一轮复习,三角函数解三角形,新课标高考题汇编

．三角函数与解三角形
1．任意角的概念、弧度制 (1)了解任意角的概念. (2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 (1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出
2
π
α±，απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，
能画出 y = sin x ,y =cos x ,y = tan x 的图像,了解三角函数的周期性.
(3)理解正弦函数、余弦函数在区间[ 0,2π ]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间[,]22ππ
-内的单调性.
(4)理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos x
x x
=.
(5)了解函数 y =A sin(x+)的物理意义；能画出 y =A sin(x+)的图像,了解参数A ,,对函数图
像变化的影响.
(6)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 3．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
4．应用：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 二、新课标全国卷命题分析
新课标全国卷对于三角函数的考查比较固定，一般考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形，一般是1小1大，或者3小题，一般考查考生转化与化归思想和运算求解能力。

三角函数求值、三角恒等变换、三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值范围、图象变换等都是热门考点。

解三角形问题也是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形边角关系进行“边转角”“角转边”．
题型1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系 例1 （2016·新课标Ⅲ，理5）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.
6425 B. 48
25 C. 1 D. 1625
题型2 三角函数的恒等变换
例2 （2018·新课标Ⅲ，理4）若1
sin 3
α=，则cos2α=（ ）
A ．89
B ．
79
C ．79
-
D ．89
-
例3 （2015·新课标Ⅰ，2）sin 20cos10cos160sin10-=o o o o
______________
题型4 三角函数的图形变换
例5 （17全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
：，则下面结论正确的是（ ）. A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
π
6
个单位长度，得到曲线2
C B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2
C C.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线2
C D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2C
题型5 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 例6 （2017·新课标Ⅲ，6）设函数()πcos 3f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则下列结论错误的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2-π
B ．()y f x =的图像关于直线83
x π
=
对称 C ．()f x +π的一个零点为6
x π=
D ．()f x 在π,2⎛⎫
π
⎪⎝⎭
单调递减 例7 （2016·新课标Ⅱ，理7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移
12
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26k x k Z ππ=
-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212
k x k Z ππ=+∈ 题型7 解三角形、正余弦定理
例9 （2018·新课标Ⅱ，6）在ABC △中，5
cos
2C =
，1BC =，5AC =，则AB =（ ） A ．2 B 30 C 29．25题型8 三角函数与解三角形的综合应用
例10 （2017·新课标Ⅰ，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为
2
3sin a A
（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长
2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编
9．三角函数与解三角形
一、选择题
（18·Ⅲ）ABC △内角A B C ，，对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆面积为
222
4
a b c +-，则C =（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6
π
（2016·新课标Ⅱ，9）若3
cos(
)45π
α-=，则sin 2α =（ ） A ．
725
B ．15
C ．15
-
D ．725
-
（2016·新课标Ⅲ，5）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.
6425 B. 48
25 C. 1 D. 1625
（2016·新课标Ⅲ，8）在ABC △中，π
4
B =
，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）
A.
31010 B. 1010 C.1010- D. 310
10
-
（2015·新课标Ⅰ，2）sin 20cos10cos160sin10-=o o o o （ ）
A ．32-
B ．32
C ．12-
D ．1
2
（2015·新课标Ⅰ，8）函数()f x =cos()x ωϕ+部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
A ．13(,),44k k k ππ-
+∈Z B ．13
(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13
(2,2),44
k k k -+∈Z
（2014·新课标Ⅰ，6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线
OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的
距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）
（2014·新课标Ⅰ，8）设(0,
)2π
α∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos βαβ+=
，则（ ）
A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-=
C .32
π
αβ+=
D .22
π
αβ+=
（2014·新课标Ⅱ，4）钝角三角形ABC 的面积是12
，AB =1，BC AC =（ ）
A ．5
B
C ．2
D ．1
（2012·新课标Ⅰ，9）已知0ω>，函数()sin()4
f x x π
ω=+在（
2
π
，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A ．[
12，5
4
] B ．[
12，3
4
] C ．（0，
1
2
] D ．（0，2]
（2011·新课标Ⅰ，11）设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，
且()()f x f x -=，则
（A ）()f x 在(0,)2π单调递减 （B ）()f x 在3(,
)44ππ
单调递减
（C ）()f x 在(0,)2
π
单调递增
（D ）()f x 在3(,)44
ππ
单调递增
（2011·新课标Ⅰ，5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）
A ．45-
B ．35-
C ．35
D ．45
（2018·新课标Ⅲ，理15）函数()cos 36f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
在[]0π，
的零点个数为________． （2018·新课标Ⅱ，理15）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．
（2017·新课标Ⅱ，14）函数()23sin 4f x x x =-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是 ． （2016·新课标Ⅱ，13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4
5
A =
，1cos 53C =，a =
1，则b = .
