四川省成都市龙泉驿区第一中学校2016-2017学年高二数学12月月考试题 文

成都龙泉中学高2015级高二12月月考试题
数学（文史类）
（时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设实数,x y 满足不等式组
250
24030x y x y x y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≥⎩
，则x y +的最小值是( )．
A ．3
B ．3-
C ．73
D ．7
3-
2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2
＝ac ，且c ＝2a ，则cos
B ＝( )
A.14
B.34
C.24
D.23
3. 双曲线mx 2﹣y 2=1（m ＞0）的右顶点为A ，若该双曲线右支上存在两点B ，C 使得△ABC 为等腰直角三角形，则实数m 的值可能为（ A
） A ． B ．1 C ．2 D ．3
4.下列说法正确的是（ ）
A. 若“
4π
=
x ，则1tan =x ”的逆命题为真命题
B. 在ABC ∆中，sin sin A B >的充要条件是A B >
C. 函数
4
()sin ,(0,)sin f x x x x π=+
∈的最小值为4
D. R x ∈∃，使得
53
cos sin =
⋅x x
5.已知实数x ，y 满足2003x y x y x +-≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥-⎩
，则z=|x+4y|的最大值为（ ）
A ．9
B ．17
C ． 5
D ．15
6.在ABC △中，若
2sin cos cos 2
C
B A =⋅，则AB
C △的形状是（ ）
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.锐角三角形 7．在△ABC 中，A ＝135°，C ＝30°，c ＝20，则边a 的长为( )
A ．10 2
B ．20 2
C ．20 6 D.206
3
8.已知不等式
)0(02≠>++a c bx ax 的解集为}{n x m x <<，且0>m ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）
A. )1,1(m n
B. )1,1(n m
C. 11(,)(,)n m -∞⋃+∞
D. 11
(,)(,)
m n -∞⋃+∞
9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ≤2，y ≤3，x ＋y ≥1，
则S ＝2x ＋y +1的最大值为( )
A ．8
B ．4
C ．3
D ．2
10.已知数列}{n a 满足13,2111+==+n n a a a ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，则=2016S （ ）
A.2201632015-
B. 2201632016-
C. 2201732015-
D. 22017
32016- 11.若点O 和点F 分别为椭圆1
342
2=+y x 的中心和左焦点，点P 在椭圆上，则∙的
最大值为（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
12.已知点F 1、F 2是双曲线C ：22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，O 为坐标原点，
点P 在双曲线C 的右支上，且满足|F 1F 2|=2|OP|，|PF 1|≥3|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．（1，+∞）
B ．（
1，
] C ．[
，+∞）
D ．（1，]
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置. 13．已知0＜x ＜6，则(6－x )·x 的最大值是________．
14. 单调递增数列数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，则实数b 的取值范围为 ．
15.已知1F ，2F 是椭圆22
1
169x y +=的两焦点，P 是椭圆第一象限的点．若︒=∠6021PF F ，
则P 的坐标为________． 16.下列关于圆锥曲线的命题： ①设B A ,为两个定点，P 为动点，若8
=+PB PA ,则动点P 的轨迹为椭圆； ②设B A ,为两个定点，P 为动点，若PB
PA -=10,且
8
=AB ，则
PA
的最大值为9；
③设B A ,为两个定点，P 为动点，若
6
=-PB PA ,则动点P 的轨迹为双曲线；
④双曲线1101622=-y x 与椭圆14302
2=+y x 有相同的焦点.
其中真命题的序号是 .
13. 9 14、 （﹣3，+∞） 15、⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛7213,778 16、②④ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）已知命题P ：关于x 的不等式0422
>++ax x 的解集为R ，命题Q ：
函数x
a x f )25()(-=为增函数.若Q P ∨为真，Q P ∧为假，求a 的取值范围.
18. （本小题满分12分）
如图，在△ABC 中，∠B ＝6π
，AB ＝83，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝1
7
.
求BD ，AC 的长．
19.(本小题满分12分)已知函数
2
2sin
22cos 2sin 2)(x
x x x f -=． (Ⅰ) 求)(x f 的最小正周期；
(Ⅱ) 求)(x f 在区间[]0,π-上的最小值．
20.(本小题满分12分)
设a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n ，b n ＋1＝2b n ＋2. (1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列(要指出首项与公比)； (2)求数列{a n }的通项公式．
21.（本题满分12分）21,F F 是椭圆1
422
1=+y x C ：与双曲线2C 的公共焦点，
B A ,分别是1
C ，2C 在第二，四象限的公共点，若四边形21BF AF 为矩形.
