高三三角函数专题训练及答案

肇庆市实验中学2005届高三《三角函数》专题训练
三角函数训练(一)-同角三角函数关系
1.1.命题命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( ) A.A.充分非必要条件充分非必要条件充分非必要条件 B. B. B.必要非充分条件必要非充分条件必要非充分条件 C. C. C.充要条件充要条件充要条件 D. D. D.既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件
2.2.若角若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,<0,则则α在( ) A.A.第一象限第一象限第一象限 B. B. B.第二象限第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限第三象限 D. D. D.第四象限第四象限第四象限
3.3.集合集合M ={x |x =42p p ±k ,k ∈Z }与N ={x |x =4
p k ,k ∈Z }之间的关系是之间的关系是( ) ( )
A.M N
B.N M
C.M =N
D.M ∩N=Æ 4.4.已知下列各角已知下列各角已知下列各角(1)787(1)787(1)787°°,(2)-957,(2)-957°°,(3)-289,(3)-289°°,(4)1711,(4)1711°°,其中在第一象限的角是( ) A.(1)A.(1)、、(2) B.(2)(2) B.(2)、、(3) C.(1)C.(1)、、(3) D.(2)(3) D.(2)、、(4) 5.5.设设a <0,<0,角角α的终边经过点P (-3a ,4a ),),那么那么sin α+2cos α的值等于的值等于( ) ( )
A.52
B.-52
C.51
D.-51
6.6.若若cos(π+α)=-23
,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于等于( ) ( )
A.-23
B.23
C.21
D. D.±±23
7.7.已知已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是那么下列命题成立的是( ) ( ) A.A.若若α、β是第一象限角，则cos α>cos β B.B.若若α、β是第二象限角，则tan α>tan β
C.C.若若α、β是第三象限角，则cos α>cos β
D.D.若若α、β是第四象限角，则tan α>tan β 8.8.已知弧度数为已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所对的弧长是( ) ( )
A.2
B.
1
sin 2
C.2sin1
D.sin2 9.9.如果如果sin x +cos x =5
1,且0<x <π,那么cot x 的值是的值是( ) ( )
A.-34
B.-34或-43
C.-43
D.34或-4
3
10.10.已知①已知①已知①1+cos 1+cos α-sin β+sin αsin β=0,=0,②②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.=0.则则sin α的
值为值为( ) ( )
A.
3101- B.3
51- C.212- D.22
1-
三角函数训练(二)-同角三角函数关系
1.tan3001.tan300°°+cot765+cot765°的值是°的值是°的值是_______. _______.
2.2.已知已知tan α=3,=3,则则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是的值是______. ______.
3.3.若扇形的中心角为若扇形的中心角为
3p
,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______. ______. 4.4.若若θ满足cos θ>-2
1
,则角θ的取值集合是的取值集合是______. ______.
5.5.设一扇形的周长为设一扇形的周长为C (C >0),>0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？少？
6.6.设设9090°°<α<180<180°°,角α的终边上一点为P (x ,5),),且且cos α=4
2
x ,求sin α与tan α的值的值. .
7.7.已知已知sin α是方程5x 2
-7x -6=0的根，求的根，求
)
(cos )2
cos()2cos()
2(tan )23
sin()23sin(2
2a p a p a p a p a p p a -×+×--×-×--的值的值. . 8.8.已知已知sin α+cos α=-
5
53,且|sin α|>|cos α|,|,求求cos 3α-sin 3
α的值的值. . 9.9.已知已知sin(5π-α)=2 cos(
27
π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β),
且0<α<π,0<β<π,求α和β的值
的值. .
1.1.若若sin
532
=
q
，5
42cos -=q
则θ在（在（ ）） A.A.第一象限第一象限第一象限 B. B. B.第二象限第二象限
C.C.第三象限第三象限第三象限 ＤＤ.第四象限 2.cos
2
125p ＋cos 212p ＋cos 125p cos 12
p 的值等于的值等于 ( ) ( )
A.26
B.23
C.45 ＤＤ.1+43
3.3.已知已知π＜α＜
23p ，且sin sin（（23p ＋α）＝54，则tan 2
a
等于等于 ( ) ( ) A.3 B.2 C.A.3 B.2 C.－－2 2 ＤＤ.－3 4.4.若若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ等于等于 ( ) ( ) A.
