(常考题)北师大版高中数学必修四第一章《三角函数》测试题(答案解析)(2)

一、选择题
1．已知函数()sin()(f x A x A ωϕ=+，ω，ϕ是常数，0A >，0>ω，0)2
π
ϕ<<的
部分图象如图所示.为了得到函数()f x 的图象，可以将函数2sin y x =
的图象（ ）
A ．先向右平移6π
个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12
，纵坐标不变 B ．先向左平移6
π
个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 C ．先向左平移
3π
个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D ．先向左平移3
π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不变
2．设函数5()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，
得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 3．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，若方程()3
5
f x =
的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ） A ．
35
B ．45
-
C ．23
-
D ．34．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移ϕ(02
π
ϕ<≤
)个单位，得到函数()g x 的图象.在
同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 5．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2
π
ϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-
φ）的图象（ ） A ．关于点(
,0)12
π
对称 B ．关于轴512
x π
=-
对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6
π
个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平
移
3
π
个单位得到 6．已知函数()tan()0,02f x x π
ωϕϕω⎛⎫
=+<<< ⎪⎝
⎭
最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛
⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（ ）
A ．
76
π
B ．
56
π C ．2π
D ．
3
π 7．函数()3sin 22
x
f x x =
-的部分图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
8．现有四个函数：①y =x |sin x |，②y =x 2cos x ，③y =x ·e x ；④1
y x x
=+
的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
A ．①②③④
B ．①③②④
C ．②①③④
D ．③②①④
9．:sin 31p x x +>的一个充分不必要条件是（ ） A ．02
x π
<<
B ．203
x π
<<
C ．3
2
x π
π
-
<<
D ．566
x ππ<<
10．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+≠<
⎪⎝
⎭
，点2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫
⎪⎝
⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减，则ϕ=（ ） A ．
6
π B ．6
π-
C ．
3
π D ．3
π-
11．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
3
，再向右平移
29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，则θ的最小值为（ ）
A ．
12
π
B ．6
π
C ．
3
π D ．
18
π 12．函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．()0,π
B ．5,2⎫
⎛
⎪⎝⎭
ππe C ．50,
2⎫⎛ ⎪⎝⎭
πe D ．5,2⎫⎛∞
⎪⎝⎭
π
+e
二、填空题
13．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________． 14．以下关于函数()()21sin 324f x x x R π⎛⎫
=
-∈ ⎪⎝⎭
的结论： ①()y f x =的图象关于直线2
x π
=-对称； ②()f x 的最小正周期是4π；
③()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数； ④()y f x =的图象关于点,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称．
其中正确的结论是__________________（写出所有正确结论的序号）．
15．已知函数()f x x ω=-（0>ω）的图象关于点3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，且()f x 在区间20,
3
π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调，则ω的值为______.
16．已知tan
22
α=
，则sin()2πα+=_______. 17．函数()3sin 23f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112
π
=x 对称； ②图象C 关于点2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3
π
个单位长度可以得到图象C . 18．已知如下变换：
①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变； ②将图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标保持不变； ③将图像整体向右平移3
π
个单位长度； ④将图像整体向右平移
6
π
个单位长度；
⑤将图像整体向左平移3
π
个单位长度； ⑥将图像整体向左平移
6
π
个单位长度； 要得到函数sin(2)3
y x π
=-
的图象，只需将函数sin y x =的图象经过变换____________
（填上你认为正确的一种情况即可，注意编号顺序） 19．关于函数()4sin(2)(),3
f x x x R π
=+
∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得
12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6
π
-
对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6
y x π
=-④()y f x =的图象关于直线6
x π
=-
对称.其中正确命题的序
号是_________.
20．在①()f x 的图像关于直线56x π
ω
=
对称，②()cos 3sin f x x x ωω=-，③()(0)f x f ≤恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由． 设函数()2cos()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函
数()f x 在[0,
]2
π
上是单调的？
三、解答题
21．已知函数()()1sin 226f x x x R π⎛
⎫=
+∈ ⎪⎝
⎭． （1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；
26
x π
+
6
π 136
π
x
π
()f x
（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位，横坐标缩短为原来的2
，再将得到的图象上所有点向右平移
4
π
个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称轴方程． 22．已知函数21()3sin cos cos 2222
x x x f x =++. （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）将函数()y f x =的图象上的各点向左平移
32
π
个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半；得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的最大值及取得最大值时x 的取值集合.
