【高中数学】2018-2019学年度最新北师大版数学选修4-4教学案：第二章4平摆线和渐开线
高中数学4-4第二章 参数方程全部教案北师大版选修4
高中数学第二章 参数方程[课标要求]1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆〔椭圆的中心在原点〕的参数方程及其简单应用。
3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程〔一〕．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： 〔1〕、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα 〔2〕、抽象概括：参数方程的概念。
〔见课本第27页〕 说明：〔1〕一般来说，参数的变化X 围是有限制的。
〔2〕参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
〔3〕平抛运动：[课本P27页例题]为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==〔4〕思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
〔二〕、应用举例：例1、〔课本第28页例1〕曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)〔1〕判断点1M(0,1),2M (5,4)与曲线C 的位置关系；〔2〕点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。
分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。
学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。
高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案第二章 §1 参数方程的概念
章末复习课[对应学生用书][对应学生用书]常以解答题中关键的一问的形式出现，一般与平面解析几何、向量、函数等知识交汇命题．常用的方法有：()直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直接求解．()定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．()代入法：如果动点(，)依赖于另一动点(，)，而(，)又在某已知曲线上，则可先列出关于，，，的方程组，利用，表示，，把，代入已知曲线方程即为所求．()参数法：动点(，)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．[例]如图，圆和圆的半径都是，＝，过动点分别作圆和圆的切线，(，分别为切点)使得＝，试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程．[解]如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为(－)，()．设(，)，则＝－＝(＋)＋－.同理，＝(－)＋－.∵＝，即＝.即(＋)＋－＝[(－)＋－]．即－＋＋＝.即动点的轨迹方程为(－)＋＝.迹极坐标方程的探求及直线和圆的极坐标方程的确定与应用问题．求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式(ρ，θ)表示出来，就得到曲线的极坐标方程．[例]已知△的直角顶点在直线ρθ＝上移动(为原点)，又∠＝°，求顶点的轨迹的极坐标方程．[解]如图①，设(ρ，θ)，(ρ，θ)．则ρ °＝ρ，即ρ＝ρ.又∵ρθ＝，而θ＝θ－°，∴ρ °＝，即ρ＝.①②若点的位置如图②所示，同理得点的轨迹方程为ρ＝.综上所述，点的轨迹方程为ρ＝. [例]已知定点()，动点对极点和点的张角∠＝.在的延长线上取点，使＝.当在极轴上方运动时，求点的轨迹的极坐标方程．[解]设，的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ，θ)，则θ＝θ.在△中，ρ＝·，＝θ(π))，又＝＋，∴ρ＝.。
2018-2019学年北师大版高中数学选修4-4同步配套(课件+练习)：2.1
S随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做 2】
已知 P(x,y)是曲线
������ ������
= =
2sin+������cos������,(������为参数)
上任意一点, 求 (������-5)2 + (������ + 4)2的最大值.
解:由题意,设 d2=(x-5)2+(y+4)2=(2+cos α-5)2+(sin α+4)2=8sin α-6cos α+26=10sin(α-φ)+26,其中 φ 为锐角,tan φ= 34.
【做一做 1】
已知参数方程
������ ������
= =
22csions������������,(������为参数,
������∈[0,2π)).判
断点 A(1, 3)和������(2,1)是否在方程的曲线上.
分析:把A,B两点的坐标分别代入方程验证即可.
解:把 A,B 两点的坐标分别代入方程,
题型一 题型二 题型三
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
解:设点M的坐标为(x,y),∠AOP=θ.
因为点P在圆x2+y2=16上,过点P分别作x轴、y轴的垂线可得点P
的坐标为(4cos θ,4sin θ),又A(12,0),所以由中点坐标公式得点M的坐
(2)试求当 t=-3 时,曲线 C 上的点的坐标.
分析:将坐标分别代入参数方程进行判断.