m 1 B.m 2 C.2ｍ ＤＤ.21
m
5.5.下列关系式中不正确下列关系式中不正确．．．的是的是 ( ) ( ) A.sin α＋sin β＝2sin 2b a +cos 2b a -
B.sin α－sin β＝2cos 2b a +cos 2b
a - C.cos α＋cos β＝2cos
2b a +cos
2b
a -
Ｄ.cos α－cos β＝2sin 2b
a +sin 2
a b -
6.6.如果如果tan 3
1
2=a ，那么cos α的值是的值是 ( ) ( )
A.53
B.54
C. C.－－53 ＤＤ.－5
4
7.7.化简化简)4sin()4cos()
4sin()4cos(x x x x ++++-+p
p p
p 的值是的值是 ( ) ( )
A.tan 2
x B.tan2x C.C.－－tan x ＤＤ.cot x
8.8.若若sin α＝
13
5，α在第二象限，则tan
2a
的值为的值为 ( ) ( )
A.5
B.A.5 B.－－5
C.51 ＤＤ.－5
1
1.1.设设5π＜θ＜6π，cos 2q ＝a ，则sin 4
q 等于等于 ( ) ( )
A.A.－－
21a + B. B.－－21a
- C. C.－－21a + ＤＤ.－21a - 2.2.若若tan n
m
A =2，则ｍcos A －ｎsin A 等于等于 ( ) ( )
A.ｎ
B. B.－－ｎ
C. C.－－ｍ ＤＤｍ 3.3.若若tan α＝－＝－22且sin α＜0，则cos α＝ .
4.tan
5
p
＋tan 52p ＋tan 53p ＋tan 54p ＝ .
5.5.已知已知sin θ＝－53，3π＜θ＜
27p ，则tan 2
q
＝ . 6.6.已知已知sin α＝31，2π＜α＜3π，那么sin 2a ＋cos 2
a ＝ .
7.cos
85p cos 8
p
＝ . 8.sin 8.sin（（θ＋7575°）＋°）＋°）＋cos cos cos（（θ＋4545°）－°）－3cos cos（（θ＋1515°）＝°）＝°）＝ . . 9.9.已知已知π＜θ＜
23p
，cos θ＝－
54
，则cos
2q
＝ .
10.tan1910.tan19°＋°＋°＋tan26tan26tan26°＋°＋°＋tan19tan19tan19°°tan26tan26°＝°＝°＝ . .
11.11.若若cos cos（（α＋β）＝
54，cos cos（（α－β）＝－54，且2p
＜α－β＜π，2
3p ＜α＋β＜2π，则cos2α＝ ，，cos2β＝ .
12.12.求求2sin1602sin160°－°－°－cos170cos170cos170°－°－°－tan160tan160tan160°°sin170sin170°的值°的值°的值..
13.13.已知已知sin sin（（x －43p
）cos cos（（x －
4p
）＝－
41
，求cos4x 的值的值..
14.14.求证求证tan
x
x x x x 2cos cos sin
22tan 23+=
- 15.15.若函数若函数ｙ＝x 2
－4px －2的图象过点的图象过点(tan (tan α，1)1)，及点，及点，及点(tan (tan β，1).
求2cos2αcos2β＋p sin2sin2（（α＋β）＋）＋2sin 2sin 2
（α－β）的值）的值..
三角函数训练(五)- 两倍角公式
1．如果,53
2cos =q 那么q q 4
4
cos sin +的值是（的值是（ ）
A ．251 B.1 C.2517 D.2517-
2．若,13
5)4
cos(=+A p 求sin2A 的值. 
3．求证：a a
a a
a
sin cos 1cos 1sin 2tan
-=
+=
. 
4．已知,31)sin()sin(=-+b a b a 求证：a b a 4
22cos sin 2sin 4
1++为定值. 
5．已知a 、
)2
,0(p b Î，且,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+b a b a 求证：
,2
2p b a =+并求a sin 、b sin 、a cos 、b cos 的值. 
6．若,cos sin ,cos sin ,4
0b a =+=+<<<b b a a p
b a 则（则（ ）
A ．a <b B.a >b C.ab <1 D.ab >2 
7．已知q 是第三象限角，且9
5
cos sin 4
4=+q q ，那么q 2sin 等于（等于（ ） A ．32
2 B. 3
22- C. 32 D.32
-
1.1.命题甲：命题甲：“x 是第一象限角”，命题乙：“sin x 是增函数”，则命题甲是命题乙的，则命题甲是命题乙的( ) ( ) A.A.充分但不必要条件充分但不必要条件充分但不必要条件 B. B. B.必要但不充分条件必要但不充分条件必要但不充分条件 C. C. C.充要条件充要条件充要条件 D. D. D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件
2.2.右图是函数右图是函数y ＝2sin(ωx ＋j )()(｜｜j ｜＜2
p
＝的图象，那么＝的图象，那么( ) ( ) A.ω＝
1110，j ＝6p B.ω＝1110，j ＝－6
p
C.ω＝2，j ＝6p
D.ω＝2，j ＝-6
p
3.3.已知已知cos x ＝
94，x ∈(－2
p
，0)0)，则，则x 的值是的值是( ) ( ) A.A.－ａ－ａ－ａrccos rccos 9
4 B.π－arccos 94
C.arccos 94
D.2p
－arccos 9
4
4.4.要得到函数要得到函数y ＝sin(2x －4p
)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象的图象( ) ( )
A.A.向左平移向左平移
4p
B. B.向右平移向右平移
4p C. C.向左平移向左平移
8p D. D.向右平移向右平移
8p
5.5.函数函数y ＝sin
2(ωx )－cos 2(ωx )的周期T ＝4π，那么常数ω为( ) A.
