函数极限连续(120道练习题)

一、填空题
1.2
1
2
x y x x -=
+-有
个间断点 2.()y f x =在0x 点连续，则0
lim ()x x f x →= 3．设2
(2)1,f x x +=+则)(x f 4．n =
5．若10
5lim 1,kn
n e n --→∞
⎛⎫
+= ⎪
⎝⎭
则k =
6．2352
lim
sin 53n n n n
→∞++= 7．极限1
2sin lim 2+∞
→x x
x x = .
8. 若)(x f y =在点0x 连续，则)]()([lim 0→-0
x f x f
x x =______
9. =→x
x
x 5sin lim 0___________； 10. =-
∞
→n
n n
)21(lim _________________； 11. 若函数2
31
22+--=x x x y ，有几个间断点_________
12. 绝对值函数 =
=x x f )(⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>.0,;0,0;0,x x x x x 其定义域是 ,值域是
13符号函数 ==x x f sgn )(⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>.0,1;0,0;0,1x x x
其定义域是 ，值域是三个点的集合
14. 无穷小量是 15、21lim(1)x
x x
→∞
-=
16、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A= 17、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2
1()2
x f x -=，则函数值(0)f =
18、111
lim[
]1223
(1)
n n n →∞++
+
⋅⋅+=
19．设()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<≤<≤-=3
1,110,
20
1,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。

20．已知函数()x f y =的定义域是[]1,0，则()2
x f 的定义域是 。

21．若()x
x f -=
11
，则()[]=x f f 22．函数1
+=x e
y 的反函数为 。

23．函数()x y πsin 5=的最小正周期=T 。

24．设2
11x x x f ++=⎪⎭
⎫
⎝⎛，则()=x f 。

25．(
)
=--+∞
→13lim
n n
n x 。

26．=++++++++
∞→n
n n 3
1
9131121
41211lim 。

27．函数()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-<≤-<=2,321,11,
x x x x x x x f 的不连续点为 。

28．=∞→n n n x
3sin
3lim 。

29．函数()1
1
2-=x x f 的连续区间是 。

30．设()()⎩⎨⎧<++≥+=0
,
0,2
x x x b a x b ax x f ()0≠+b a ，()x f 处处连续的充要条件是=b 。

31．若01lim 2=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+∞→b ax x x x ，a ，b 均为常数，则=a ，=b 。

课程名称： 高等数学
32．=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++∞→22221
lim n n n n n 。

33．若31122++=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+x x x x f ，则()=x f 。

34．已知22
35
lim
22=-++∞→n bn n a n ，则=a ，=b 。

35．212lim e x x ax
x =⎪⎭
⎫
⎝⎛++∞→，则=a 。

36．函数()x
e x
f 1
=的不连续点是
37．函数()x
x f 1
sin =的不连续点是
38．已知
()()
x x x f 1
1-=，为使
()x f 在0=x 连续，则应补充定义()=0f 。

39．若函数()1=x f 与函数()x
x x g =
的图形完全相同，则x 的取值范围是 。

40．设()3
x x x f -=，若()0=x f ，则=x ；若()0>x f ，则∈x ；若()0<x f ；则
∈x 。

41．设10≤<u ，函数()u f 有意义，则函数()x f ln 的定义域 。

42．如果0→x 时，要无穷小()x cos 1-与2
sin 2
x
a 等价，a 应等于 。

43．=-→x
x x
x cos cos 1lim 20 。

44．若函数121)x (f x
-⎪⎭⎫
⎝⎛=，则______)x (f lim x =+∞
→
45.若函数1
x 1
x )x (f 2--=，则______)(lim 1=-→x f x
46. 设2
3,,tan ,u
y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________
47. 设
cos 0()0
x x f x x ≤⎧⎪=⎨
>⎪⎩ ，则 (0)f = __________
48.
y =，其定义域为 __________
49. 1
253lim 22
-+∞→n n n n = _______
50. 考虑奇偶性，函数
ln(y x =+ 为 ___________ 函数
二、选择题（单选）
1．设f x ()的定义域是[0,4]，则f x ()2
的定义域是( ) A. [,]04
B. [-2,2]
C. [0,16]
D. [0,2]
2．设函数y f x =()的定义域为[0,2]，a >0，则y f x a f x a =++-()() 的定义域为( ) A.[,][,]--⋂+a a a a 22 B. ∅
C. 当a ≤1时，定义域：a x a ≤≤-2；当a >1，∅；
D. [,][,]--⋃+a a a a 22 3．若Z y f x =
+-()31，且已知当y =1时，z x =.则f x ()=（ ）
A.()x +-113
B.x -1
C.()t +-113
D.t -1 4．当0x →+时，（ ）无穷小量。

