形为
①②．故选：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组 利用消元的思想 消元的方法有：代入消元法和加减消元法．
变式4．（2022·江苏·七年级专题练习）解方程组时 为转化为二元一次
方程组 最恰当的方法是（ ） A ．由②③消去z B ．由②③消去y
C ．由①②消去z
D ．由①③消去x
【答案】B
【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数 得到一个二元一次方程组 从而得出答案．
【详解】解：由②3+③得：11x +10z =35 ∴转化为二元一次方程组为 故选：B ．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法 把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法 从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．
例4．（2022·江苏·七年级专题练习）已知方程组 则的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】A
【分析】三个方程相加即可得到的值．
【详解】解：方程组 三个方程相加得：
∴ 故选：A ．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的解 解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法．
3210x y z x y z x y -+=-⎧⎪
+-=⎨⎪+=⎩①②③+A 3472395978x z x y z x y z +=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩①
②③⨯347
111035x z x z +=⎧⎨
+=⎩3
69x y y z z x +=⎧⎪
+=-⎨⎪+=⎩
x y z ++3456x y z ++369x y y z z x +=⎧⎪
+=-⎨⎪+=⎩
2226x y z ++=3x y z ++=。