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
2018学年高中数学北师大版选修4-4学案：第2章 章末分
章末分层突破[自我校对]①圆的参数方程②椭圆的参数方程③代数法④平摆线的参数方程⑤渐开线的参数方程迹曲线的方程.求轨迹方程是解析几何的主要问题之一，大致分为直接法和间接法两种方法.其中，参数法求轨迹方程是常用的间接法.如图2-1，正方形ABCD 的边长为1，P ，Q 分别为BC ，CD 上的点，△CPQ 的周长为2，图2-1(1)求∠P AQ 的大小；(2)建立恰当的直角坐标系，试求△APQ 的重心的轨迹.【精彩点拨】 (1)利用平面图形的性质，先求tan P AQ 再求角；(2)建系后把重心坐标用参数θ(θ＝∠BOP )表示，消参即得轨迹方程.【规范解答】 (1)设BP ＝p ，DQ ＝q ，∠BAP ＝α， ∠DAQ ＝β，其中0＜p ＜1,0＜q ＜1， α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则tan α＝p ，tan β＝q ，∴tan(α＋β)＝p ＋q1－pq，又(1－p )＋(1－q )＋(1－p )2＋(1－q )2＝2， ∴(1－p )2＋(1－q )2＝(p ＋q )2， ∴1－pq ＝p ＋q ，∴tan(α＋β)＝1. 又0＜α＋β＜π2，∴α＋β＝π4，∴∠P AQ ＝π4.(2)以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系，如图. 设∠BOP ＝θ，由(1)得，∠BOQ ＝π4＋θ， 其中0＜θ＜π4.∴P 点的坐标为(1，tan θ)，Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，1， 又设△APQ 的重心为G (x ，y )，由重心坐标公式得：⎩⎨⎧x ＝13⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝23(1＋tan θ)，y ＝13(1＋tan θ)(θ为参数)，消去参数θ，得y ＝29x .又0＜θ＜π4，∴0＜tan θ＜1，∴13＜x ＜23，13＜y ＜23，∴△APQ 的重心G 的轨迹是双曲线xy ＝29在第一象限内的一部分. [再练一题]1.已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos β，y ＝2sin β(β为参数)上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点.(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点.【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α).M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π).(2)M 点到坐标顶点的距离 d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π).当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点.题.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义.已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长. 【精彩点拨】 利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【规范解答】 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理得： t 2sin 2 α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①因为点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0，即sin α－cos α＝0. 因为0≤α<π，所以α＝π4， 因为|AB |＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4·8sin 2 π4＝8.[再练一题]2.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 【解】 (1)由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.a ，b 的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式.椭圆x 216＋y 24＝1上有P ，Q 两点，O 为椭圆中心，OP ，OQ 的斜率分别为k OP ，k OQ ，且k OP ·k OQ ＝－14.(1)求|OP |2＋|OQ |2的值； (2)求线段PQ 中点的轨迹方程.【精彩点拨】 利用椭圆的参数方程设点P (4cos θ1,2sin θ1)，Q (4cos θ1,2sin θ2)，充分利用已知条件建立方程求解.【规范解答】 (1)设P 点的坐标为(4cos θ1,2sin θ1)，Q 点的坐标为(4cos θ2,2sin θ2).∵k OP ·k OQ ＝－14，∴2sin θ14cos θ1·2sin θ24cos θ2＝－14，∴cos(θ1－θ2)＝0， ∴θ1－θ2＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴sin 2θ1＝cos 2θ2，cos 2θ1＝sin 2θ2，∴|OP |2＋|OQ |2＝16cos 2θ1＋4sin 2θ1＋16cos 2θ2＋4sin 2θ2＝20，即|OP |2＋|OQ |2＝20.(2)设PQ 的中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2(cos θ1＋cos θ2)，y ＝sin θ1＋sin θ2，∴x 24＋y 2＝(cos θ1＋cos θ2)2＋(sin θ1＋sin θ2)2＝2＋2cos(θ1－θ2)＝2， ∴PQ 中点的轨迹方程为x 28＋y 22＝1. [再练一题]3.在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值.【解】 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π. 因此，S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3.所以当φ＝π6时，S 取得最大值2.的坐标x ，y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x ，y 之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数.有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围.在求轨迹方程问题时，参数的选择十分重要，参数必须与曲线上每一点都有密切关系，其次是能用参数较简捷地表示出x ，y .在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线.判断参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ＋t 21＋t 2，y ＝6＋2t 21＋t 2(t 为参数)表示的曲线形状.【精彩点拨】 根据参数方程的特点，可采用代数法消参，要注意自变量的范围.【规范解答】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4t ＋t 21＋t 2＝1＋4t 1＋t 2， ①y ＝6＋2t 21＋t 2＝2＋41＋t 2， ②由①得x －1＝4t1＋t 2， ③ 由②得y －2＝41＋t 2， ④ ③÷④得x －1y －2＝t ，代入④，得 (x －1)2＋(y －4)2＝4. ⑤ 由④知41＋t 2＞0，所以y ＞2， 所以参数方程的普通方程为 (x －1)2＋(y －4)2＝4(2＜y ≤6).