23．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最大值和最小正周期相同，
()f x 的图象过点()
0,3，且在区间10,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，求b 的最大值. 24．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,[0,2))A ωϕπ>>∈的图象如图所示：
（1）求()f x 的解析式； （2）()f x 向左平移12
π
个单位后得到函数()g x ，求()g x 的单调递减区间；
（3）若,2x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
且()32f x ≥，求x 的取值范围．
25．已知712sin cos 2225
ππαα⎛⎫⎛⎫-
--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,4πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭．
（1）求tan α的值；
（2）求3sin sin 3cos α
αα
-的值．
26．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω）的图像是由
3y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像向右平移3π个单位得到的.
（1）若()f x 的最小正周期为π，求()f x 的与y 轴距离最近的对称轴方程；
（2）若()f x 在,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上仅有一个零点，求ω的取值范围.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
先根据函数图象求出函数()f x 的解析式，由三角函数图象的变换即可求解. 【详解】 由图可知，1741234
A T πππ==-=，， 所以T π=，即2π
πω
=，解得2ω=.
当712
x π
=
时，73π22π,122k k Z πϕ⨯+=+∈, 所以 2,3
k k Z π
ϕ
π=+∈
又2
π
ϕ<
，所以3
π
ϕ=
.
所以()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
将y x =
的图象先向左平移
3
π个单位长度，得到)3y x π
=+，.
再将所得图象的横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不变，得到())3
f x x π=+. 故选：D 【点睛】
易错点点睛：图象变换的两种方法的区别，由sin y x =的图象，利用图象变换作函数
()()()sin 0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的
先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是
ϕ
ω
个单位． 2．A
解析：A 【分析】
根据题意有()5sin 226
g x x ϕπ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
-
，若()g x 为偶函数则52()62k k Z ππ
πϕ-
=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 226
6g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛
⎫=+=+-=+ -⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭
因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-
=+∈，即2()32
k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6
π
. 故选：A. 【点睛】
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；
（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；
（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.
3．B
解析：B 【分析】
求出函数()f x 在(0,)π上的对称轴，然后由正弦函数性质得1223
x x π
+=
，这样12sin()x x -化为2222sin(
2)sin 2cos(2)336x x x πππ⎛
⎫-=+=- ⎪⎝
⎭，而已知条件为23sin(2)65
x π-=，再由正弦函数性质确定226x π
-的范围，从而由平方关系求得结论．
【详解】
函数()sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
的对称轴满足：()26
2
x k k Z π
π
π-
=+
∈，即
()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3
x π=，
结合三角函数的对称性可知1223
x x π+=
，则：122
3x x π=-，
()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，由题意：0πx <<，则
1126
6
6x π
π
π-
<-
<
，23sin 265x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，120x x π<<<，则2226x πππ<-<，由同
角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪
⎝
⎭， 故选：B ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，考查平方关系．解题时根据自变量的范围求得此范围内函数的对称轴，从而得出两个变量12,x x 的关系，可化双变量为单变量，再根据函数值及函数性质确定出单变量的范围，从而求得结论．注意其中诱导公式的应用，目的是把求值式与已知条件中的角化为一致．
4．C
解析：C 【分析】
由图可知，1724
82
g f π
π⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，根据函数图象的平移变化法则可知
()()sin 2x g x ϕ=-，于是推出1717sin 22424g ππϕ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722124k ππϕπ-=+或324
k ππ+，k Z ∈，再结合02π
ϕ<≤，解之即可得ϕ的值.
【详解】
由图可知，17sin 224
882g f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝
⎭， 因为()f x 的图象向右平移ϕ个单位，得到函数()g x 的图象，所以
()()sin 2x g x ϕ=-，
所以171717sin 2sin 22424122
g π
ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以
1722124
k ππϕπ-=+或17322124k ππ
ϕπ-=+，k Z ∈，
解得712
k πϕπ=
-或3k π
ϕπ=-，k Z ∈，
因为02
π
ϕ<≤，所以3
π
ϕ=
.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.
