邱关源《电路》第九章正弦稳态电路的分析1
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第九章 正弦稳态电路的分析
BUCT
9. 1 阻抗和导纳 9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联 9. 3 电路的相量图 9. 4 正弦稳态电路的分析 9. 5 正弦稳态电路的功率 9. 6 电路的谐振
1
9. 3 电路的相量图
一、RL、RC串联电路
IR
+
U _
+
_ UR +
jL
U_L
P188
U
j
0
8—11 BUCT
1, 纯电阻 0， 纯电抗
X<0, j < 0 , 容性负载， 超前功率因数
例：cos j = 0.5 (滞后)，则j =60o(电压领先电流60o)。
一般用户： 异步电机 空载 cosj =0.2~0.3 满载 cos j =0.7~0.85
日光灯
cosj =0.45~0.6
17
功率因数的提高
k
1
Qk
0
14
* 复功率守恒, 不等于视在功率守恒.
BUCT
I
+
U_
+ U 1 _
+
U_ 2
S UI* (U1 U 2 )I * U1I * U 2I* S1 S2
b
一般情况下： S Sk k 1
例：
S S2 Q2 S1 P2
Q1 P1
R2 UR2 I 33.9 1.73 19.6W
L UL2 I 72.45 1.73 41.88W
L2 41.88 314 0.133H
12
复功率
BUCT
为了用相量U和I来计算功率，引入“复功率”
I
+
U_
负 载
U UΨu , I IΨi P UIcos(Ψu Ψi ) UIRe[e j(u i ) ]
有功功率表的接线说明
例子
*
A1
V1 RL
BUCT
10
例1.
三表法测线圈参数。
已 知 f=50Hz ， 且 测 得 BUCT
I A
+
U V
_
* *W
Z
U=50V，I=1A，P=30W。
R 解： P I 2R
P 30
L
R I 2 12 30Ω
| Z | U 50 50Ω I1
BUCT
设备额定容量SN向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角决定。
cosj = P/S
SN
负载 cosj = 1, P =S=75kW
75kVA
cosj = 0.7, P=0.7S=52.5kW
功率因数低带来的问题：
S
j2
Q2
(1) 设备不能充分利用，效率低； P2
S
j1
Q1
P1
(2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流大 I=P/(Ucosj )，线路压降损耗大。
S1吸
U
2Y1*
2362 ( 10
1
j
25
)*
768
j1920
VA
S2吸 U 2Y2* 1113 j3345 VA
16
功率因数（cosj ） P UI cos φ
一般地 , 有 0≤cosj≤ 1
cos j
X>0, j> 0 , 感性负载， 滞后功率因数
BUCT
UL I=IL=IR
UR
IR
+
U _
+
_ UR +
U_C
1/jC
0j
UR
I=IC=IR
U UC
2
二、RL、RC并联电路 P188 8—12 BUCT 并联电路两端电压相等，以电压为参考相量，画支
路电流相量图（与RL、RC串联电路为对偶电路）。
三、混联电路
jL
.
IR
+
.
.
IL
US
-
.
IC
1/jC
BUCT
S
UI*
U (UY
)*
UU*Y*
U 2Y *
复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收 的复功率之和为零。即
b
Sk 0
k 1
b
(Pk jQk ) 0
k 1
b *
UkIk 0
k 1
b
k 1 b
Pk
0
为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不
IR
仅与电压电流有效值有关，而且与 cosj 有关，
IC
1/jC
这是交流和直流的很大区别。
R1
Q=U I sin j
Ii 2 X i I 2 X L I 2 XC
8
视在功率 (apparent power) S
def
S UI 单位 : VA (伏安)
有功功率
P
RLI 2
( Ri
RLU
2 S
RL )2 ( X i
XL )2
21
有功功率
P
RLI 2
( Ri
RLUS2 RL )2 ( Xi
XL )2
BUCT
(a) 先讨论XL改变时，P 的最大值 显然，当Xi + XL=0，即XL =-Xi时， P获得最大值
P
RLU
2 S
(Ri RL )2
(b) 再讨论RL改变时，P 的最大值 当RL= Ri时，P 获得最大值
Pmax
U
2 S
4Ri
综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
ZL= Zi*，即
RL= Ri XL =-Xi
此结果可由P分别对XL、RL求偏导数得到。
22
BUCT
作业
习题：9-4、16 、22
23
| Z | R2 (L)2
L 1 | Z |2 R2 1 502 302 40 0.127H
314
314
11
例2.