（2016·新课标Ⅲ，14）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移______个单位长度得到.
（2014·新课标Ⅱ，14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.
（2013·新课标Ⅰ，15）设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.
（2013·新课标Ⅱ，15）设θ为第二象限角，若1
tan()42
πθ+=，则sin cos θθ+=_________.
(2018·新课标Ⅰ，理17)在平面四边形ABCD 中，o ADC 90=∠，o
A 45=∠，2=A
B ，5=BD .
（1）求ADB ∠cos ；（2）若22=DC ，求BC .
（2017·新课标Ⅰ，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长
（2017·新课标Ⅱ，17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B
A C +=． （1）求cos
B ；（2）若6a c += , AB
C ∆面积为2，求.b ．
（2017·新课标Ⅲ，17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 3cos 0A A +=，
a =2
b =．（1）求
c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．
（2016·新课标Ⅰ）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知
c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为2
3
3，求ABC ∆周长．
（2015·新课标Ⅱ，17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．
（Ⅰ）求 sin sin B C ∠∠；（Ⅱ） 若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长．
（2013·新课标Ⅰ，17）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC
＝90°.(1)若PB＝1
2
，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
（2013·新课标Ⅱ，17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
（2012·新课标Ⅰ，17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，
cos sin0
a C C
b c
--=．
（1）求A；（2）若2
a=，△ABC，求b，c．
三角函数与解三角形
题型1 三角函数的定义、同角三角函数的基本关系 例1 （2016·新课标Ⅲ，理5）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.
6425 B. 48
25 C. 1 D. 1625
解析：22
222cos 4sin cos 14tan 64
cos 2sin 225
cos sin 1tan ααααααααα+++===
++，故选A. 【解题技巧】本题考查三角恒等变换，齐次化切. 题型2 三角函数的恒等变换
例2 （2018·新课标Ⅲ，理4）若1
sin 3
α=，则cos2α=（ ）
A ．89
B ．
79
C ．79
-
D ．89
-
解析：2
27cos 212sin 199
αα=-=-=.故选B.
例3 （2015·新课标Ⅰ，2）sin 20cos10cos160sin10-=o o o o （ ）
A ．32-
B ．32
C ．12-
D ．12
解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin30-=+=o o o o o o o o o ，选D ．. 题型4 三角函数的图形变换
例 5 （2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛
⎫
=+ ⎪⎝⎭
：，则下面结论正确的是（ ）.
A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线2
C
B.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线2
C
C.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到曲线2
C
D.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的
12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长
度，得到曲线2C
解析 ：首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．
πππcos cos sin 222⎛⎫⎛
⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即
112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π
3
+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+
x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π
12
．故选D. 题型5 三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 例6 （2017·新课标Ⅲ，6）设函数()πcos 3f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则下列结论错误的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2-π
B ．()y f x =的图像关于直线83
x π
=
对称 C ．()f x +π的一个零点为6
x π=
D ．()f x 在π,2⎛⎫
π
⎪⎝⎭
单调递减 解析： 函数()πcos 3f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位得到，
如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上先递减后递增，D 选项错误.故选D.