5．B
解析：B 【分析】
利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】
函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6
π
，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣
6
π
）． 当12
x π
=
时，206x π
-
=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，选项A 错误； 当512x π=-
时，26x π
π-=-，则函数关于直线512
x π=-对称，选项B 正确；
函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫
=+== ⎪⎝
⎭
， 其图像向右平移6π
个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误； 其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 选项D 错误； 故选B. 【点睛】
本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2
k π
ϕπ+
,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函
数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2π
ω；（3）单调
性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ-≤+≤
+∈得
单调增区间；由
3+22,2
2
k x k k Z π
π
πωϕπ≤+≤
+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2
x k k Z π
π=+
∈求解，令()+2
x k k π
ωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.
6．A
解析：A 【分析】
先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
结合ϕ的范围求解出ϕ
的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和. 【详解】
因为()f x 的最小正周期为2
π，所以2
2
π
ωπ==，
又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， 所以
2,3
k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3π
ϕ=且此时1k =，
所以()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 即tan 2cos 21033x x ππ⎡
⎤⎛
⎫⎛
⎫+
+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 又因为tan 203x π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，cos 213x π⎛
⎫+=± ⎪⎝⎭， 所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
+-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛
⎫⎡⎤
+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
， 当tan 2=03x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭时，23
x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π
=，
所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭所有解的和为5736
6
ππ
π
+=
. 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
的情况. 7．A
解析：A 【分析】
求得函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的奇偶性，结合2f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值以及排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数()3sin 22
x
f x x =
-，20x -≠，得2x ≠±，所以，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠±.
()()()sin 2sin 222
x x
f x f x x x --=
=-=----，函数()y f x =为奇函数，图象关于原点对称，
排除B 、D 选项； 又02f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
π，排除C 选项. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用函数的解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8．D
解析：D 【分析】
根据各函数的特征如函数值的正负，单调性、奇偶性，定义域、值域等进行判断． 【详解】
左边第一个图象中0x <时，0y <，只有③满足，此时只有D 可选，实际上，左边第二个图象关于y 轴对称，是偶函数，只有②满足，而0x >时，1
0y x x
=+>恒成立，只有最右边的图象满足，由此也可得顺序是③②①④，选D ． 故选：D ．
【点睛】
思路点睛：本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可两者结合，由函数解析式和图象分别确定函数的性质，如奇偶性、单调性、函数值的正负，特殊的函数值，变化趋势等等，两者对照可得结论．
9．A
解析：A 【分析】
首先求解命题p 表示的集合，再根据集合关系表示充分不必要条件，判断选项. 【详解】
:sin 2sin 13p x x x π⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭，即1sin 32x π⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭，
解得：522,6
3
6
k x k k Z π
π
π
ππ+<+
<
+∈， 得22,6
2
k x k k Z π
π
ππ-
+<<
+∈，
设22,6
2M x k x k k Z π
π
ππ⎧⎫
=-
+<<
+∈⎨⎬⎩
⎭
经分析，只有选项A 的集合是集合M 的真子集， 故选：A 【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；
（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．
10．A
解析：A 【分析】
由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T π
ω
=
求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】
由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
. 则由1T π
ω
==得1ω=，即得1ω=±. 由2π
ϕ<
，且在区间54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减，则可得1ω=-，
∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由
2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32
k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，
当3
π
ϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
，
由+
,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<<+
∈，得5,66
k x k k Z ππ
ππ-
<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛
⎫
-
+∈ ⎪⎝
⎭
， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上不是单调递减， 所以3
π
ϕ=-不满足题意；
当6π=
ϕ时，()tan 6f x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
由,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
<-
<+
∈，得2,3
3
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,3
3
k k k Z π
πππ⎛⎫
-+
∈ ⎪⎝
⎭
， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪
⎝ ⎪⎝⎭
⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减， 所以6
π
=
ϕ满足题意； 综上可得：6
π
=ϕ满足题意. 故选：A.
【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意
正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，. 11．D
解析：D 【分析】
由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫
=+
- ⎪⎝
⎭，可得3,3363x πππθ⎡⎤
+∈+⎢⎥⎣⎦
，要满足题意，则33
2
π
π
θ+
≥
，即可求出.