可见，方程的曲线是以(1,4)为圆心，以2为半径的圆，不包括点(1,2). [再练一题]4.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t (t 为参数，t >0)，求曲线C 的普通方程.【导学号：12990035】【解】 因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y 3，故曲线C 的普通方程为3x 2－y ＋6＝0..若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上.直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点.(1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线的长； (3)求|P 0A |和|P 0B |的长； (4)求交点A ，B 的坐标.【精彩点拨】 充分利用参数思想，即参数的几何意义解决问题.【规范解答】 将直线l 的参数方程代入圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1·t 2＝9， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3. (2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上，则 |P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9，所以切线长|P 0T |＝3.(3)解方程t 2－43t ＋9＝0，得t 1＝33，t 2＝3，所以|P 0A |＝33，|P 0B |＝ 3. (4)将t 1＝33，t 2＝3代入直线的参数方程，得 点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，332，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. [再练一题]5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ＜2π)，点M 是曲线C 1上的动点.(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ＞0)，求点P 到直线l 距离的最大值.【解】 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 点的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ＜2π)，消去参数θ得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由直角坐标与极坐标关系⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知，点P 的轨迹为以原点为圆心，以2为半径的圆， 因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.1.(广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________.【解析】 由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2得x ＋y ＝－2.法一：由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，得y 2＝8x ，联立⎩⎨⎧ x ＋y ＝－2，y 2＝8x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4).法二：把⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t代入x ＋y ＋2＝0得t 2＋22t ＋2＝0，解得t ＝－2，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4). 【答案】 (2，－4)2.(陕西高考)如图2-2，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________.图2-2【解析】 将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数). 【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)3.(陕西高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.【解】 (1)由ρ＝23sin θ得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)， 则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，点P 的直角坐标为(3,0).4.(全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.【解】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数). 直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.5.(全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.【解】 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α). 因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.。
数学北师大版高中选修4-4北师大版高中数学选修4-4第二章参数方程
高二文科数学周练(5)B 卷命题人：曾艳 审题人：姜志喜 命题范围：参数方程一、选择题1．下列点不在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(2,2)D ．(2，2)2．曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2ty ＝4t2(t 为参数)的焦点坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，143．下列参数方程与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |，y ＝t (t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t1－cos 2t(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t1＋cos 2t(t为参数)4．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为( )A ．1B ．3C ．5D ．75．已知某条曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (其中a 是参数)，则该曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线D ．圆的一部分6．与参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－ty ＝t(t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1(0≤y ≤1)C ．x 2＋y 2＝1(0≤x ≤1)D ．x 2＋y 2＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤1) 7．在极坐标系中，直线θ＝π3(ρ∈R )与圆ρ＝4cos θ＋43sin θ交于A 、B 两点，则|AB |＝( )A ．8B ．4C ．8D ．48．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A.98 B ．