广东省中山市华侨中学2020年高考数学文科模拟考试卷 新课标 人教版

广东省中山市华侨中学 2020 年高考数学文科模拟考试卷
中山市华侨中学高三备课组
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题（每小题 5 分，满分 40 分）
1. 设方程 x2 px q 0 的解集为 A，方程 x2 qx p 0 的解集为 B,若 A B 1 ，
则 p+q= (
)
A、２
B、０
C、１
D、－１
2. 已知 cos 5 ,且 是第四象限的角,则 sin2 (
)
13
A 12 13
B 12 13
C 12 13
D5 12
3. 某公司在甲、乙片区分别有若干个销售点。

公司为了调查产品销售情况，用按5%比例分
层抽样的方法抽取了甲片区15个销售点，乙片区45个销售点进行调查，则该公司在甲、乙片
区的销售点数分别为
A．75，225 C．300，900
B．150，450 D．600，600
4．若函数 f (x) x2 bx c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f (x) 的导函数 f '(x) 的图
象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
5.实数 a 0 是直线 x 2ay 1 和 2x 2ay 1平行的(
)
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
6.平面上有一个△ABC 和一点 O,设 OA a,OB b,OC c ,又 OA、BC 的中点分别为 D、
E，则向量 DE 等于（
）
A． 1 ( a b c) B 1 ( a b c) C 1 ( a b c) D 1 ( a b c)
2
2
2
2
7．数列{an}满足 a1 0, an1 an 2n ，那么 a2003 的值是 （ ）
A．2002 2001 B． 2003 2002 C． 20032 D． 2003 2004
8．设数集 M {x | m x m 3}， N {x | n 1 x n}，且 M , N 都是集合
4
3
{x | 0 x 1}的子集，如果把 b a 叫做集合{x | a x b}的“长度”。

那么集合M∩N的“长


度”的最小值是（
）
1 A． 3
2 B． 3
1 C． 12
5 D． 12
9.点
P(x,y)是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1（ a b 0 ) 上的任意一点， F1, F2
是椭圆的两个焦点，且
∠ F1PF2 90 ，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ）
A. 0 e 2 2
B. 2 e 1 C. 0 e 1 D. e 2
2
2
10. 已知函数 y f (x) 是 R 上的奇函数，函数 y g(x) 是 R 上
的 偶 函 数 ， 且 f (x) g(x 2) ， 当 0 x 2 时 ，
g(x) x 2 ，则 g(10.5) 的值为（
）
A． 1.5 B． 8.5 C． 0.5
D． 0.5
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题 5 分，满分 30 分）
11.复数 2 i ( i 是虚数单位)的实部为 1 i
12. 函数 f (x) Asin( x )( A 0, 0,| | ) 的部分图象 2
如图 1 所示，则 f (x)
13. 程序框图（如图 2）的运算结果为
y 2
O 2
-2
6 x
（图 1）
开始
n 1 s 1
n n1
14. 从以下两个小题中选做一题（只能做其中一个，做两个
按得分最低的记分）．
（1）自极点
O
向直线
l
作垂线，垂足是
H( (2,
)，
3
则直线 l 的极坐标方程为。

n 4?
否
输出 s
s sn
是
结束 （图 2）


（2）如图 3，⊙O 和⊙ O ' 都经过 A、B 两点，AC 是⊙ O ' 的切线，交⊙O 于点 C，AD 是⊙O 的切线，交⊙ O ' 于
点 D，若 BC= 2，BD=6，则 AB 的长为
三、解答题 15.(本小题满分 12 分)
（图 3）
已知函数 f (x) 1 2 3 sin x cos x 2cos2 x ，（1）求函数 f (x) 的最小正周期；（2）求函数
f (x) 的单调减区间；（3）画出函数 g(x) f (x), x [ 7 , 5 ] 的图象，由图象研究并写出 12 12
g(x) 的对称轴和对称中心.
2 1
7
5
12
12
4
12
0
12
4
5 12
x
-1
-2
16．(本小题满分 14 分) 一个盒子里装有标号为 1，2，3，L ， n 的 n ( n 3, 且 nN * )张标签，今随机地从盒
子里无放回地抽取两张标签，记ξ为这两张标签上的数字之和，若ξ=3 的概率为 1 。