【详解】
将()f x 横坐标缩短为原来的
13
得到3sin(3)2y x =--，再向右平移29π个单位得到
()23sin 323sin 3293g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫---=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦=，
,18x πθ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，
要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，则332ππθ+≥，即18πθ≥，
则θ的最小值为18
π
. 故选：D. 【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出
()3sin 323g x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求解.
12．C
解析：C 【分析】
函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点，等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点，作出两个函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】
函数()()sin ln 0=->f x x x ωω只有一个零点， 可得sin ln 0x x ω-=只有一个实根，
等价于sin y x ω=与ln y x =图象只有一个交点， 作出两个函数的图象如图所示，
由sin y x ω=可得其周期2T π
ω
=，
当x e =时，ln 1y e ==
sin y x ω=最高点5,12A πω⎛⎫
⎪⎝⎭
所以若恰有一个交点，只需要5ln 12πω>，即52e πω
>， 解得：52e πω<，又因为0>ω，所以502e
π
ω<<， 故选：C 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、填空题
13．2【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为可得根据函数的图象可知解得即可得解【详解】因为函数为偶函数且有且仅有3个零点所以必有一个零点为所以得所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点因为函数的
解析：2 【分析】
根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为0x =，可得1a =-，根据函数
cos y x ω=(0)>ω的图象可知222πππωω
≤<⨯，解得24ω≤<即可得解.
【详解】
因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-为偶函数，且有且仅有3个零点， 所以必有一个零点为0x =， 所以cos00a +=，得1a =-，
所以函数cos y x ω=(0)>ω的图象与直线1y =在[,]-ππ上有且仅有3个交点， 因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T π
ω
=，所以2T T π≤<，
即
222π
π
πωω
≤<⨯
，得24ω≤<，
所以ω的最小值是2.
故答案为：2 【点睛】
关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出a 是解题关键.
14．①②③【分析】利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误【详解】对于①所以的图象关于直线对称①正确；对于②的最小正周期是②正
解析：①②③ 【分析】
利用正弦型函数的对称性可判断①④的正误；利用正弦型函数的周期公式可判断②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误. 【详解】 对于①，212sin 232243f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-
=⨯--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 所以，()y f x =的图象关于直线2
x π
=-对称，①正确； 对于②，()f x 的最小正周期是
2412
T π
π=
=，②正确； 对于③，当23x ππ≤≤时，
3154244
x πππ≤-≤， 所以，函数()y f x =在区间[]2,3ππ上是减函数，③正确； 对于④，由①可知，④错误. 故答案为：①②③. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+的单调区间，只需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
15．【分析】根据函数图像的对称点得到的表达式根据在区间上单调得到的范围从而得到的范围再得到的值【详解】函数的图像关于点对称所以即得到在区间上单调所以即所以所以而所以故答案为：【点睛】本题考查根据余弦型函
解析：2
3
【分析】
根据函数图像的对称点，得到ω的表达式，根据()f x 在区间20,3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调，得到T 的范围，从而得到ω的范围，再得到ω的值. 【详解】
函数()f x x ω=-的图像关于点3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，
所以304πω⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，即342k ππωπ=+，k ∈Z ，
得到42
33
k ω=
+，k ∈Z ， ()f x 在区间20,
3
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调， 所以223T π≥，即43T π≥， 所以
243
π
πω
≥
，所以3
2ω≤，
而0>ω，所以0k =，2
3
ω=. 故答案为：23
. 【点睛】
本题考查根据余弦型函数的对称中心求参数的值，根据余弦型函数的周期求参数的值，属于中档题.
16．【分析】先切化弦再诱导公式化简后运用余弦二倍角公式得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系诱导公式二倍角公式同角三角函数的基本关系本身是恒等式也可以看作是方程对于一些题可利用已知
解析：1
9
-
【分析】
先切化弦，再诱导公式化简后，运用余弦二倍角公式得解. 【详解】
2tan
|cos |,|sin |2
232α
αα∴=
∴== 22451
sin()cos cos sin 222999
παααα∴+==-=-=-
故答案为：1
9
-. 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式.