4014 C.82 D.93＋4 3二、填空题9．曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)上的点到其焦点距离最小值______．10．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝t2＋1(t 为参数，1≤t ≤3)化为普通方程______．11．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角是π3，且与直线x －y －23＝0交于点M ，则|M 0M |的长为________．12．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值是________．班级： 姓名： 座号： 成绩： 一、选择题:二、填空题:9、 10、 11、 12、三、解答题13．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋r cos θ，y ＝－22＋r sin θ(θ为参数，r >0)(1)求圆心的极坐标；(2)当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3.14．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．参考答案一、选择题1．[解析] 曲线的普通方程为x 2＋y 2＝4，验证易知C 满足要求． [答案] C2．[解析] 消参得曲线的普通方程为y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22，即x 2＝y ，∴曲线为抛物线，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14. [答案] D3．[解析] 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0，A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C.[答案] D4．[解析] ∵C 1：(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2：x 2＋y 2＝1， ∴两圆心之间的距离为d ＝32＋42＝5.∵A ∈曲线C 1，B ∈曲线C 2，∴|AB |min ＝5－2＝3. [答案] B 5．[解析] 将两式平方相减，得x 2－y 2＝1，并且|x |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥1，所以x ≤－1或x ≥1，为双曲线． [答案] C6．[解析] 由参数方程消去参数t 可得：x 2＋y 2＝1，又原参数方程中0≤t ≤1，∴0≤x ≤1,0≤y ≤1. [答案] D7．[解析] 直线与圆的普通方程分别为y ＝3x 和x 2＋y 2＝4x ＋43y ，即y ＝3x 与(x －2)2＋(y －23)2＝16(圆心坐标为(2,23)，半径为4，则圆的圆心在直线上，∴AB 的弦长即为圆的直径． [答案] A8．[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2t ×22，y ＝1－2t ×22.把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t代入(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，得(－5＋t )2＋(2－t )2＝25，t 2－7t ＋2＝0， |t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝41，弦长为2|t 1－t 2|＝82.[答案] C 二、填空题9． [解析] 曲线C 的普通方程为x 24＋y 29＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝a 2－b 2＝5，∴椭圆C 上的点到焦点的距离的最小值为3－ 5. [答案] 3－ 510． [解析] 可以通过代入法或加减法消去参数t ，得到曲线的普通方程；在消元之前要先根据参数的范围求出x 或y 的范围．[答案] x ＋2y －3＝0(－2≤x ≤0)11． [解析] 直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)，代入方程x －y －23＝0中，解得t ＝－(10＋63)，根据t 的几何意义可知，|M 0M |＝|t |＝10＋6 3. [答案] 10＋6 312． [解析] x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0⇒(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，化为参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝－2＋5sin θ(θ为参数)．∴x －2y ＝1＋5cos θ－2(－2＋5sin θ)＝5＋5cos(θ＋φ)，∴x －2y 有最大值10. [答案] 10 三、解答题13．[解] (1)圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，－22， 设圆心的极坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－222＝1， 所以圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，54π.(2)直线l 的极坐标方程为ρ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22， ∴直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， ∴圆上的点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22＋r cos θ－22＋r sin θ－12，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－1,1]，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，圆上的点到直线l 的距离最大．∴圆上的点到直线l 的最大距离为2＋2r ＋12＝3，∴r ＝4－22.14．[解] (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t .(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2. |PA |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|， 把直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t y ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝4，即t 2＋(3＋1)t －2＝0， ∴t 1t 2＝－2，|t 1t 2|＝2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 阅读材料2 摆线的应用研究》
教学设计数学就在我们身边感悟数学的应用价值学情分析;我们是农村建设中学，学生数学基础较差，学习高中数学的兴趣不大，在平时的学习过程中，只能完成一些基本的任务，尽管高中数学基础课程的学习已基本完成，但学生对数学的理解和感悟还很模糊，对数学的价值（科学价值，应用价值，美学价值，人文价值等）的认识还很肤浅，，每次和学生交流一谈到这个问题，学生总觉得数学很难，学了也没有用，由此，有许多学生缺乏学习数学的兴趣，没有学习数学的动力和激情，老师的教学也非常被动，为了让学生能更好地认识数学，体会数学的价值，激发学生浓厚而持久的学习兴趣，老师尝试着进行数学文化方面的教育和熏陶，希望对学生有所帮助。