A 1sin x x
B 1
x e C ln x D 1
sin x x
5．设f x ()的定义域为(-∞,+∞)，则g x f x f x ()()()=--是( ) A. 偶函数
B. g x ()≡0
C. 非奇非偶函数
D. 奇函数
6．反函数保持原来函数的( )性质。

A. 单调性
B. 奇偶性
C. 周期性
D. 有界性
7．当n →∞时，2
1sin n 与1
k n
为等价无穷小，则k = （ ） A
1
2
B 1
C 2
D -2
8．函数ln(2)x -的定义域（ ）。

A （0，2）
B （2，+∞）
C （-2，0）
D （-∞，2） 9．当x →∞时，sin ()x
f x x
=
是（ ）。

A 无界 B 无极限 C 极限为1 D 无穷小量 10．
{
()f x =12x e x k
-+
x x ≥ 在0x =连续，则k =（ ）。

A 0 B 1 C 2 D 3 11．当0x →时，sin ()x
f x x
=
是（ ）。

A 无界 B 无极限 C 极限为1 D 无穷小量 12．当0→x 时，下列变量是无穷大量的是（ ）。

A
2x B 3x C x
x
21+ D x 2 13．设函数f x ()为定义在(,)-∞+∞的任何不 恒等于零的函数，则（ ）必是偶函数。

A.F x f x f x ()()()=--； B ．F x f x f x ()()()=+-； C.F x f x f x ()()()=--；
D.F x f x f x ()()()=-+- 。

14．设f(x)=x 3
-x 2
-1，则f(f(1))=( )。

Ａ －１ Ｂ －３ Ｃ ０ Ｄ １ 15．设()sin f x x x =，则()f x 为（ ）函数。

A 奇
B 偶
C 非奇非偶
D 不确定 16．下面函数与y x =为同一函数的是（ ）
2
.A y =
.B y =
ln .x
C y e
= .ln x
D y e
=
17．lim
sin
sin x x x x
→02
1
的值为（ ） A.1; B.∞ ; C.不存在； D.0 。

18．当x →0时，与sin x 2
等价的无穷小量是( )。

A. ln()1+x ; B tan x ; C. 21(cos )-x ; D. e x
-1。

19．设()f x 在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（ ）
()().A y f x f x =+-()().B y x f x f x =--⎡⎤⎣⎦ ()32.C y x f x =
()().D y f x f x =-⋅
20．下列各式正确的是 ( ) A ）
x x x )11(lim 0
++→=1 B ）e x x
x =++→)11(lim 0 C ） x x x )11(lim 0-+
→=-e D ）e x x x =+-→+)11(lim 0 21．极限：=+-∞
→x
x x x )1
1(
lim ( ) A.1； B.∞； C.2
-e ； D.2
e 22．函数()
f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（ ）。

A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件
23．极限2
01lim cos 1
x x e x →--等于（ ）。

A ∞
B 2
C 0
D -2 24．极限: x
x
x x 2sin sin tan lim
30
-→=（ ）
A.0；
B.∞；
C. 16
1； D.16． 25．当0→x 时,Sinx x -是2
x 的（ ）
(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C)等价无穷小. (D)同阶但非等价的无穷小. 26．极限：)(lim 2x x x x -+∞
+
→=（ ） A.0； B.∞； C.2； D. 2
1
27．函数 3
x 2
x y --=
的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B) [2,]+∞ (C) (,3)
(3,)-∞+∞ (D) [2,3)(3,)+∞
28．当的是时 sin tan , 0x x x →（ ）
等价无穷小同阶非等价无穷小低阶无穷小高阶无穷小 (D) )( (B) )(C A
29．x
y 1
sin
=在定义域内是（ ） A 单调函数 B 周期函数 C 无界函数 D 有界函数 30．当
0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）.
A ．
x
1 B ．x
x
sin C ．)1ln(x +
D ．2
x
x
31．函数
233
)(2
+--=x x x x f 的间断点是（ ）
A ．
2,1==x x
B ．
3=x
C ．
3,2,1===x x x D ．无间断点
32．若极限a x f x x =→)(lim 0
（常数），则函数)(x f 在点0x ( )
A 有定义且a x f =)(0
B 不能有定义
C 有定义，但)(0x f 可以为任意数值
D 可以有定义也可以没有定义 33．设n 是整数，则n
n
x
x x f --=)(是（ ）。