同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的． 应用诱导公式化简求值的关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函
数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
17．①②③【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴分析单调区间利用函数的平移方式检验平移后的图象【详解】由题：令当时即函数的一条对称轴所以①正确；令当时所以是函数的一个对称中心所以②正确；当在区间
解析：①②③ 【分析】
利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】
由题：()3sin 23x f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=
+∈， 当1k =时，1112
π
=x 即函数的一条对称轴，所以①正确； 令2,3
x k k Z π
π-=∈，,6
2k x k Z π
π
=
+
∈，当1k =时，23
x π=， 所以2,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数的一个对称中心，所以②正确； 当5,1212x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
内是增函数，所以③正确；
3sin 2y x =的图象向右平移
3π
个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，与函数()3sin 23x f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭不相等，所以④错误.
故答案为：①②③ 【点睛】
此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.
18．②④或③②(填一种即可)【分析】利用三角函数图象变换可以先平移后伸缩也可以先伸缩后平移即可得到结论【详解】经过变换②可得到再经过变换④可得;或者经过变换③可得到再经过变换②可得故答案为:②④或③②(
解析：②④或③②(填一种即可) 【分析】
利用三角函数图象变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论. 【详解】
sin y x =经过变换②可得到sin 2y x =,再经过变换④可得sin(2)3
y x π
=-
;
或者sin y x =经过变换③可得到sin()3
y x π
=-,再经过变换②可得sin 2y x =.
故答案为: ②④或③②(填一种即可). 【点睛】
本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x 而言,属于中档题.
19．②③【分析】根据三角函数的零点性质三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案【详解】①中是的两个零点即是的整数倍①错误；②中②正确；故④错误；③中③正确；所以正确命题序号是②③故答案为：
解析：②③ 【分析】
根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案. 【详解】
①中12,x x 是()f x 的两个零点，即12x x -是2
π
的整数倍，①错误； ②中06f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
，②正确；故④错误； ③中4sin 24cos 2cos 23236y x x x ππππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=+
=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
，③正确； 所以正确命题序号是②③. 故答案为：②③. 【点睛】
本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
20．见解析【分析】任选一个条件求出的取值结合单调性分析的情况即可得解【详解】若选①令代入解得因为所以当时当时若函数在上单调则有解得所以存在正整数时使得函数在上是单调的若选②所以当时若函数在上单调则有解得
解析：见解析 【分析】
任选一个条件求出ϕ的取值，结合单调性分析ω的情况即可得解. 【详解】
若选①，令,x k k Z ωϕπ+=∈，代入56x πω=，解得5,6
k k Z π
ϕπ=-
∈， 因为02
π
ϕ≤≤
，所以当1k =时，6π=
ϕ，()2cos()6
f x x πω=+，
当[0,]2
x π∈时，[,]6626
x π
ππωπ
ω+∈+， 若函数()f x 在[0,
]2
π
上单调，则有2
6
πω
π
π+
≤，解得5
03
ω<≤
， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,
]2
π
上是单调的．
若选②，()cos 2cos()3
f x x x x π
ωωω==+，所以3
π
ϕ=
，
当[0,]2
x π∈时，[,]3323
x π
ππωπ
ω+∈+， 若函数()f x 在[0,
]2
π
上单调，则有2
3
πω
π
π+
≤，解得4
03
ω<≤
， 所以存在正整数1ω=时，使得函数()f x 在[0,
]2
π
上是单调的．
若选③，因为()(0)f x f ≤恒成立，即max ()(0)2cos 2f x f ϕ===，所以cos 1ϕ=， 因为02
π
ϕ≤≤
，所以0ϕ=，()2cos f x x ω=，
当[0,]2
x π∈时，[0,]2
x πω
ω∈，
若函数()f x 在[0,
]2
π
上单调，则有
2
πω
π≤，解得02ω<≤，
所以存在正整数1ω=或2时，使得函数()f x 在[0,]2
π
上是单调的．
【点睛】
此题考查三角函数的综合应用，根据对称性单调性以及最值的关系求解参数，需要熟练掌握三角函数相关性质.
