erlang b公式的理解

Erlang B 公式的理解
拟制覃亮学日期2005-7-22 审核日期
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目录
1 对Erlang B公式的理解 (4)
附录A Erlang B公式的推导 (6)
图目录
图A-1 系统状态转移图 (8)
表目录
表A-1 各种方式发生的概率 (7)
1 对Erlang B 公式的理解
问; 用Erlang B 计算出的话务量，它的具体含义是什么？为什么提供35个信道，有时却可以提供超过35个Erlang 的话务量。

答：首先，应用Erlang B 表计算话务量是有前提条件的，它基于一下两个假设： 1 用户数远远大于提供的信道数，相对于信道数来说，可以认为用户数是无穷大。

2 用户如果被阻塞后不重新发起呼叫。

基于这两点假设，可以认为：用户的呼叫到达服从泊松分布，在某一时刻同时有k 个用户通话的概率为：
∑==
N
i i
k k i k p 0
!
/)/(!
/)/(μλμλ
其中λ为单位时间内平均到达的呼叫次数，T /1=μ，T 为呼叫平均持续时长（注：有的书把μ叫做平均离开率，个人认为是不太确切的说法，因为平均离开率和平均到达率只相差被阻塞的那部分用户，而实际计算时阻塞率很小，平均离开率和平均到达率的比值应该接近于1；所以还是应该直接理解为平均持续时长的倒数为好）；N 为提供的信道数。

当所有的信道都被占用的时候，认为系统阻塞，而所有的信道都被占用的概率为：
∑==
=N
i i
N N i N p B 0
!
/)/(!
/)/(μλμλ
上式就是Erlang B 公式，T A λμλ==/ 即为我们所求的，它表示平均的话务量（注：此处实际是话物流量，在不引起误会的情况，所说的话务量即为话务流量），需要注意的是：在这里λ是平均到达率，它没有区分到达的用户是被服务还是被拒绝，所以Erlang B 公式计算出来的话务量μλ/=A 即包括两部分：被服务的用户呼叫的话务量（实际的话务量）和被阻塞的用户呼叫的话务量。

而被阻塞的用户是不产生实际的话务量的，在这里事先已经求出了每次用户呼叫的平均持续时长T ，即每次用户呼叫的平均话务量已经求出来了，再把被阻塞的用户呼叫折算成话务量。

正是因为把被阻塞的用户呼叫折算成了话务量，当阻塞率比较大时，话务量就有可能大于提供的信道数。

实际的话务量（被服务的用户呼叫产生的话务量）可以用下式计算：
)1(!
!!!}{010000
B A i A k A A i A k A k kp k E A N i i N k k
N i i N
k k N
k k -====='∑∑∑∑∑=-==== A '为N 条信道实际提供的话务量，它永远不可能大于信道数N 。

而被阻塞的用户呼叫折算的话务量
是：AB 。

我们可以把A 叫做有需求的话务量。

问：根据话务量的定义，话务量是单位时间内通话次数和通话时长的乘积，既然用户被阻塞了，那他的通话时长为0，即使算上被阻塞的用户的话务量，它也不可能大于信道数啊？
答：在我们算话务量的时候，已经先对单位时间内到达的用户呼叫数和每次呼叫的时长求了平均，即每次用户呼叫的平均话务量已经求出来了，所以即使用户呼叫被阻塞了，根据阻塞的用户呼叫次数也可以折算出话务量的，所以才说用Erlang B 公式算出来的是有需求的话务量，也可以说是应该被服务的话务量。

打个比方：某投资商想在S 市建个酒店，他想预算他的潜在收益是多少时，他是跟据S 市平均每人每次的消费额和客流量（想来吃饭的人数）来计算，没有区分日后某时由于酒店客满导致顾客流失而损失的收益。

问：在2％阻塞率下35个信道数提供26.4个Erlang 的话务量，即只有26.4个用户能同时打电话，既然只能让26.4个用户通话，比信道数还少，怎么还会有2％的阻塞？
答：使用Erlang B 公式计算有一个前提，即用户数远远大于提供的信道数，既然用户数大于信道数，就会有碰撞的可能，也就会有阻塞发生。

在某一时间段信道全被占满，而在另一时间段信道部分或全部空闲，26.4个Erlang 话务量是个统计的平均值。

并不代表只有26.4个用户在打电话。

问：话务量A 是用户呼叫平均到达率和用户呼叫平均持续时长的乘积，它跟提供的信道数并没有什么关系啊，而且在用Erlang B 公式时并不需要知道户呼叫平均到达率和用户呼叫平均持续时长啊，话务量和信道数之间到底是什么关系？
答：可以说话务量和提供的信道数之间没有什么关系。