A 偶函数
B 既是奇函数又是偶函数
C 奇函数
D 非奇非偶函数
34．极限：∞
→x lim 3
32
x
x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2
35．x
x
a x sin lim -∞→ 等于 ( )
（A ） a (B) 0 (C) -a (D) 不存在
36．已知当0→x 时，)(x f 是无穷大量，下列变量当0→x 时一定是无穷小量的是[ ].
（A ）)(x f x ⋅
（B ）)(x f x +
（C ）)(x f x
（D ）x
x f 1
)(-
37．=+-+∞→x
x x
x x x sin 2sin 2lim 22( ) A.2; B.1/2 ; C.不存在； D.0 38．2
|
2|lim
2--→x x x 的值为（ ）。

A.1;
B.∞ ;
C.不存在；
D.0
39．下列函数为偶函数的是( )
A.x x y 2
3
sin = B. x x y 5
cos = C. x x y 5
cos sin = D. x
x
y -+=2
2
40．下列各对函数不相等的是( ).
A.55
--=x x y 与⎩⎨⎧<->=5
151x x y B. 24
2--=x x y 与2+=x y
C. 2
42--=x x y 与2+=x y )2(≠x D. x x y 2
2cos sin +=与1=y
41．函数)(x f 在点0x 处有定义是函数)(x f 在点0x 处极限存在的( )条件 A.充分 B.必要 C.充要 D.无关 42．极限：x
x x 11lim
-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2
1； D.2 43.函数ln(2)x -的定义域（ ）。

A （0，2）
B （2，+∞）
C （-2，0）
D （-∞，2） 44．当x →∞时，sin ()x
f x x
=
是（ ）。

A 无界 B 无极限 C 极限为1 D 无穷小量 45．x
x 1
sin
lim 0→ ( )
A. 0=
B. 1=
C. 1-=
D.不存在但函数有界
46．{
()f x =12x e x k
-+
x x ≥ 在0x =连续，则k =（ ）。

A 0 B 1 C 2 D 3
47．已知函数1
1
)(2--=x x x f 和1)(+=x x g ( )
A. )(x f 与)(x g 为同一个函数
B. )(x f 在1=x 处无定义，)(lim 1
x f x →∴不存在
C. )(x f 与)(x g 函数不同，但1→x 时的极限值相同
D. )(x f 与)(x g 都无间断点
48．已知极限22
lim()0x x ax x
→∞++=，则常数a 等于（）。

A -1
B 0
C 1
D 2 49．已知4
1
32lim
23
=
--+→x x a x x ，则常数=a ( ) A.3 B.3- C.1 D.1- 50．已知41
21
lim
=+-∞→x ax x ，则常数=a ( )
A.2
B.4
C.6
D. 8
三、计算题
1.2
2
011lim x x x --→
2．设sin 1cos 2x f x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ 求()f x
3．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()
1
211
x g x x -+=
-，求()()f g x
4．判别()f
x (
ln x =的奇偶性。

5
．
1
x →
6. x
x x
)31(lim -∞→
7.
x x x
2)11(lim -∞→ ８. 求 2
21lim n n n ++++∞→
９. 3
1
lim
3+→x x
10. 9
3
lim 23--→x x x
11. x
x x 1
1lim
--→ 12. 求当x →∞时，下列函数的极限11
2323+-+-=x x x x y
13. 求当x →∞时，下列函数的极限1
1
232+-+-=x x x x y
14. x x
x 3sin lim
0→
15. 20cos 1lim x
x
x -→ 16. 3
11lim -∞
→⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+n n n
17. x
x x x n ---→3211
2lim 18. )1
2
11(
lim 21
---→x x n 19. x
x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞
→11lim
20. 试确定常数a ，使得函数21sin
0()0
x x f x x
a x
x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩ 在(,)-∞+∞内连续。