三、解答题
21．（1）答案见解析；（2）3
4
k x π
π
=+
，k Z ∈. 【分析】
（1）分别令x 等于0、
6π、512π、23π、1112
π、π，求得对应的纵坐标，确定点的坐标，列表、描点、作图即可；
（2）利用放缩变换与平移变换法则可得到()15sin 4126g x x π⎛⎫
=
-+ ⎪⎝
⎭
，再令5462x k k Z ππ
π-
=+∈，可得答案. 【详解】
（1）由题意可得表格如下：
26
x π
+
6
π 2
π π
32
π 2π
136
π
x
6
π 512
π 23
π 1112
π
π
()f x
14
12
12
- 0
14
（2）将()y f x =的图象向上平移1个单位得到1sin 2126y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象，再横坐标缩短为原来的
1
2可得到1sin 4126y x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象，再向右平移4π个单位可得115sin 41sin 412626
y x x πππ⎛⎫⎛
⎫
=-++=-
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的图象， 即()15sin 4126g x x π⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
， 令5462x k πππ-
=+，解得34
k x k Z ππ=+∈，， 所以()g x 的对称轴方程是3
4
k x π
π
=+
，k Z ∈． 【点睛】
方法点睛：“五点法”作一个周期上的图象，主要把握三处主要位置点：1、区间端点；2、最值点；3、零点.
22．（1）2π；（2）2，5,12x x k k Z π
π⎧⎫=+
∈⎨⎬⎩⎭
. 【分析】
（1）先利用二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()f x sin 16x π⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，即可求出
()f x 的最小正周期；
（2）利用图像变换得到()y g x =的解析式，利用换元法就可以得到()y g x =的最大值及取得最大值时 x 的取值 【详解】
（1）∵函数1cos 1()22
x f x x +=
++ sin 16x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
∴函数的周期为2π
（2）依题意：函数()f x sin 16x π⎛
⎫=++ ⎪
⎝
⎭
的图象上的各点向左平移32
π
个单位，得到y 3sin +
1= -cos 16
2
6x x π
ππ⎛
⎫⎛
⎫=+
+++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭；再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一
半，得到y = -cos 216x π⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭； 所以()cos 216g x x π⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
令226
t x k π
ππ=+
=+，即5()12
x k k Z π
π=+
∈ 使函数()g x 取得最大值2，即max ()2g x =
使函数()g x 取得最大值的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
．
【注意】
取得最大值的集合为7,12x x k k Z π
π⎧⎫=-
∈⎨⎬⎩⎭
也可以． 【点睛】 ：
(1)关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a 个单位长度那么相位就会改变ωa ；而先伸缩势必会改变ω大小，这时再平移要使相位改变值仍为ωa ，那么平移长度不等于a ；
(2)求y =Asin (ωx +φ)+B 的值域通常用换元法； 23．()2sin 3f x x ππ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；（2）
296
【分析】
（1）根据条件先求ω，再根据()0f =ϕ，最后再验证ϕ值，确定函数的解析
式；（2）根据条件求函数的零点，确定b 的最大值应是第5个零点. 【详解】 （1）函数的最大值是2，∴,函数的周期2T =，
即
22π
ωπω
=⇒=，
()
02sin f ϕ==，且0ϕπ<<，
3
π
ϕ∴=
或
23
π， 当3
π
ϕ=
时，()2sin 3f x x ππ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，当10,
12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，5,3312x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，满足条件； 当23ϕπ=
时，()22sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当10,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，
223,334x ππππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦ 3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在区间10,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为减函数，所以舍去， 所以函数()2sin 3f x x ππ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
； （2）()2sin 103g x x ππ⎛⎫
=+
+= ⎪⎝
⎭，得1sin 32x ππ⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
， 72,3
6x k k Z π
πππ+
=
+∈，解得：5
2,6x k k Z =+∈， 或112,3
6x k k Z π
πππ+
=
+∈，解得：3
2,2
x k k Z =+∈， 函数()()1g x f x =+在区间()0,b 上只有4个零点，
∴这四个零点应是56，32，176
，7
2，
那么b 的最大值应是第5个零点，即29
6
， 所以b 的最大值是296
. 【点睛】
关键点点睛：本题第一问注意求出两个ϕ 后需验证是否满足条件，第二个关键点是，注意
()0,b 是开区间，开区间内只有四个零点，则b 的最大值是第5个零点.
24．（1）()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）,,2πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
k k k Z ；（3）{},66πππ⎡⎤
-⋃⎢⎥⎣⎦
． 【分析】
(1)利用题中图象可知A =，44T π=，结合周期公式求得=2ω，再由3
x π
=代入计算得=
3
π
ϕ即得解析式；
(2)根据三角函数平移的方法求得()g x ，再利用整体代入法求单调递减区间即可；
(3)先由()32
f
x ≥可得sin 23x π⎛
⎫+≥ ⎪⎝
⎭
，再由,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得到23x π+的前提范
围，结合正弦函数性质得到不等式中23
x π
+的范围，再计算x 范围即可.