21 B.2 C.4
1
D.4 6.6.函数函数y ＝sin(2x ＋2
5p
)的图象的一条对称轴方程为的图象的一条对称轴方程为( ) ( )
A.x ＝45p
B.x ＝－2p
C.x ＝8p
D.x ＝4
p
7.7.函数函数y ＝ｌｏｇcos1cos x 的值域是
的值域是( ) ( ) A.A.［－［－［－11，1］ B.( B.(－∞，＋∞－∞，＋∞－∞，＋∞) C.() C.() C.(－∞，－∞，]0 D. D.［［0，＋)¥］
8.8.如果｜如果｜x ｜≤
4
p ，那么函数f (x )＝cos 2
x ＋sin x 的最小值是的最小值是( ) ( ) A.212- B.221- C. C.－－2
12+ D. D.－－1
9.9.函数函数f (x )＝sin 25p +x ，ｇ(x )＝cos 2
5p
+x ，则，则( ) ( )
A.f (x )与ｇ与ｇ((x )皆为奇函数皆为奇函数
B. B.f (x )与ｇ与ｇ((x )皆为偶函数皆为偶函数
C.f (x )是奇函数，ｇ(x )是偶函数是偶函数
D. D.f (x )是偶函数，ｇ(x )是奇函数
是奇函数
1.1.下列函数中，图象关于原点对称的是下列函数中，图象关于原点对称的是下列函数中，图象关于原点对称的是( ) ( ) A.y ＝－｜＝－｜sin sin x ｜ B.y ＝－x ²sin sin｜｜x ｜
C.y ＝sin(sin(－｜－｜x ｜)
D.y ＝sin sin｜｜x ｜ 2.2.函数函数y ＝3sin(πx ＋3)3)的振幅是的振幅是的振幅是 ，周期是，周期是，周期是 ，初相是，初相是，初相是 . .
3.2
sin
2cos cos x x x
y -=的值域是的值域是 . .
4.4.若函数若函数y ＝Acos(ωx －3)3)的周期为的周期为2，则ω＝ ；；若最大值是5，则A ＝ ．．
5.5.在下列函数中：①在下列函数中：①y ＝4sin(x －
3p )，②y ＝2sin(x －65p )，③y ＝2sin(x ＋6
p
)，④y ＝4sin(x ＋3p
),),⑤⑤y ＝sin(x －613p )关于直线x ＝6
5p 对称的函数是对称的函数是 ( ( (填序填序
号).
6.6.使函数使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调递增的区间是同时为单调递增的区间是 . .
7.7.函数函数y ＝tan x 5
3的周期为的周期为 ，，y ＝sin 22x 的周期是的周期是 ，，y ＝－＝－cos(5cos(5x
＋6p
)的周期是的周期是 ．．
8.8.在在y ＝arcsin x 中，x ∈ ，，y ∈ 的一个的一个的一个 . .
9.9.利用单位圆将利用单位圆将sin2sin2，，sin3sin3，，sin4由小到大排列的顺序为由小到大排列的顺序为 . .
10.10.由由y ＝sin x 变为y ＝A sin(ωx ＋j )，若“先平移，后伸缩”，则应平移则应平移 个单位；个单位；若“先伸缩，后平移”，则应平移，则应平移 个单位即得个单位即得y ＝sin(ωx ＋j )；再把；再把 坐标坐标坐标 原来的A 倍，就是y ＝A sin(ωx ＋j )()(其中其中A ＞0).
11.y ＝(2(2＋＋cos x )(5)(5－－cos x )的最大值为的最大值为 ，最小值为，最小值为，最小值为 . .
12.12.求求)1lg(tan 1
cos 2+-=x x y 的定义域的定义域. .
13.13.已知函数已知函数y ＝ａ－ｂcos x 的最大值是23，最小值是－2
1
，求函数y ＝－＝－44ａsin3ｂx 的最大值、最小值、周期、振幅、频率的最大值、最小值、周期、振幅、频率. .
14.14.若若f (x )＝A sin(x －3
p )＋B ，且f (3
p )＋f (2
p )＝7，f (π)－f (0)(0)＝＝23，求f (x ).