教学目标1.知识目标：熟悉高中数学基础知识，能用数学知识解决生活中遇到的一些简单的实际问题2 能力目标：能用数学的观点观察事物，对实际问题能建立相应的数学模型并获得合理的解释。
3 情感目标：通过从现象到问题，从问题的数学解释到还原实际问题的结果的亲身体验，让学生获得的不仅仅是数学知识，更重要的是培养学生良好的数学应用意识，提高学生的数学素养，对数学有亲近感，有持久而浓厚的学习兴趣。
教学重点,难点重点: 通过发现问题和解决问题的亲身体验，提高学生的数学应用意识，感悟数学的文化价值（应用价值），从而获得对数学的新认识难点：通过数学建模，将实际问题转化为数学问题，用相应的数学知识解决问题最后还原实际问题的结果。
教学基本流程。
：教学过程：引入课题大家好，高中数学基础课程的学习已经完成，在学习高中数学的过程中，我们花了大量的时间与精力去学习，去探究，已经掌握了大量的数学知识。
老师：同学们，高中数学难吗？学生：…老师：学了高中数学有用吗？学生：…老师：今后还想继续学习数学吗？到大学里还想继续研究数学吗？学生：…老师: 其实，高中数学没有大家想象的那么难，数学每时每刻都伴随在我们身边，帮我们解决问题，一个人不识字可以生活，但是若不识数，就很难生活了。
2018一轮北师大版(理)数学教案：选修4-4 第2节 参数方程 Word版含解析
第二节 参数方程[考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．1．曲线的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )并且对于t 取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( ) (3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上B [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2，所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆， 所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上．]3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________．x －y －1＝0 [由x ＝2＋22t ，且y ＝1＋22t ， 消去t ，得x －y ＝1，即x －y －1＝0.]4．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t (t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________． (2，－4) [由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2.① 由⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，消去t 得y 2＝8x .② 联立①②得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．]5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[解] 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.2分将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，8分解得t 1＝0，t 2＝－167，所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.10分参数方程与普通方程的互化已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [解] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 2分 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 4分(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，8分 解得－25≤a ≤2 5.10分 [规律方法] 1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，要保持同解变形．[变式训练1] 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．[解] 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1， 4分所以椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)， 若直线l 过椭圆的右顶点(3,0)， 则3－0－a ＝0，所以a ＝3.10分参数方程的应用已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.【导学号：57962486】[解] (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.4分(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且t an α＝43. 8分 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.10分[规律方法] 1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．[变式训练2] (2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6.(1)写出圆C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值． [解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ，消去θ，得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. 2分又直线l 过点P (1,2)且倾斜角α＝π6，所以l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数). 4分(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＝16，t 2＋(3＋2)t －11＝0，所以t 1t 2＝－11，8分 由参数方程的几何意义，|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝11.10分参数方程与极坐标方程的综合应用1⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． [解] (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，2分由于曲线C 2的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，因此曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.4分(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值，8分 又d(α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.10分 [规律方法] 1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．[变式训练3] (2017·石家庄市质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ－2cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|P A ||PB |的值．