【详解】
解：（1）由题中图象可知：A =，
741234
T πππ
=-=， 2T π
πω
∴==
，即2ω=，
又由图象知，3
x π
=
时，223
k π
ϕππ⋅
+=+，即23
k π
ϕπ=
+，k Z ∈，
又02ϕπ≤<，∴=
3
π
ϕ，
()
23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭；
（2）()f x 向左平移
12
π
个单位后得到函数()g x ，故
()
2221232g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，
由余弦函数性质知，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，得减区间,,2πππ⎡
⎤
+∈⎢⎥⎣
⎦
k k k Z ， ∴()g x 的单调递减区间为,,2πππ⎡
⎤
+∈⎢⎥⎣
⎦
k k k Z ；
（3）由题意知：()3232f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝
⎭， 由,2x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
，知[]0,x π∈，2,2333x ππππ⎡⎤
+∈+⎢⎥⎣⎦，
由正弦函数图象性质可知，223
3
3x π
π
π≤+
≤
或2233
x ππ
π+=+ 即06
x π
≤≤
或x =π，
又,2x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
，得x 的取值范围为{},66x πππ⎡⎤
∈-⋃⎢⎥⎣⎦．
【点睛】 方法点睛：
求三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++性质问题时，通常利用整体代入法求解单调性、对称性，最值等性质，或者整体法求三角不等式的解.
25．（1）3tan 4α=；（2）3sin 3
sin 3cos 25
ααα=--.
【分析】
（1）利用诱导公式可得出12
cos sin 25
αα=
，根据题意可得出关于cos α、sin α的值，求出cos α、sin α的值，利用同角三角函数的商数关系可求得tan α的值；
（2）将所求代数式变形为()()
3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αα
αααααα=--+，在分式
的分子和分母中同时除以3cos α，利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】 （1）
712sin cos 2225ππαα⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
由诱导公式可得123sin cos cos sin 2522ππαααα⎛⎫⎛⎫
=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 0,4πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，cos sin 0αα∴>>，由已知可得2212cos sin 25cos sin 1cos sin 0
αααααα⎧
=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩
，解得
4cos 5
3sin 5αα⎧
=⎪⎪⎨
⎪=
⎪⎩
， 因此，sin 3
tan cos 4
ααα==； （2）
()()
3322sin sin sin 3cos sin 3cos sin cos αα
αααααα=
--+()()332
22
3sin tan 325sin sin tan 3tan 131cos cos cos αααα
ααααα===-⎛⎫-+⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.
【点睛】
方法点睛：三角函数求值问题中已知tan α，求关于sin α、cos α的代数式的值时，一般利用弦化切公式后直接代入tan α的值，在关于sin α、cos α的齐次式中，常常利用弦化切的方程转化为含tan α的代数式. 26．（1）12
x π
=-；（2）512
ω≤<
. 【分析】
（1）由函数的()f x 的最小正周期求得ω，再根据图象的平移得出函数()f x 的解析式，由正弦函数的性质可得答案；
（2）由图象平移得出：(
)33f x x ππω⎡⎤⎛⎫=
-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，再由()f x 在,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上仅有一
个零点，建立不等式组，解之可得范围. 【详解】
解：（1）因为()f x 的最小正周期为π，2π
πω
∴
=，2ω∴=，
()f x
的图像是由3y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位得到，
(
)33f x x ππω⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，即(
)23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，
令232x k ππ-
=π+，k Z ∈，得()f x 的对称轴方程为212
k x π5π
=+，k Z ∈， 要使直线212k x π5π
=
+（k Z ∈）与y 轴距离最近，则须5212
k ππ+最小，
1k ∴=-，此时对称轴方程为12
x π
=-
，即所求对称轴方程为12
x π
=-
.
（2）由已知得：(
)33f x x ππω⎡⎤
⎛⎫=
-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
令()0f x =得：3
3
x k π
π
ωωπ+
-
=，k Z ∈，即
3
3k x π
π
πωω
+-
=
，k Z ∈，。