附录A 截面图形几何性质题解

142 附录A 习题解答
A-1 试求图示三角形形心至其底边的距离。

解： dy h y b dy y b dA )/1()(-=⋅=
2
6
1)/1(bh ydy h y b ydA S h
A
z ⎰
⎰
=
-=
=
h bh
bh
A S y z C 312
1
61
2
===
A-2 试求由20b 工字钢与14b 槽钢焊接在一起所形成组合截面的形心坐标y c 及z c 。

解：查型钢表得： 槽 钢：31.211=A cm 2 67.110=y cm
工字钢：5.392=A cm 2 1020=y cm h =20cm 形心坐标：09
.145
.3931.2110
5.39)67.120(31.212
120
2101=+⨯++⨯=
++=
A A y A y A y C cm
0=C z
A-3 一矩形b=2h /3，从左右两侧切去半圆形（d=h/2）。

试求： （1）切去部分面积占原面积的百分比；
（2）切后的惯性矩I z ’
与原矩形的惯性矩I z 之比。

解：（1）切去部分的面积2
2
16
4
'h d
A π
π
=
=
原面积2
32h
bh A =
=
面积之比
%
45.2932
33
216
'
2
2
==
=ππ
h
h A
A
（2）切后惯性矩4
4
4
3
1024
18
164
121'h h
d
bh
I z π
π
-
=
-=
原惯性矩4
3
18
112
1h bh
I z =
=
题A-3图
题A-1图
题A-2图
143
惯性矩之比
%
5.9418
1
102418
1
'4
4
4
=-=
h
h
h
I I z
z π
A-4 试求图示工字形截面的形心坐标y c 、惯性矩I z 和惯性积I yz 。

C 为形心。

解：形心坐标5
.628210261
2872101326=⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=C y cm
惯性矩2
6)5.613(261212
3
⨯⨯-+⨯⨯=
z I 10
)5.67(2101212
3
⨯-+⨯⨯+
42
3
117228)15.6(2812
1cm
=⨯⨯-+⨯⨯+
惯性积I yz = 0
A-5 求图示两个10槽钢组成的组合图形的惯性矩I z 和I y 。

解：解：查表：10槽钢
4
10
3.198⨯=z I 4mm 4
10
6.25⨯=yc I 4
mm
2
10
74.12⨯=A 2
mm
48=b
mm
2
.15=c z mm
（a ）44106.396103.1982⨯=⨯⨯=z I 4
mm
4
44
22
1011010
)74.1252.16.25(2)
(2mm
A z I I c yc y ⨯=⨯⨯+⨯=⨯+⨯=
（b ）4
4106.396103.1982⨯=⨯⨯=z I 4
mm
2
2
4
1074.12)2.1548(210
6.252⨯⨯-+⨯⨯=y I 4
10
3.325⨯=4
mm
A-6 图示两个20a 槽钢组成的图形，C 点为组合图形的形心。

试求b
两个形心轴的惯性矩相等。

解：查表：20a 槽钢4
10
128⨯=y
I 4
mm
4
104.1780⨯=z I 4
mm
2
1083.28⨯=A 2
mm
1
.20=c z mm
组合图形：
4
4
10
8.356010
4.178022⨯=⨯⨯==z z I I c 4
mm
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=A b z I I c y y c
222⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=22
41083.2821.20101282b
题A-4图
（a ）
（b ）
题A-5图
题A-6图
144 c c y z I I = 得 b = 11.12 cm
*A-7 试确定图示图形的形心主惯轴的位置，并计算形心主惯矩。

解：因为c 点是图形对称中心，所以c 点即为图形的形心。

选取通过形心c 的水平轴z 及垂直轴y 作为参考坐标系。

把图形 看成1，2，3三个矩形组成。

矩形1形心坐标为（-35，74.5）， 矩形3形心坐标为（35，-74.5），矩形2形心坐标为（0，0）。

利 用平行移轴公式分别求出各矩形对y 轴和z 轴的惯性矩和惯性积。

矩形1： ()6
23
110
983.059113512
5911⨯=⨯⨯-+⨯=y I mm 4
6
2
3
1
10
609.359115.7412
1159⨯=⨯⨯+⨯=
z
I mm
4
()6
11069.159115.74350⨯-=⨯⨯⨯-+=yz I mm
4 矩形2： 6
3
210
0178.01211
160⨯=⨯=y
I mm 4
6
3
2
10
75.312
160
11⨯=⨯=
z
I mm
4、
2=yz I
矩形3： 6
2
3
310
983.0591135
125911⨯=⨯⨯+⨯=y
I mm 4
()6
2
3
310
609.359115.7412
1159⨯=⨯⨯-+⨯=
z
I mm 4
()6
31069.159115.74350⨯-=⨯⨯-⨯+=yz I mm 4
整个图形对y 轴和z 轴的惯性矩和惯性积为 ()6
6
3
2
1
10
98.110
983.00178.0983.0⨯=⨯++=++=y y y y I I I I mm 4
()6
6
3
2
1
10
97.1010
609.375.3609.3⨯=⨯++=++=z z z z I I I I mm 4
()6
6
3
2
1
10
38.310
69.1069.1⨯-=⨯-+-=++=
yz yz yz yz I I I I
mm 4
形心主惯性轴的位置 ()752
.010
98.110
97.101038.32226
6
6
0=⨯-⨯⨯--
=--
=y
z yz I I I tg α
即 α0 = 18.5° （或108.5°）
α0的两个值分别确定了形心主惯性轴z 0和y 0的位置。

把α0代入惯性矩公式中，得到图形的
题A-7图
145
主惯性矩
()
︒⨯⨯-⨯+
⨯+⨯=
5.1082cos 2
1098.110
97.102
1098.110
97.106
6
6
6
y I
(
)()6
6
10
85.05.1082sin 10
38.3⨯=︒⨯⨯-- mm 4
()︒⨯⨯-⨯+
⨯+⨯=
5.182cos 2
1098.110
97.102
10
98.110
97.106
6
6
6
z I
(
)()6
6
10
1.125.182sin 10
38.3⨯=︒⨯⨯-- mm
4
A-8 试证明通过正方形截面形心的轴，均为形心主惯轴，且截面对所有形心轴的惯性矩都相等。

证明：设a 为正方形边长，y 和z 为过正方形形心且平行于边长的坐标轴，则
4
121a
I y =
4
12
1a
I z =
0=yz I
设y 1和z 1为过正方形形心的任意正交坐标轴，与y 和z 轴的夹角为α，则
4
11212sin 2cos 22a
I I I I I I yz y
z y
z y =+--+=αα 4
11212sin 2cos 2
2
a
I I I I I I yz y
z y
z z =
--++=
αα
2cos 2sin 2
11=+-=
ααyz y
z z y I I I I
得证。