（1） 10
求 n 的值；（2）求ξ的分布列；（3）求ξ的期望。

17．(本小题满分 14 分) 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AD AA1 1, AB 2 ，点E在棱 AB 上移动。

（Ⅰ）证明： D1E A1D ；


（Ⅱ）当E为 AB 的中点时，求点E到面 ACD1 的距离；
（Ⅲ） AE 等于何值时，二面角 D1 EC D 的大小为 4 。

18．(本小题满分 14 分)
已知函数 f x x2 ,g x x 1 .
D1
A1 D
A
E
C1 B1
C
B
①若 xR 使 f x b g x ,求实数 b 的取值范围;
②设 F x f x mg x 1 m m2 ,且 F x 在 0,1 上单调递增,求实数 m 的取值范围.
19．(本小题满分 14 分)
在平面直角坐标系内有两个定点 F1、F2 和动点 P， F1、F2 坐标分别为 F1 (1,0) 、
F2
(1,0)
，动点
P
满足
| |
PF1 PF2
| |
2 ，动点 P 的轨迹为曲线 C ，曲线 C 关于直线 y x 的对 2
称曲线为曲线 C ' ，直线 y x m 3 与曲线 C'交于 A、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的
面积为 7 ， （1）求曲线 C 的方程；（2）求 m 的值。

20.(本小题满分 12 分)
已知 f (x) ax3 bx2 cx d a 0 是定义在R上的函数，其图象交 x 轴于 A, B,C 三点。

若点B的坐标为 2,0, f x在2,0和4,6 上是单调的，且 f x在2,0和4,6 上有相同 的单调性，在 0, 2和4,6 上有相反的单调性。

（Ⅰ）求 c 的值； （Ⅱ）求 AC 的取值范围。

[参考答案]
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
B
C
B
B
B
A
D
二、填空题
11． 1 12。

2 sin x
2
4
三、解答题
13。

24
14。

（1） cos( ) 2 （2） 2 3 3
15. 解： （1） f (x) 3 sin 2x cos 2x 2sin(2x ) 6
T 2 2
（2）由 2k 2x 3 2k (k Z ) 得 k x 2 k ，
2
62
6
3
所以，减区间为[ k , 2 k ](k Z )
6
3
（3） g(x) 无对称轴，对称中心为（ , 0 ） 12
16.
解：（1） P(ξ 3) 1 1 2 ， 2 1 (n N*) n (n 1) n(n 1) n(n 1) 10
n5 ； （2） ξ的值可以是 3,4,5,6,7,8,9.
P(ξ 3) 1 ； P(ξ 4) 11 1 ； P(ξ 5) 1111 1 ；
10
5 4 10
54 5
P(ξ 6) 1111 1 ； 54 5
P(ξ 7) 1111 1 ； 54 5
P(ξ 8) 11 1 ； P(ξ 9) 11 1 。

5 4 10
5 4 10
分布列为
ξ
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
P
10 10
5
5
5
10 10
（3）


Eξ= 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 6 10 10 5 5 5 10 10
Eξ= 6 。

17. 解：以D为坐标原点，直线 DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，设
AE x ，则 A1 1,0,1, D1 0,0,1, E 1, x,0, A1,0,0,C 0, 2,0 。

uuuur uuuur
uuuur uuuur
（Ⅰ）因为 DA1 D1E 1, 0,1 1, x, 1 0 ，所以 DA1 D1E 。

uuuur
uuur
uuuur
（Ⅱ）因为E为 AB 中点，则 E 1,1,0 ，从而 D1E 1,1, 1, AC 1, 2,0 ，AD1 1, 0,1 ，
r uuur
设平面
ACD1
的法向量为
r n
a,
b,
c
，则
nr n