例7 （2016·新课标Ⅱ，理7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移
12
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） A ．()26
k x k Z ππ=-∈ B ．()26
k x k Z ππ=+∈ C ．()212
k x k Z ππ=
-∈
D ．()212
k x k Z ππ=
+∈ 解析：平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，得对称轴方程：
()ππ
26
Z k x k =
+∈，故选B ． 题型7 解三角形、正余弦定理
例9 （2018·新课标Ⅱ，6）在ABC △中，cos
2C =
，1BC =，5AC =，则AB =（ ）
A ． B
C ．
解析：因为2cos 2cos 12C
C =-，所以 2
3cos 215C =-=-⎝⎭
，
由余弦定理可知：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅，222351251325AB ⎛⎫
=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，故AB =
题型8 三角函数与解三角形的综合应用
例10 （2017·新课标Ⅰ，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为
2
3sin a A
（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长
解析：（1）∵ABC △面积23sin a S A =．且1sin 2S bc A =，∴
21
sin 3sin 2
a bc A A =， ∴223sin 2a bc A =，∵由正弦定理得22
3sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3
B C =．
（2）由（1）得2sin sin 3B C =
，1
cos cos 6
B C =，∵πA B C ++=， ∴()()1
cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A B C B C B B C =--=-+=-=
，
又∵()0πA ∈，，∴60A =︒，sin A =
1cos 2A =，由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①
由正弦定理得sin sin a b B A =
⋅，sin sin a c C A =⋅，∴2
2sin sin 8sin a bc B C A
=⋅= ②
由①②得b c +=∴3a b c ++=ABC △周长为3+
9．三角函数与解三角形（逐题解析版）
（2018·新课标Ⅲ，理9）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为
222
4
a b c +-，则C =（ ） A ．2
π
B ．
3
π C ．
4
π
D ．
6
π 【答案】C 解析：2222cos 1
cos 442ABC
a b c ab C S ab C ∆+-===，又1sin 2
ABC S ab C ∆=，故
tan 1C =，∴4
C π
=
.故选C.
（2016·新课标Ⅱ，9）若3
cos(
)45π
α-=，则sin 2α =（ ） A ．
725
B ．15
C ．15
-
D ．725
-
【答案】D 解析：∵3cos()4
5π
α-=
，2ππ
7sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()124425
παααα=-=-=--=，故选D ．
（2016·新课标Ⅲ，5）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A.
6425 B. 48
25 C. 1 D. 1625
【答案】A 解析：22
222cos 4sin cos 14tan 64
cos 2sin 225cos sin 1tan ααααααααα+++===
++，故选A.
（2016·新课标Ⅲ，8）在ABC △中，π
4
B =
，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）
C.
D.
【答案】C 解析：如图所示，可设1BD AD ==
，则AB =，2DC =
，AC ∴=
cos A =
= （2015·新课标Ⅰ，2）sin 20cos10cos160sin10-=o o o o
（ ）
A
．2-
B
．2 C ．12- D ．12
D
C
A
B
【答案】D解析：sin20cos10cos160sin10sin20cos10cos20sin10sin30
-=+=
o o o o o o o o o，选D．. （2015·新课标Ⅰ，8）函数()
f x=cos()
x
ωϕ
+的部分图象如图所示，则()
f x的单调递减区间为
（）
A．
13
(,),
44
k k k
ππ
-+∈Z
B．
13
(2,2),
44
k k k
ππ
-+∈Z
C．
13
(,),
44
k k k
-+∈Z
D．
13
(2,2),
44
k k k
-+∈Z
【答案】D解析：由五点作图知，
1
+
42
53
+
42
π
ωϕ
π
ωϕ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，解得=
ωπ，=
4
π
ϕ，所以()cos()
4
f x x
π
π
=+，令
22,
4
k x k k
π
ππππ
<+<+∈Z，解得
1
2
4
k-＜x＜
3
2
4
k+，k∈Z，故单调减区间为（
1
2
4
k-，
3
2
4
k+），k∈Z，故选D．
（2014·新课标Ⅰ，6）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂
线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()
f x，则
y=()
f x在[0,π]上的图像大致为（）
【答案】B解析：如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则 PM=sin x，OM=cos x,在Rt OMP
∆中，
MD=
cos sin
1
x x
OM PM
OP
=
g
g
cos sin
x x
=
1
sin2
2
x
=，
∴()
f x
1
sin2(0)
2
x xπ
=≤≤，选B.