I
R1
+
+ _ U 1 R2
U
_
L2
已知：U=115V , U1=55.4V , U2=80V , BUCT R1=32W , f=50Hz
+ 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。
buct视在功率apparentpowerdef伏安单位ui功率三角形阻抗三角形电压三角形buct10电流线圈电压线圈v1a1例子自动075a3a15a125v500v250v有功功率表的接线说明buct11314403050buct1211542376418064sin80sin64cos80cos19733148841884173buct13复功率功率来计算功率引入复单位为复功率buct14也可以表示为以下式子复功率复功率守恒定理
U2
解：画相量图进行定性分析。
_
U2
U12
U
2 2
2U1U2
cos j
U
qj
q2 U 2
U L2
cos j 0.4237 j 115.1 q2 180 j 64.9 I U1 / R1 55.4 / 32 1.73A
U1
I U R2
UL2 U2 sinq2 80sin64.9 72.45V UR2 U2 cos q2 80cos 64.9 33.9V
,
I
U
P
cosj2
代入得
QC
IC
P U
(tgj1
tgj2 )
C
P
U
2
(tgj1
tgj2 )
IC
U XC
CU
ICU CU 2 P(tgj1 tgφ2 )
j1
j2
I
U
补偿容 欠补偿
IC
IL
量不同 全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)
过——使功率因数又由高变低(性质不同)
.
UL
R5
.
IC 3
0
.
4 IL .
U
6
S
.
2I R
.
.
1 UR UC
3
BUCT
练习：P188 8—13
4
9. 4 正弦稳态电路的分析
BUCT
P198 例题
5
9. 5 正弦稳态电路的功率 BUCT
i
二
u(t ) 2U cos(t u )
u
端 网
络
U
j =0°
U
i(t)
BUCT
u
端
感性负载
网 络
有功分 量
•
Ip • U
无功分
j
容性电路
•
Iq
•
I
量
•
Iq
•
I
j
•
Ip
•
U
P =UIcos j
0 j < 90°
-90° j < 0
Q为正
Q为负
7
i u
I R2 +
US
-
二
P =UIcos j
BUCT
端 网 络
Ii 2 Ri Leabharlann U2 iRi
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称
反映电气设备（如：发电机、变压器等）的容量。
BUCT
功率、电压、阻抗三角形
S
•
U
•
Q
Z
j
UX X
阻抗三角形 R
•
UR
电压三角形
P
功率三角形
S = P2 + Q2
+
U
R
_
º+ R +
U_
U_X
jX
º
9
交流电路功率的测量
i
*
W
*
+ u
Z
i1
-
i2 电压线圈
R 电流线圈
W1
A1
V1
*
* * 0.75A 3A 125V 500V 1.5A自动 250V U V W N
Re(Ue ju Ieji )
U
I* P Re[U I*]
记 S UI* 为复功率, 单位 VA
则 S UI(Ψu Ψ i ) UIφ Sφ UIcosφ jUIsinφ
P jQ
13
复功率 S 也可以表示为以下式子 : S UI* ZI I* ZI 2
综合考虑，提高到适当值为宜( 0.9 左右)。
20
最大功率传输
BUCT
讨论正弦. 电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。
I
Zi
Zi= Ri + jXi， ZL= RL + jXL
.
+
.
US
-
ZL
.
I
US
, I
US
Zi ZL
(Ri RL )2 ( Xi XL )2
ZL= RL + jXL可任意改变
18
提高cosj的原则：1、不改变负载的工作条件；2、不增加损耗B。UCT
常用的方法：并联电容，提高功率因数 (改进自身设备)。
分析:
I
+R
U _
L
IC
IL
C
j1 j2
U
I
IC
IL
19
补偿容量的确定：
IC IL sinj1 I sinj2
BUCT
将
IL
U
P
cos j1
15
例. 已知如图，求各支路的复功率。
IS
I2
10∠0o A
+ I1
U
10W
5W
_
j25W -j15W
BUCT
解：U IS Z 100o [(10 j25) //(5 j15)]
236(37.1o ) V
S发 IS U 236(37.1o )100o 1882 j1424 VA
2I cos(t i )
Z
U
| Z
| (u
i )
Z
j
I
j =90°
I
I C j = -90°
U
I
0
P UI Q=0
0
U jL I
P=0
Q =UI=XLI2
=
U2 XL
0
U
1
I
jC
P =0
Q =UI=XCI2 =
U2 XC
6
i
二
Q=U I sin j
BUCT
9. 1 阻抗和导纳 9. 2 阻抗（导纳）的串联和并联 9. 3 电路的相量图 9. 4 正弦稳态电路的分析 9. 5 正弦稳态电路的功率 9. 6 电路的谐振
1
9. 3 电路的相量图
一、RL、RC串联电路
IR
+
U _
+
_ UR +
jL
U_L
P188
U
j
0
8—11 BUCT
1, 纯电阻 0， 纯电抗
X<0, j < 0 , 容性负载， 超前功率因数
例：cos j = 0.5 (滞后)，则j =60o(电压领先电流60o)。
一般用户： 异步电机 空载 cosj =0.2~0.3 满载 cos j =0.7~0.85
日光灯
cosj =0.45~0.6
17
功率因数的提高
k
1
Qk
0
14
* 复功率守恒, 不等于视在功率守恒.