[解] (1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0， ∵ρ2＝4ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. 4分(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝3＋22t (t 为参数)代入曲线C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，得到t 2＋22t －3＝0，8分∴t 1t 2＝－3， ∴|P A ||PB |＝|t 1t 2|＝3.10分[思想与方法]1．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1,1＋t an 2θ＝1cos 2θ.2．利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法． 3．将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题求解，化生为熟，充分体现了转化与化归思想的应用．[易错与防范]1．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性．在消去参数的过程中，要注意x ，y 的取值范围．2．确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．3．设过点M (x 0，y 0)的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)注意以下两个结论的应用： (1)|AB |＝|t 1－t 2|；(2)|MA|·|MB|＝|t1·t2|.。
高中数学(北师大版)选修4-4 同步教学课件+练习+作业：第二讲 参数方程 讲末复习方案2
(2)求点(1,1)到直线 AB 距离的最大值．
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第二讲 参数方程
解析：(1)设 A( 2cos α， 2sin α)，
B
2cos α＋π2，
2sin α＋π2，
即 A( 2cos α， 2sin α)，B(－ 2sin α， 2cos α)
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第二讲 参数方程
【真题 7】 (2016·广东广州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C1：
x＝t＋1 y＝1－2t
(t
为参数)与曲线
C2：xy＝ ＝a3csions
θ θ
(θ 为参数，a>0)．
(1)若曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 x 轴上，求 a 的值；
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第二讲 参数方程
【真题 5】 (2016·河北衡水模拟)在直角坐标系 xOy 中，已知点 P(1，－2)，直线 l：
x＝1＋m， y＝－2＋m
(m 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝2cos θ，直线 l 和曲线 C 的交点为 A，B.
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第二讲 参数方程
考法四 直线的参数方程及其应用
1．利用直线的参数方程xy＝ ＝xy00＋ ＋ttcsions
α， α
(t 为参数)中参数的几何意义，在解决
直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离．
2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数 t 没有明显的几何意义．在直线
8x＝cos θ，
得 2
y
3＝sin
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⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案... 2019新版⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案：第⼀章曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程[对应学⽣⽤书P12]曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合．②极坐标系中的极轴与直⾓坐标系中的x 轴的正半轴重合．③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式： x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，错误!(3)圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程为：ρ＝.ρ＝1和ρ＝－1是同⼀个圆的极坐标⽅程，那么，该圆对应的直⾓坐标⽅程也有两个吗？提⽰：唯⼀的⼀个，x2＋y2＝1.[对应学⽣⽤书P13][例(1)x ＋y ＝0；(2)x2＋y2＋2ax ＝0(a≠0)；(3)(x －5)2＋y2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直⾓坐标互化公式的应⽤及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x2＋y2＝ρ2代⼊直⾓坐标⽅程，再化简即可．[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ.∴tan θ＝－1.∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．综上所述，直线x＋y＝0的极坐标⽅程为θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x2＋y2＋2ax＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2acos θ)＝0.∴ρ＝－2acos θ.∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标⽅程为ρ＝－2acos θ.(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代⼊上式得：ρ2－10ρcos θ＝0.即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，∴所求圆的极坐标⽅程为ρ＝10cos θ.将直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代⼊化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直⾓坐标⽅程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标⽅程．解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊⽅程(x－a)2＋(y－b)2。
高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案第二章 章末复习课