AC 0 uuuur AD1 0
，也即
a a

2b 0 c0
，得
a a

2b c
，从而
r
n 2,1, 2 ，
uuuur r
h
D1E n r
212 1
所以点E到平面 AD1C 的距离为
n
33
r
（Ⅲ）设平面 D1EC 的法向量为 n a,b, c ，
uuur
uuuur
uuuur
∵ CE 1, x 2,0, D1C 0, 2, 1, DD1 0,0,1
r uuuur
由
n r n

uDu1urC 0 CE 0
，有
2b c
a b
0
x 2
0
，令
b
1
，从而
c
2,
a
2
x
r
∴ n 2 x,1, 2
r uuuur
cos
n DD1 r uuuur
由题意， 4 n DD1
2 2
，即
2
2
x 22 5
2 。

∴ x1 2 3 （不合题意，舍去）， x2 2 3 。

∴当 AE 2 3 时，二面角 D1 EC D 的大小为 4 。

18. ○1 xR, f x bg x
xR, x2 bx b 0 b2 4b 0 b 0或b 4


○2 F x x2 mx 1 m2 ， m2 4 1 m2 5m2 4
(Ⅰ)当 0 即 2
5 m2
5
时,
5
5

m 0 2 2 5
5
m
2
5 5
2 5 5
m
0
(Ⅱ)当
0
即
m
2
5 5
或m
25 5
时.设方程
F
x
0
的根为
x1 , x2
x1
x2
m1
m 2 若 m 2 5 ,则 m 5 2
5 5
, x2
0
.
2
x10F01m2 0
若 m 2 5 ,则 m 52
5 5
x1
0 , x2
0
2 5 x1x2 0m0 1 m x1x20 1m2 01m1
5 m 2 5 5
综上所述: 1 m 0或m 2
19.解：（1）设 P 点坐标为 (x, y) ，则
(x 1)2 y 2
2 ，化简得 (x 3)2 y2 8 ，
(x 1)2 y 2 2
所以曲线 C 的方程为 (x 3)2 y2 8 ；
（2）曲线 C 是以 (3,0) 为圆心， 2 2 为半径的圆 ，曲线 C'也应该是一个半径为 2 2 的


圆，点 (3,0) 关于直线 y x 的对称点的坐标为 (0,3) ，所以曲线 C'的方程为
x 2 (y 3)2 8 ，
该圆的圆心 (0,3) 到直线 y x m 3的距离 d 为
d | 0 (3) m 3 | | m | ，
12 (1)2
2
S△ABO
1 2
d |
AB
|
1 2
d
2
8d2
(8 m2 ) m2 22
7
m2
1，或 m2
7，
2
2
所以， m 2 ，或 m 14 。

20. 解：证明：（Ⅰ） f x 3ax2 2bx c 由题意 f x 在1,0和0, 2 上有相反的单调性， ∴ x 0是f x 的一个极值点，故 f 0 0,得c 0 。

（Ⅱ）因为 f x 图象交x轴于点B 2,0 ， ∴ 8a 4b d 0,即d 4b 2a 。

f x 0,得3ax2 2bx 0,
令
2b x1 0, x2 3a ，
因为 f x 在 0, 2和4,6 上有相反的单调性， ∴ f x在0, 2和4,6 上有相反的符号
2 2b 4,得 6 b 3
故 3a
a
又
f
(x)
ax3
bx2
42a
b
ax
2

x
2

b a
2

x
2

b a
2



b a
2

设
A , 0 ,
B
,0
，则
2

b a
2

AC ∴
2 4

b a
2
2

8
b a
2


b a
2
2

16
6 b 3 ∵a
b
b
∴当
a
3 时，
AC
min
3 ；当
a
6 时
AC
max
4
3
故 3 AC 4 3

。