BUCT
I
+
U_
+ U 1 _
+
U_ 2
S UI* (U1 U 2 )I * U1I * U 2I* S1 S2
b
一般情况下： S Sk k 1
例：
S S2 Q2 S1 P2
Q1 P1
R2 UR2 I 33.9 1.73 19.6W
L UL2 I 72.45 1.73 41.88W
L2 41.88 314 0.133H
12
复功率
BUCT
为了用相量U和I来计算功率，引入“复功率”
I
+
U_
负 载
U UΨu , I IΨi P UIcos(Ψu Ψi ) UIRe[e j(u i ) ]
有功功率表的接线说明
例子
*
A1
V1 RL
BUCT
10
例1.
三表法测线圈参数。
已 知 f=50Hz ， 且 测 得 BUCT
I A
+
U V
_
* *W
Z
U=50V，I=1A，P=30W。
R 解： P I 2R
P 30
L
R I 2 12 30Ω
| Z | U 50 50Ω I1
BUCT
设备额定容量SN向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角决定。
cosj = P/S
SN
负载 cosj = 1, P =S=75kW
75kVA
cosj = 0.7, P=0.7S=52.5kW
功率因数低带来的问题：
S
j2
Q2
(1) 设备不能充分利用，效率低； P2
S
j1
Q1
P1
(2) 当输出相同的有功功率时，线路上电流大 I=P/(Ucosj )，线路压降损耗大。
S1吸
U
2Y1*
2362 ( 10
1
j
25
)*
768
j1920
VA
S2吸 U 2Y2* 1113 j3345 VA
16
功率因数（cosj ） P UI cos φ
一般地 , 有 0≤cosj≤ 1
cos j
X>0, j> 0 , 感性负载， 滞后功率因数
BUCT
UL I=IL=IR
UR
IR
+
U _
+
_ UR +
U_C
1/jC
0j
UR
I=IC=IR
U UC
2
二、RL、RC并联电路 P188 8—12 BUCT 并联电路两端电压相等，以电压为参考相量，画支
路电流相量图（与RL、RC串联电路为对偶电路）。
三、混联电路
jL
.
IR
+
.
.
IL
US
-
.
IC
1/jC
BUCT
S
UI*
U (UY
)*
UU*Y*
U 2Y *
复功率守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收 的复功率之和为零。即
b
Sk 0
k 1
b
(Pk jQk ) 0
k 1
b *
UkIk 0
k 1
b
k 1 b
Pk
0
为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不
IR
仅与电压电流有效值有关，而且与 cosj 有关，
IC
1/jC
这是交流和直流的很大区别。
R1
Q=U I sin j
Ii 2 X i I 2 X L I 2 XC
8
视在功率 (apparent power) S
def
S UI 单位 : VA (伏安)
有功功率
P
RLI 2
( Ri
RLU
2 S
RL )2 ( X i
XL )2
21
有功功率
P
RLI 2
( Ri
RLUS2 RL )2 ( Xi
XL )2
BUCT
(a) 先讨论XL改变时，P 的最大值 显然，当Xi + XL=0，即XL =-Xi时， P获得最大值
P
RLU
2 S
(Ri RL )2
(b) 再讨论RL改变时，P 的最大值 当RL= Ri时，P 获得最大值
Pmax
U
2 S
4Ri
综合(a)、(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
ZL= Zi*，即
RL= Ri XL =-Xi
此结果可由P分别对XL、RL求偏导数得到。
22
BUCT
作业
习题：9-4、16 、22
23
| Z | R2 (L)2
L 1 | Z |2 R2 1 502 302 40 0.127H
314
314
11
例2.