章末复习课[对应学生用书][对应学生用书]方程；其二给出参数方程研究其形状、几何性质，则需化为普通方程定形状，研究其几何性质，其三，在用参数法求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意，的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．[例]在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为(\\(＝，＝()))(为参数)和(\\(＝() θ，＝() θ))(θ为参数)，则曲线与的交点坐标为．[解析]由(\\(＝，＝()，))得＝，又由(\\(＝() θ，＝() θ，))得＋＝.由(\\(＝()，＋＝，))得(\\(＝，＝，))即曲线与的交点坐标为()．[答案]()[例]已知曲线的参数方程为错误!(为参数，>)，求曲线的普通方程．[解]因为＝＋－，所以＋＝＋＝，故曲线的普通方程为－＋＝.[例]已知参数方程错误!(≠)．()若为常数，θ为参数，方程所表示的曲线是什么？()若θ为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？[解]()当≠±时，由①得θ＝，由②得θ＝.∴＋＝.它表示中心在原点，长轴长为＋，短轴长为，焦点在轴上的椭圆．当＝±时，＝，＝±θ，∈[－]，它表示在轴上[－]的一段线段．()当θ≠(∈)时，由①得θ)＝＋.由②得θ)＝－.平方相减得－＝，即－＝，它表示中心在原点，实轴长为θ，虚轴长为θ，焦点在轴上的双曲线．当θ＝π(∈)时，＝，它表示轴；当θ＝π＋(∈)时，＝，＝±(＋)．∵＋≥(＞时)或＋≤－(＜时)，∴≥.∴方程为＝(≥)，它表示轴上以(－)和()为端点的向左、向右的两条射线．[例]已知线段′＝，直线垂直平分′交′于点，并且在上点的同侧取两点，′，使·′＝，求直线′′与直线的交点的轨迹．[解]如图，以为原点，为轴，′为轴，建立直角坐标系.依题意，可知()，′(，－)，又可设()，′，其中为参数，可取任意非零的实数．直线的方程为＋＝，。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 柱坐标系和球坐标系》
柱坐标系亳州二中王信一、学习目标1、理解柱坐标系。
并通过实例了解在柱坐标系中刻画空间中点的位置方法2、体会柱坐标系与空间直角坐标系的区别与联系。
3、了解柱坐标与空间直角坐标的互化关系并进行简单的数学应用。
二、教学重难点重点：在柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法，难点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系利用它们进行简单的数学应用三、教学过程（一）情景导入引例1：怎样准确的表示室内灯泡的位置？引例2：欣赏图片思考：如何确定圆柱形物体侧面商标或字的位置呢？试一试：给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，适当建立空间直角坐标系，利用直角坐标描述圆柱侧面点oPρ,θ,ZAθP()531，，因此θ=π3,故点A 的柱坐标为 2,π3,5 .的直角坐标为()21-1-，，,求它的柱坐标解:设点M 的柱坐标为(ρ,θ,z ).因为tan θ=yx =1,所以,θ=π4.所以点M 的柱坐标为 2,π4, 2 .正解点M 的为柱坐标为 2,5π4, 2 . 注：已知点的直角坐标,确定它的柱坐标的关键是确定ρ和θ,尤其是θ,要注意求出tan θ后,还要根据点在O 平面内的射影所在的象限确定θ的值θ的取值范围是[0,2π类型二：柱坐标化成直角坐标【例2】 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标:(1) 2,5π6,3 ;(2) 2,π4,5 . 分析：解答本题直接利用公式 x =ρcos θ,y =ρsin θ,z =z计算即可.解：(1)设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,5π6,3 , 所以x =ρcos θ=2cos 5π6=- 3,y =ρsin θ=2sin5π6=1,z =3,故(- 3,1,3)为所求.(2)设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,π4,5 ,所以 x =ρcos θ= 2cos π4=1,y =ρsin θ= 2sin π4=1,z =5,故(1,1,5)为所求.变式训练 将柱坐标点⎪⎭⎫⎝⎛162，，π化为直角坐标:解：设所求点的直角坐标为(x ,y ,z ). 因为(ρ,θ,z )= 2,π6,1 ,所以 x =ρcos θ=2cos π6= 3,y =ρsin θ=2sin π6=1,z =1,即( 3,1,1)为所求.三、作业 教材的柱坐标为⎪⎭⎫⎝⎛142，，π,求点M 关于原点O 对称的点的柱坐标 2、在确定空间物体位置时怎样选取坐标系，使研究过程方便、简捷？ 3、在地理学、天文学中，科学家们在确定航天器或其他星球的准确位置时又该选取什么坐标系更好呢？课后作业：预习下一节：球坐标系！。
高中数学选修4-4全套教案
高中数学选修4-4全套教案第一讲坐标系一平面直角坐标系课题：1、平面直角坐标系教学目的：知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定三、讲解新课：1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
*变式训练如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？例2已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗?*变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程例3已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）*变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系》14
§直线与圆的极坐标方程一、教学目标1、理解直线与圆的极坐标方程的本质特点2、掌握求直线与圆的极坐标方程的方法3、类比直角坐标系中求曲线方程的方法，求极坐标系中曲线的方程二、教学重点与难点重点:求直线与圆的极坐标方程难点：掌握求直线与圆的极坐标方程的方法三、教材分析本节内容是北师大版选修4-4第二章第三节的内容，在学习了极坐标的概念，点的极坐标与直角坐标的互化以后安排的求直线与圆的极坐标方程，本节内容有承上启下的作用，是点的极坐标方程的延伸，求圆锥曲线统一的极坐标方程的基础，是高考的考点之一四、学情分析学生在必修的学习中，已经有了在直角坐标系中求曲线方程的基础，理解了求曲线方程的方法，又在前两节学习极坐标系的概念及点的极坐标与直角坐标的互化的基础上，学习直线与圆的极坐标方程是容易理解的五、教学方法启发引导与自主探究相结合（学生讲解展示答案教师指导总结）六、教学过程1、复习回顾（1）一般地，在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程(,)0f x y 的实数解建立了如下关系：① 曲线C 上的点的坐标都是方程的解，② 以方程(,)0f x y =的解为坐标的点都在曲线上，那么把这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（2） 在直角坐标系中，求曲线方程的步骤：① 设点的坐标② 建立等量关系③ 化简得到方程(,)0f x y =（3）点的极坐标2、新知探究曲线的极坐标方程的定义：一般地，如果极坐标系中的曲线C 与方程(,)0f ρθ=之间建立了如下关系： ①曲线C 上的任意一点的无穷多个极坐标中至少有一个适合方程(,)0f ρθ= ②满足方程(,)0f ρθ=的C 点都在曲线上，那么方程(,)0f ρθ=叫做曲线C 的极坐标方程3、实例分析例1、求从极点出发，倾斜角为4π解：画出倾斜角4π的直线与射线，就是直线的极坐标方程，这就是所求射线的点是射线上任意一点，则设404)0)(,(πθρθρ=≥≥M M .3223A 12）且和极轴平行的直线，（）过点（；）并与极轴垂直的直线，（）过点（坐标方程、求适合下列条件的极例ππB ；）并与极轴垂直的直线，（画出过点分析：π3A )1(.,3cos 3)cos(3A ),(线极坐标方程这就是所求直，即在直角三角形中上任意一点，）并与极轴垂直的直线，（是过点设-==-θρθπρπθρM 等量关系用三角函数的定义建立转化在直角三角形中利，）且和极轴平行的直线，（画出过点）类比（32)1(2πB 的直线的极坐标方程；）、倾斜角为，（、求经过点例6023πA.),(602方程系，化简得所求直线的定理建立等量关，在三角形中利用正弦设直线上任意点的直线的极坐标方程，）、倾斜角为，（分析：画出经过点θρπM A 的圆的极坐标方程）、半径为）（，、求圆心在（例a 0a 0a 4>分析：画出圆心在a,0半径为a 的圆，设圆上任意一点的极坐标),(θρM ，在直角三角形中利用三角函数的定义建立等量关系。