(1)求双曲线2C 的标准方程； (2)求2
1AF F S ∆；
22.（本题满分12分）已知：椭圆)0(1:22
22>>=+b a b y a x E 的半焦距为c ，原点O 到经过两点),0(),0,(b c 的直线的距离为2c
.
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)如图，AB 是圆25
)1()2(:22=
-++y x M 的一条直径.若椭圆E 经过B A ,两点，求椭
圆E 的方程.
成都龙泉中学高2015级高二12月月考试题
数学（文史类）参考答案
1—5 CBBBA 6—10 ABCAD 11—12 AB
17、（本小题满分10分）
依题可得：由,0422>++ax x 的解集为R .得01642<-=∆a ，
即P 为真时，实数x 的取值范围是22<<-a ；……………………（2分）
由x
a x f )25()(-=为增函数，得2<a ，
即Q 为真时，实数a 的取值范围是2<a ；……（4分）
Q P ∨ 为真，Q P ∧为假，则P 、Q 一真一假.…………………（5分）
当P 真Q 假时，a 无解.…………………………………………（7分） 当P 假Q 真时，2-≤a .…………………………………………（9分） 所以实数a 的取值范围是2-≤a ……………………（10分）
18.解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437. 2分
所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B 4分
＝437
×23－17
×21＝1411
.
6分
(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD
sin ∠ADB
＝
117341411
38=⨯
. 9分
在△ABC 中，由余弦定理得
AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝
()4923
1338213
382
2
=⨯
⨯⨯-+.
.所以AC ＝7 12分
19
、解：
2
1cos ()cos 22222sin 22242x x x x f x x x x x π-⎫
==-⎪
⎭⎛
⎫=
+-=+- ⎪⎝
⎭
(Ⅰ)
π
ω
π
22==
T ）x f (∴最小正周期为π2
(Ⅱ)[]⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--∈-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+
-∈0,221224sin )(22,14sin ,4,434,0,πππππ
πx x f x x x
故()x f 最小值为
221-
- 20、解：(1)证明：由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，1来所以
b n ＋1＋2
b n ＋2
＝2. 又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4，所以数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)解：由(1)知b n ＋2＝4·2n －1
，
则b n ＝2
n ＋1
－2，
所以a n －a n －1＝2n
－2，a n －1－a n －2＝ 2
n －1
－2，…，a 3－a 2＝23－2，a 2－a 1＝22
－2，
叠加得a n －2＝(22
＋23
＋ (2)
)－2(n －1)，
所以a n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－2n ＋2＝2（2n
－1）2－1－2n ＋2＝2n ＋1
－2n .
21、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵1
422
=+y x ∴1211==b a ， ∴3=c ………………………………（1分）
22,22)32(4
21122222121+=-=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧>=+=+AF AF AF AF AF AF AF AF 解得：…………（5分） ∴1222==b a ， ∴1
222
=-y x …………………………（8分） （Ⅱ）
1)22)(22(21
212121=+-==
∆AF AF S AF F ……………………………（12分） 22、
（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设过点),0(),0,(b c 的直线0:=-+bc cy bx l …………………………（1分）
21
22
2=⇒==
+=
-a b c a bc c b bc
d l o …………………………（2分） 43)21(112222
=-=-=∴a c e ，23=
=∴a c e ……………………（4分） (Ⅱ)法一：由（1）可设椭圆2
2
2
44:b y x E =+…①……………………………（5分） 圆心
10
),1,2(=-AB M ……………………………（6分）
设直线)2(1:+=-x k y AB …②……………………………（7分）
联立①，②得：
04)12(4)12(8)41(2
222=-+++++b k x k k x k ……………（9分） 设),(),,(2211y x B y x A ，则22141)
12(8k k k x x ++=+，2221414)12(4k b k x x +-+=
421-=+x x ，解得21=
k ……………………（10分）
又2
2128b x x -=，)2(10)21(12212
-=-+=b x x AB
32=∴b ……………………………（11分）
即椭圆1312:22=+y x E ……………………………（12分）
法二：由（1）可设椭圆2
2244:b y x E =+……………………………（5分）
设),(),,(2211y x B y x A ，依题意得2212144b y x =+…① 2
222244b y x =+…②
①-②得
12121212()()4()()0
x x x x y y y y +-++-=……………………（7分）
AB 中点坐标(2,1)M -，直线AB 方程1
1(2)
2y x -=+……………………（8分）
联立2211(2)25(2)(1)2y x x y ⎧
-=+⎪⎪⎨
⎪++-=⎪⎩
解得(2(2A B --………（10分）
代入椭圆方程E 得2
3b =…………………………………（11分）
即椭圆1312:22=+y x E ……………………………（12分）。