（2014·新课标Ⅰ，8）设(0,
)2π
α∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos βαβ+=
，则（ ） A .32
π
αβ-=
B .22
π
αβ-=
C .32
π
αβ+=
D .22
π
αβ+=
【答案】B 解析：∵sin 1sin tan cos cos αβ
ααβ
+=
=，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫
-==- ⎪⎝⎭
，,02222ππππαβα-<-<<-<
∴2
π
αβα-=-，即22
π
αβ-=
，选B
（2014·新课标Ⅱ，4）钝角三角形ABC 的面积是12
，AB =1，BC AC =（ ）
A ．5 B
C ．2
D ．1
【答案】B 解析：∵1||||sin 2ABC S AB BC B ∆=
⋅⋅，即：11
1sin 22
B =⋅，
∴sin 2
B =
，即45B =o 或135o
． 又∵222||||||2||||cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，∴2
||1AC =或5，
又∵ABC ∆为钝角三角形，∴2
||5AC =，即：||AC =
（2012·新课标Ⅱ，9）已知0>ω，函数)4sin()(π
ω+=x x f 在),2
(ππ
单调递减，则ω的取值范围是（）
A. 15
[,]24
B. 13[,]24
C. 1(0,]2
D. (0,2]
【答案】A 解析：由
322,22442
k k k πππππ
πωπωπ+≤+<+≤+∈Z
得，1542,24k k k ω+≤≤+∈Z ，15
024
∵，∴ωω>≤≤.
（2011·新课标Ⅰ，11）设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，
且()()f x f x -=，则
（A ）()f x 在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,
44
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减
（C ）()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 （D ）()f x 在3,44ππ
⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
【答案】A 解析：())4
f x x π
ωϕ=
++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，
,4
2
4k k k z π
π
π
ϕπϕπ∴+
=
+⇒=
+∈，())2f x x x π
∴=+=，选A .
（2011·新课标Ⅰ，5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ）
A ．45-
B ．35-
C ．35
D ．4
5
【答案】B 解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3
cos2cos sin 1tan 5
θθθθθθθ--===-++，选B.
（2011·新课标Ⅱ，5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y =2x 上，
则cos2θ =（ ） A ．45
-
B ．35
-
C ．35
D ．45
【答案】B 解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3
cos2cos sin 1tan 5
θθθθθθθ--===-
++，故选B.
（2018·新课标Ⅱ，理15）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+=__________．
【答案】12-【解析】解法一：22
22
sin cos 1sin cos 2sin cos 1
cos sin 0cos sin 2cos sin 0a αβαβαβαββαβ⎧+=++=⎧⎪−−−−→⎨⎨+=++=⎪⎩⎩
两边平方 ()()122sin cos cos sin 1sin 2αβαβαβ−−−−→++=⇒+=-对位相加
解法二： sin cos 1cos 1sin cos sin 0sin cos αββα
αββα+==-⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩
① ()()()sin sin cos cos sin sin 1sin cos cos sin 1αβαβαβααααα+=+=-+-=- ② ()()2
2
221
sin cos 11sin cos 1sin 2
ββααα+=⇒-+-=⇒=
综上所述：()1
sin 2αβ+=-
解法三：特殊值法
设1sin cos 2αβ==
，则cos α=，sin β=，()1
sin sin cos cos sin 2
αβαβαβ+=+=-.
（2018·新课标Ⅲ，理15）函数()cos 36f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
在[]0π，
的零点个数为________． 【答案】3 解析：由()cos(3)06
f x x π
=+
=，有3()6
2x k k Z π
π
π+
=+
∈，解得39
k x π
π=+，由039k πππ≤+≤得k 可取0,1,2，∴()cos(3)6
f x x π
=+在[0,]π上有3个零点.