高中数学北师大版选修4-4同步配套教学案第二章 §3 参数方程化成普通方程
§参数方程化成普通方程[对应学生用书]．代数法消去参数选出()代入法：从参数方程中一个方程，代入另一个参数，然后把参数的表达式解出方程，参数，得到曲线的普通方程．消去程适当地()代数运算法：通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方变形，代数运算然后把参数方程中的两个方程进行消去参数，得到曲线的普通方程．，．利用三角恒等式消去参数三角函数公式中的恒如果参数方程中的，都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用等式消去参数，得曲线的普通方程．．将参数方程化为普通方程时要注意什么？提示：注意消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．．将参数方程(\\(＝()＋，＝－()))(为参数)化为普通方程是＝－＋吗？提示：不是，应是＝－＋(≥)．[对应学生用书][例]()(\\(＝(＋－)，＝(－)；))()(\\(＝－－，＝－－；))()错误!(θ为参数)；()(\\(＝()＋，＝()－))(为参数)．[思路点拨]本题考查参数方程化普通方程及运算、转化能力，解答此题需要根据方程的特点，选择适当的消参方法求解．[精解详析]()由＝得＝，代入＝化简得＝(≠)．()由－＝－得＝－＋，代入＝－－化简得－＋＋－－＝.()把＝θ)代入＝θ＋( θ)))得－＝θ，(－)＝θ，由题设得＝，因而－＋＝.()将＝－的两边平方得＝＋－＝(＋－)．把＝＋代入上式，得＝(－)．将参数方程化为普通方程的一般思路：先分析方程的结构特征，再选择代入法或代数运算法或三角恒等式消参法消参，但要注意需由参数方程讨论，的变化范围，并验证其两种形式下的一致性．．(湖南高考)在平面直角坐标系中，若直线：(\\(＝，＝－))(为参数)过椭圆：(\\(＝φ，＝φ))(φ为参数)的右顶点，则常数的值为．解析：由题设可得直线：＝－，又由椭圆参数方程可知其右顶点为()，代入＝－得＝.答案：．把参数方程(\\(＝(－＋)，＝(＋)))(为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．解：由＋＝，得＋＝，又－＜≤，得－＜≤.∴所求普通方程是＋＝(－＜≤)．将＋＝转化为＋＝，它表示中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为，短轴长为，除去点(－)的椭圆.[θ，＝θ)) (θ为参数)上的点到曲线：(\\(＝－()＋()，＝－()))(为参数)上的点的最短距离．[思路点拨]本题考查参数方程化为普通方程的应用及转化、运算能力，解答此题需要。
数学选修4-4教案
数学选修4-4教案教案标题：数学选修4-4教案课时数：1课时教学目标：1. 理解和掌握数列的概念及其性质。
2. 能够确定数列的通项公式。
3. 能够利用数列的通项公式计算数列中的任意项。
4. 能够解决与数列相关的实际问题。
教学重点：1. 数列的概念及其性质。
2. 数列的通项公式的确定。
3. 利用数列的通项公式计算数列中的任意项。
教学准备：1. 教材：数学选修4-4教材。
2. 教具：黑板、粉笔、计算器。
教学过程：步骤一：引入（5分钟）1. 教师简要介绍数列的概念，并与学生讨论数列在生活中的应用。
2. 引导学生思考：如何确定一个数列的通项公式？步骤二：概念讲解（10分钟）1. 教师详细讲解数列的定义，并给出一些例子进行说明。
2. 引导学生发现数列的性质，如公差、首项、末项等。
3. 讲解等差数列和等比数列的定义及其特点。
步骤三：通项公式的确定（15分钟）1. 教师通过具体的例子，引导学生发现数列的通项公式与数列的性质之间的关系。
2. 以等差数列为例，讲解如何通过已知条件确定数列的通项公式。
3. 以等比数列为例，讲解如何通过已知条件确定数列的通项公式。
步骤四：应用与拓展（20分钟）1. 教师给出一些实际问题，要求学生利用已学知识解决。
2. 学生分组进行讨论和解答，教师逐个指导和纠正。
3. 鼓励学生自主思考，拓展更复杂的数列问题。
步骤五：总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调数列的重要性和应用价值。
2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和困惑。
教学延伸：1. 学生可通过课后作业进一步巩固和拓展数列的相关知识。
2. 学生可自主查找更多数列的实际应用例子，并进行分析和讨论。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 教师布置课后作业，检查学生对数列概念和通项公式的掌握情况。
3. 教师根据学生的表现和作业情况，进行个别辅导和巩固。
教学反思：本节课通过引入、概念讲解、通项公式的确定、应用与拓展等环节，全面培养了学生对数列的理解和掌握能力。
2018-2019学年高二数学北师大版选修4-4实用课件：第2章 2 2.2 2.3 2.4
上一动点，求 PQ 中点的轨迹方程，
【解】
设中点 M(x，y).则 1 x＝1＋2cos θ， 即 y＝1sin θ 2
x＝2＋cos θ， 2 0＋sin θ y＝ 2 ，
(θ 为参数)，
这就是所求的轨迹方程. 1 它是以(1,0)为圆心，以2为半径的圆.
x＝2＋2cos α， (1) y＝1＋2sin α
(α 为参数).
(2)由圆的参数方程知圆心为(－1,0)，半径为 1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1)，半径为 1. ∵圆心到原点的距离为 2，∴最大值为 2＋1， 最小值为 2－1.
【答案】
x＝2＋2cos α， (1) y＝1＋2sin α
椭圆的参数方程及其应用
x2 y2 如图 224 所示，已知点 M 是椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)上在第一象
限的点，A(a,0)和 B(0，b)是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形 MAOB 的面 积的最大值.
图 224
【精彩点拨】
上都不相等. π 3π (3)× 双曲线中，参数 φ 的范围是 φ∈[0,2π)且 φ≠2，φ≠ 2 .
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________
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§4平摆线和渐开线
[对应学生用书P35]
[自主学习]
1．平摆线
(1)平摆线的概念： 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)．
(2)摆线的参数方程：
①定点M 在滚动过程中满足的几何条件：
在平面直角坐标系中，设圆的半径为r ，圆在x 轴上滚动，开始时点M 在原点O (如图)． 设圆转动的角度为α时，圆和x 轴的切点是S ，圆心是N ，M 的坐标为(x ，y )，取角度α为参数．
连接NM ，NS ，过M 作x 轴的垂线MP ，垂足为点P ，过M 作NS 的垂线MQ ，垂足 为Q .
因为∠MNQ ＝α，所以OS ＝SM ＝rα.这就是圆周上的定点M 在圆N 沿直线滚动过程中满足的几何条件．
②摆线的参数方程：
如图(1)，由①分析可得：x ＝OP ＝OS －PS ＝SM －MQ ＝rα－r sin α＝r (α－sin α)，y ＝PM ＝SQ ＝SN －QN ＝r －r cos α＝r (1－cos α)．
图(1)
所以摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞<α<＋∞)． 2．渐开线
(1)渐开线的相关概念：
把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．。