只不过是阻塞率与话务量和提供的信道数都有关系。

附录A Erlang B 公式的推导
首先，作如下两点假设：
1. 用户数远远大于提供的信道数，即在单位时间内平均到达答用户呼叫次数与当前正在通话
的用户数无关。

2. 用户呼叫被阻塞之后不重新发起呼叫。

基于以上两点假设，语音业务用户呼叫到达服从泊松分布，设在单位时间内平均用户呼叫次数为λ，则在t ∆时间内有k 个用户呼叫到达的概率为：
λΔt
e
k!
k t)(λk P -∆= 每一次通话的持续时间服从指数分布，平均持续时长为T 秒，设1/T =μ，所以其离开的分布也是泊松分布，在t ∆时间内有k 个用户离开的概率为：
Δt
e
k!
k )(k P μμ-∆=t 当t ∆足够小时，认为有两个或是两个以上的用户到达（离开）的概率为零。

即有两个或两个以上用户同时到达（离开）是不可能事件。

定义以下参数：
n λ：系统状态为n 时，用户进入系统的平均速度。

n μ：系统状态为n 时，用户离开系统的平均速度。

)(t p n ：:t 时刻，系统内有n 个用户的概率。

当
t ∆极小时，在（t ，t t ∆+）时间内有一个用户到达的概率为：t λn ∆，没有用户到达的概率为：
t λ1n ∆-。

同理，在（t ，t t ∆+）时间内有一个用户离开的概率为：t ∆n μ
没有用户离开的概率为：t 1∆-n μ。

在（t ，t+t ∆）内发生的事及其概率如下表所示：
表 A-1 各种方式发生的概率
方式 t 时刻状态 概率
（t ，t+t ∆）内发生
的事 发生的概率
t+t ∆时刻状态 1
n
)(n P t
无到达 无离去 （t 1∆-n λ）*（t 1∆-n μ） n
2 n+1 )(1
n P t + 无到达 离去一个 （t 11∆-+n λ）*t 1∆+n μ
n
3 n-1
)(1-Pn t
到达一个 无离去 t 1∆-n λ*(t 11∆--n μ)
n
4 n
)(n
P t 到达一个 离去一个
t ∆n λ*t ∆n μ
n
方式1，2，3，4是互不相容且完备的，所以有：
t
t )(t t)1)((t)1t()(t)1t)(1)(()(111111∆∆+∆∆-+∆-∆+∆-∆-=∆++++---n n n n n n n n n n n n n t p t p t p t p t t p μλμλμλμλ
1
1n 11-n n n n 0t n (t)P (t)P )(t)(P t (t)/P -t)(t (P lim (t)/dt dp ++-→∆+++-=∆∆+=n n n n μλμλ
（注：上式中忽略了2
t)(∆项）
当n=0时，只有方式1和3，4发生，且方式1中无离去的概率为1，则，
00110(t)P (t)P (t)/dt dp λμ+-=
假设系统稳定，(t)p n 与具体的时刻t 无关，所以0(t)/dt dp n =，有：
0(t)P (t)P 0011=+-λμ
0(t)P (t)P )(t)(P 11n 11-n n =+++-++-n n n n μλμλ
由上式，可以得出：
1100P P μλ= 1001/P P μλ= 0P P )(P 2200111=+++-μλμλ
0P P )(P 2211111=+++-⇒μμμλ )/(P /P P 211002112μμλλμλ==⇒
)/(P /P P 1
10
011-n n ∏∏=-=-==⇒n
j j n i i n n μλμλ
又知
1=∑n
p
， 所以有：
1/(P ...)/(P /P P 1
1
021*******=++++∏∏=-=n
j j n i i μλμμλλμλ
当提供N 个信道时，有如下状态转移图：
图 A-1 系统状态转移图
根据上面的状态转移图，稳态时概率应当满足如下关系式：
)/(P P 1-n n μλn =
于是有：
0n
n P )(!1P μ
λn =
又知
1=∑n
p
， 所以有：
∑==N
n n 0
0n
1P )
(!1μλ
∑
==N
n n 01-n 0])(!1[P μ
λ ∑==N k k n 0k n n )(!1)(!1P μ
λμλ
推导完毕。

N
2
C
λ λ λ λ μ
2μ
N μ
（N －1）μ
0 1
2 N-1 N。