I
R1
+
+ _ U 1 R2
U
_
L2
已知：U=115V , U1=55.4V , U2=80V , BUCT R1=32W , f=50Hz
+ 求： 线圈的电阻R2和电感L2 。
buct视在功率apparentpowerdef伏安单位ui功率三角形阻抗三角形电压三角形buct10电流线圈电压线圈v1a1例子自动075a3a15a125v500v250v有功功率表的接线说明buct11314403050buct1211542376418064sin80sin64cos80cos19733148841884173buct13复功率功率来计算功率引入复单位为复功率buct14也可以表示为以下式子复功率复功率守恒定理
U2
解：画相量图进行定性分析。
_
U2
U12
U
2 2
2U1U2
cos j
U
qj
q2 U 2
U L2
cos j 0.4237 j 115.1 q2 180 j 64.9 I U1 / R1 55.4 / 32 1.73A
U1
I U R2
UL2 U2 sinq2 80sin64.9 72.45V UR2 U2 cos q2 80cos 64.9 33.9V
,
I
U
P
cosj2
代入得
QC
IC
P U
(tgj1
tgj2 )
C
P
U
2
(tgj1
tgj2 )
IC
U XC
CU
ICU CU 2 P(tgj1 tgφ2 )
j1
j2
I
U
补偿容 欠补偿
IC
IL
量不同 全——不要求(电容设备投资增加,经济效果不明显)
过——使功率因数又由高变低(性质不同)
.
UL
R5
.
IC 3
0
.
4 IL .
U
6
S
.
2I R
.
.
1 UR UC
3
BUCT
练习：P188 8—13
4
9. 4 正弦稳态电路的分析
BUCT
P198 例题
5
9. 5 正弦稳态电路的功率 BUCT
i
二
u(t ) 2U cos(t u )
u
端 网
络
U
j =0°
U
i(t)
BUCT
u
端
感性负载
网 络
有功分 量
•
Ip • U
无功分
j
容性电路
•
Iq
•
I
量
•
Iq
•
I
j
•
Ip
•
U
P =UIcos j
0 j < 90°
-90° j < 0
Q为正
Q为负
7
i u
I R2 +
US
-
二
P =UIcos j
BUCT
端 网 络
Ii 2 Ri Leabharlann U2 iRi
平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称
反映电气设备（如：发电机、变压器等）的容量。
BUCT
功率、电压、阻抗三角形
S
•
U
•
Q
Z
j
UX X
阻抗三角形 R
•
UR
电压三角形
P
功率三角形
S = P2 + Q2
+
U
R
_
º+ R +
U_
U_X
jX
º
9
交流电路功率的测量
i
*
W
*
+ u
Z
i1
-
i2 电压线圈
R 电流线圈
W1
A1
V1
*
* * 0.75A 3A 125V 500V 1.5A自动 250V U V W N
Re(Ue ju Ieji )
U
I* P Re[U I*]
记 S UI* 为复功率, 单位 VA
则 S UI(Ψu Ψ i ) UIφ Sφ UIcosφ jUIsinφ
P jQ
13
复功率 S 也可以表示为以下式子 : S UI* ZI I* ZI 2
综合考虑，提高到适当值为宜( 0.9 左右)。
20
最大功率传输
BUCT
讨论正弦. 电流电路中负载获得最大功率Pmax的条件。
I
Zi
Zi= Ri + jXi， ZL= RL + jXL
.
+
.
US
-
ZL
.
I
US
, I
US
Zi ZL
(Ri RL )2 ( Xi XL )2
ZL= RL + jXL可任意改变
18
提高cosj的原则：1、不改变负载的工作条件；2、不增加损耗B。UCT
常用的方法：并联电容，提高功率因数 (改进自身设备)。
分析:
I
+R
U _
L
IC
IL
C
j1 j2
U
I
IC
IL
19
补偿容量的确定：
IC IL sinj1 I sinj2
BUCT
将
IL
U
P
cos j1
15
例. 已知如图，求各支路的复功率。
IS
I2
10∠0o A
+ I1
U
10W
5W
_
j25W -j15W
BUCT
解：U IS Z 100o [(10 j25) //(5 j15)]
236(37.1o ) V
S发 IS U 236(37.1o )100o 1882 j1424 VA
2I cos(t i )
Z
U
| Z
| (u
i )
Z
j
I
j =90°
I
I C j = -90°
U
I
0
P UI Q=0
0
U jL I
P=0
Q =UI=XLI2
=
U2 XL
0
U
1
I
jC
P =0
Q =UI=XCI2 =
U2 XC
6
i
二
Q=U I sin j