2.第一节 映射与函数

2
三、初等函数
（1）幂函数
（2）指数函数
y x
(是常数)
ya
x
(a 0, a 1)
y ex
（3）对数函数
y loga x (a 0, x , y cos x , y tan x tgx
cos x 1 y cot x ctgx sin x tan x
1 sin x sin y [cos( x y ) cos( x y )] 2
（5）反三角函数 定义域：[-1,1] 值域：[ , ]
2 2
1.5 1
y arcsin x （反正弦函数）
y
y=arcsinx
0.5
0
单增函数， 奇函数。
o
x
-0.5
-1
-1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
1 arcsin ； 若 sin x 2 ， 则 x arcsin 2 2k 如： 2 6 3 3 2 2 k x arcsin 2 3
y arccos x
定义域：[-1,1]
值域： [0, ] 单减函数
（反余弦函数）
3
y
y=arccosx
2.5
2
反双曲正切 y=arthx
y arth x
1 1 x ln . 2 1 x
D : ( 1,1)
奇函数, 在(-1,1)内单调增加。
x y arth
称 a为邻域中心，δ为邻域半径。


a
。
a
a
x
点 a的去心邻域，记作：
U (a , ) { x 0 x a }.
二、函数 （高中)函数定义：设 X 是两个非空数集，若存在一个 法则 f ，使对 X中任意一个数 x ，按法则 f ，都有唯一 确定的数 y 与之对应， 则对应关系 f 称为集合 X上的函数， 记作： y =f(x)， x∈X 函数：数集与数集之间的对应关系。 问题：两个一般的集合之间是否也可以建立对应关系？ 这种关系称之为什么？
第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、集合
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 集合表示： A {a1 , a2 ,, an } M = {x| x所具的特征}
2.邻域: 设 a与δ 是两个实数，且δ >0，
U (a , ) 数集{ x x a } 称为点 a的δ邻域， 记为：
2.函数的几种特性
（1）函数的有界性: 定义：设函数 f(x) 的定义域为D， 若X D,
M 0, x X , 有 f ( x ) M 成立,
则称函数 f(x) 在X上有界，否则称无界。
若 x)) B A 成立, 若A B,, x X , 有 ff ((x
有下界。 则称函数 f(x) 在X上有上界。 函数 f(x) 在X上有界的充要条件是： f(x) 在X 上既有上界又有下界.
2
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -15
y
y
3x 1 x2 4
x
o
-10
-5
0
5
10
15
（2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 x sin( x 1) 练习：1.证明 y 是有界函数 2 x 4
2 sin x 2.证明 f ( x ) ln 是奇函数 2 sin x
2
2 cos 2 x cos x sin x 2 cos x 1 1 2 sin x
两角和的公式: sin( x y ) sin x cos y cos x sin y
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y
积化和差公式: 1 sin x cos y [sin( x y ) sin( x y )] 2 1 cos x cos y [cos( x y ) cos( x y )] 2
3x 1 有界 例2 证明 y 2 x 4 3| x | 1 3 x 1 | 3 x 1 | 3 | x | 1 证 | 2 2 2 | 2 2 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4
3( x 1) 1 2 2( x 4) 4 7 3 1 4 2 4 3x 1 y 2 有界 x 4
y 1 o -1
x
| x | x sgn x
(2) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过
-4 -3 -2 -1
y 4 3 2 1 o
x 的最大整数
(3) 狄利克雷函数
x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 阶梯曲线 -4
1, x为有理数 y D( x ) 0, x为无理数
1 y sec x cos x
1 y csc x sin x
1 tan 2 x sec2 x ,
常用公式：平方公式、倍角公式、半角公式、
sin2 x cos 2 x 1,
1 cot 2 x csc x ,
2 2
2
sin 2 x 2 sin x cos x,
例3 证明：定义在 ( , )上的任意函数，都可以 表示为一个奇函数与一个偶函数之和。 证 设函数 f ( x ), x ( , ) 1 1 记 ( x ) [ f ( x ) f ( x )], ( x ) [ f ( x ) f ( x )] 2 2 1 ( x ) [ f ( x ) f ( x )] ( x ) 奇函数 2 1 ( x ) [ f ( x ) f ( x )] ( x ) 偶函数 2 f ( x ) ( x ) ( x )
x x0 x x0
x x0
注：函数的极限有与数列极限类似的四则运算法则。
例2 计算下列函数的极限
x 2 (1) lim x2 x 1
2
x x2 ( 2) lim x 1 x 1
2

lim( x 2)
x2
2
lim( x 1)
x2 2 x2
( x 1)( x 2) lim x 1 x 1
lim x lim 2 lim x lim 1
x2 x2 x2
lim( x 2) 3
x 1
2 3
练习： 1 .判断 f ( x ) ln( x x 1)的奇偶性。 2. 计算极限 lim
x 1 x2
3 x 1 x 2
2
4. 反函数与复合函数 （1）反函数
定义：设函数 y = f(x) x∈X, 若对 y f ( X ), 存在唯一的 x∈X, 使 y = f(x)成立， 则在 f(X)中
定义了一个函数 x f 1 ( y ) 称为 y = f(x)的反函数.
1 x 例4 求 y (e e x ) 的反函数 2 x 2x 2x x x x 2 ye e 1 , e 2 ye 1 0 解 2y e e ,
2 x 2 2 y 4 y 4 x e y y 1 e 2 x ln( y y 2 1) 反函数 y ln( x x 2 1)
1 x x 记 shx (e e ) 称为双曲正弦函数， 2
记 arshx ln( x x 2 1) 称为反双曲正弦函数，
定义1：设 X、Y 是两个非空集合，若存在一个 法则 f ，使对 X中每个元素 x ，按法则 f ， 在Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应， 则称 f 为从 X到Y 的映射，记作 f ： X → Y 记: Df = X , Rf =f(X)={ f(x) | x∈X } 其中y称为元素x在影射f 下的像， Df称为f 的定 义域，称Rf为f 的值域。 构成影射的要素： （1）定义域 （2）集合Y，即值域的范围 （3）对应法则f ，（具有对应的唯一性）
奇偶性？单调性？ 奇偶性？
双曲函数常用公式
ch2 x sh2 x 1;
shx 双曲正切：thx 奇偶性？ 是否有界函数？ chx
2 1.5 1 0.5
y
y thx
0 -0.5 -1 -1.5 -2 -3 -2 -1
o
x
0
1
2
3
（2）反双曲函数
反双曲正弦 y=arshx ln( x x 2 1). 奇偶性？单调性？
（2）复合函数
定义:设函数y = f(u)的定义域为U，函数u = g(x)
的定义域为D ，若存在 X D,且 g( X ) U ,
则称函数y = f (g(x))为由函数y = f(u)和u = g(x)
构成的复合函数
如：y =lnu , u=1- x2 则复合函数 y=ln(1- x2) , 定义域(-1,1)
3. 函数极限的初步认识 2 x x2 函数： f ( x ) x 1 考虑当x无限接近于1时，f(x)的函数值？ 定义：对函数y=f(x)，若存在常数A ， 当x无限接近于x0时， f(x)的函数值无限接近于A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限, 或称A为f(x)在x0点的极限，记作 lim f ( x ) A 如： lim C C , lim x x0
则称 f 为单射。
(3)若 f 既为单射又为满射，称 f 为一一映射（双射）。
1.函数
定义3 设数集 D , 则称映射 f : D→R 为定义在 D 上的函数， 记作 y= f(x)，x∈D 如(1) y=x+5 (2) x=y+5 对应法则： □=△+5
几个特殊的函数举例