（2017·新课标Ⅱ，14）函数()23sin 4f x x x =-
（0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
）的最大值是 ．
【答案】1【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫
⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
，22sin cos 1x x +=，
∴ ()21cos 4f x x x =-+，设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()2
14
f x t =-++，函数对称轴为
[]0,1t ，∴ ()max 1f x =．
（2016·新课标Ⅱ，13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 4
5
A =
，1cos 53C =，a =
1，则b = . 【答案】
2113 解析：∵4cos 5
A =，5cos 13C =，∴3sin 5A =，12sin 13C =，()63
sin sin sin cos cos sin 65B A C A C A C =+=+=
，由正弦定理得：sin sin b a B A =，解得2113
b =．
（2016·新课标Ⅲ，14）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移______个单位长度得到.
【答案】
23π 解析：sin 2sin ,sin 2sin 33y x x x y x x x ππ⎛⎫⎛
⎫==-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭Q ，故可前者的图像可由后者向右平移
23
π
个单位长度得到. （2014·新课标Ⅱ，14）函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 【答案】1 解析：∵()sin(2)2sin cos()sin[()]2sin cos()f x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ=+-+=++-+
sin cos()cos sin()2sin cos()cos sin()sin cos()sin x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+++-+=+-+=
∵x R ∈，∴()f x 的最大值为1.
（2013·新课标Ⅰ，15）设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.
【答案】
5-
解析：f (x )＝sin x －2cos x x x ⎫
⎪⎭
，令cos αsin α＝
则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋
π
2
－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )， 即θ＝2k π＋
π2－α(k ∈Z )，所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫
- ⎪⎝⎭
＝sin α＝
5=-.
（2013·新课标Ⅱ，15）设θ为第二象限角，若1
tan()42
πθ+=，则sin cos θθ+=_________.
【答案】 解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝
⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ. 将
其代入sin 2
θ＋cos 2
θ＝1，得
210
cos 19
θ=. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝10-，sin
θ
sin θ＋cos θ＝.
三、解答题
(2018·新课标Ⅰ，理17)在平面四边形ABCD 中，o ADC 90=∠，o
A 45=∠，2=A
B ，5=BD .
（1）求ADB ∠cos ；（2）若22=DC ，求BC .
解析：解法
1：（1）在ADB ∆中，由正弦定理：
A
ADB ∠=
∠sin 5
sin 2，所以A ADB ∠=∠sin 52sin 52=，又因为o ADC 90=∠，所以o
ADB 90<∠，所以523cos =∠ADB . 解法2：在ADB ∆中，由余弦定理可得2
2
2252cos 222=⨯⨯-+=∠AD AD ADB ，解得232+=AD （负
值舍去），再由余弦定理可得ADB ∠cos =
⨯+⨯-++=5
)232(225)232(2
225
23. （2）O
ADB BDC 90=∠+∠，所以=∠BDC cos ADB ∠sin 5
2
=
，在BDC ∆中，由余弦定理可知2
208252cos 2222BC DC BD BC DC BD BDC -+=⋅-+=∠52
=，解得5=BC .
（2017·新课标Ⅰ，17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为2
3sin a A
（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长
解析：（1）∵ABC △面积23sin a S A =．且1sin 2S bc A =，∴
21
sin 3sin 2
a bc A A =， ∴223sin 2a bc A =，∵由正弦定理得22
3sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3
B C =．
（2）由（1）得2sin sin 3B C =
，1
cos cos 6
B C =，∵πA B C ++=， ∴()()1
cos cos πcos sin sinC cos cos 2
A B C B C B B C =--=-+=-=
， 又∵()0πA ∈，，∴60A =︒，3
sin A =
1cos 2A =，由余弦定理得2229a b c bc =+-= ①
由正弦定理得sin sin a b B A =
⋅，sin sin a c C A =⋅，∴2
2sin sin 8sin a bc B C A
=⋅= ② 由①②得33b c +=∴333a b c ++=ABC △周长为333+
（2017·新课标Ⅱ，17）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2
sin()8sin 2
B A
C +=． （1）求cos B ；
（2）若6a c += , ABC ∆面积为2，求.b ．
解析：（Ⅰ）【解法1】由题设及2
sin
8sin ,2
B
B C B A ==++π，故sin 4-cosB B =（1）， 上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0，解得 15
cosB=cosB 17
1（舍去），=.
【解法2】由题设及2sin 8sin ,2B B C B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02
sin ≠B ，所
以4
12tan =B ，17152
tan 12tan 1cos 2
2
=+-=
B B
B . （Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217AB
C S c B ac ∆==，又17
=22
ABC S ac ∆=，则，
由余弦定理及a 6c +=得
2222
1715
b 2cos a 2(1cosB)362(1)4217
a c ac B ac =+-=-+=-⨯
⨯+=（+c ），所以b=2．
（2017·新课标Ⅲ，17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，已知sin 0A A +=
，
a =2
b =．
（1）求c ；
（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．
解析:（1
）由sin 0A A +=得π2sin 03A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，
又()0,πA ∈，所以ππ3A +
=，得2π
3
A =. 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.
又因为12,cos 2
a b A ===-代入并整理得()2
125c +=.故4c =.
（2
）因为2,4AC BC AB ===，
由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=. 因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅
，得CD =.
由勾股定理AD =
又2π3A =
，则2πππ
326
DAB ∠=
-=，
1π
sin 26
ABD S AD AB =
⋅⋅=△
（2016·新课标Ⅰ，17）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知
c A b B a C =+)cos cos (cos 2．
（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=
c ，ABC ∆的面积为
2
3
3，求ABC ∆的周长． 解析：⑴
()2cos cos cos C a B b A c
+=，
由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅= ()2cos sin sin C A B C ⋅+=，∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，，
∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =
，∵()0πC ∈，，∴π3
C =
⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅，221722a b ab =+-⋅
，
()2
37a b ab +-=
1sin 2S ab C =⋅，
∴6ab =，∴()2
187a b +-=，5a b +=
∴ABC △周长为5a b c ++=
（2015·新课标Ⅱ，17）在∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍． （Ⅰ）求
sin sin B
C
∠∠；
（Ⅱ） 若AD =1，DC ，求BD 和AC 的长． 解析：（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=
⋅∠，1
sin 2
ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABD ADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =，由正弦定理可得
sin 1
sin 2
B A
C C AB ∠==∠.
（Ⅱ）因为::2ABD ADC S S BD DC ∆∆==，2
DC =
，所以BD ABD ∆和ADC ∆中， 由余弦定理知，2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠， 故222222326AB AC AD BD DC +=++=，由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =.
（2013·新课标Ⅰ，17）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC
＝90°.
(1)若PB ＝
1
2
，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .
解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2
＝117
32cos 30424
+
-︒=，故PA
. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA
中，由正弦定理得
sin sin150sin(30)
α
α=
︒︒-，
α＝4sin α，所以tan α
tan ∠PBA
. （2012·新课标Ⅰ，17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边
，
cos sin 0a C C b c --=．
（1）求A ；（2）若2a =，△ABC
，求b ，c ． 解析：（1）根据正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，得A R a sin 2=，B R b sin 2=，
C R c sin 2=，
因为cos sin 0a C C b c +--=，
所以0sin 2sin 2sin )sin 2(3cos )sin 2(=--+C R B R C A R C A R ， 即0sin sin sin sin 3cos sin =--+C B C A C A ，（1）
由三角形内角和定理，得C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=，
代入（1）式得0sin sin cos cos sin sin sin 3cos sin =---+C C A C A C A C A ， 化简得C C A C A sin sin cos sin sin 3=-， 因为0sin ≠C ，所以1cos sin 3=-A A ，即2
1
)6
sin(=
-π
A ， 而π<<A 0，656
6
ππ
π
<
-
<-
A ，从而6
6ππ=-A ，解得3π=A ．
（2）若2a =，△ABC
1）得3
π
=
A ，
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==-+=4
3cos 233sin 21
222a bc c b bc ππ，化简得⎩⎨⎧=+=842
2c b bc ，从而解得2=b ，2=c ．。