1515．若．若
îíì=+=q
q q q cos sin cos sin y x ，试求y ＝f (x )的解析式的解析式. .
三角函数训练(八)- 正、余弦定理
1．在△ABC 中，已知C=2B ，求证：c 2－b 2=ab . 2．在△ABC 中，,22=c a ＞b ,C = 4
p
，且有tan A ²tan B =6，试求a 、b 以及此三角形的面积. 
3．已知△ABC 的面积为1，tan B =2tan ,2
1-=C ,求△ABC 的各边长. 
4．已知：k 是整数，钝角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c
（1）若方程组ïîïíì+=+=+)
1(3272
2k y kx k y x 有实数解，求k 的值. （2）对于（1）中的k 值，若,2
sin k
C =且有关系式C c B b A b c 2
22sin sin sin )(=+-,
试求A 、B 、C 的度数. 
5．求值：°°+°+°80cos 20sin 380cos 20sin 22
6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c =2b , A –C =3
p
，求sin B 的值. 
7．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值为（的值为（ ） A ．－
41
B ．41
C ．－
32
D ．32
8．一货轮航行到
M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度. 
三角函数训练（一）答案
1、解析：“钝角”用集合表示为“钝角”用集合表示为{{α|90|90°°<α<180<180°°},},令集合为令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为合表示为{{α|k ²360360°°+90+90°°<α<k ²360360°°+180+180°°,k ∈Z },},令集合为令集合为B .显然A B .
答案：答案：B B
2、解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,<0,知知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.<0.∴∴α在第二象限在第二象限. .
答案：答案：B B
3、解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断的所有的终边进行判断. .
解法二：∵M ={x |x =4
p ²(2k ±1),k ∈Z },},而而2k ±1为奇数，∴M N .
答案：答案：A A
4、解析：、解析：787787787°°=2=2³³360360°°+67+67°°,-957,-957°°=-3=-3³³360360°°+123+123°°. -289-289°°=-1=-1³³360360°°+71+71°°,1711,1711°°=4=4³³360360°°+271+271°°. ∴在第一象限的角是∴在第一象限的角是(1)(1)(1)、、(3). 答案：答案：C C
5、解析：∵、解析：∵r=r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限为第四象限. .
∴53cos ,54
sin ==-==r x r y
a a .故sin α+2cos α=5
2
.
答案：答案：A A
6、解析：∵、解析：∵cos(cos(π+α)=-
21,∴cos α=21,又∵2
3
π<α<2π. ∴sin α=-2
3cos 12
-=-a .故sin(2π-α)=-sin α=
2
3.
答案：答案：B B 7、答案：、答案：D D
8、解析：∵圆的半径r =
1
sin 2
,α=2 ∴弧度l=r ²α=1sin 2
.
答案：答案：B B
9、分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =5
1
是不够的，还要利用sin 2
x +cos 2
x =1这一恒等式这一恒等式. .
解析：∵解析：∵0<0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2
-1=-25
24
. ∴cos x <0.<0.故故sin x -cos x =5
7cos sin 4)cos (sin 2
=-+x x x x ,结合sin x +cos x =5
1
,可
得sin x =
54,cos x =-53,故co t x =-4
3
.
答案：答案：C C
1010、分析：已知条件复杂，但所求很简单，由方程思想，只要由①、②中消去、分析：已知条件复杂，但所求很简单，由方程思想，只要由①、②中消去β即可即可. . 解析：由已知可得：解析：由已知可得：sin sin β=a
a sin 1cos 1-+,cos β=a
a sin 1cos 1--.
以上两式平方相加得：以上两式平方相加得：2(1+cos 2(1+cos 2
α)=1-2sin α+sin 2
α. 即：即：3sin 3sin 2
α-2sin α-3=0.-3=0.故故sin α=3101-或sin α=3
10
1+ ( (舍舍). 答案：答案：A A
三角函数训练(二)答案
1、解析：原式、解析：原式=tan(360=tan(360=tan(360°°-60-60°°)+cot (2)+cot (2³³360360°°+45+45°°)=-tan60)=-tan60°°+cot45+cot45°°=1-3. 答案：答案：1-1-3
2、分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子的式子. .
解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2
α=9cos 2
α.
∴cos 2
α=10
1.
故原式故原式=(1-cos =(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2
α=5
2
. 解法二：∵解法二：∵sin sin 2
α+cos 2
α=1.
∴原式∴原式==521
94991
tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=
++-=
++-a a a a
a a
a a a .
答案：
5
2
3、分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆、分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆. . 解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为
3
p
知：知：22r +r =R ,即R =3r ∴S 扇
=21αR 2=6p R 2
,S 圆=9p R 2故S 扇∶S 圆
=23.
答案：2
3
4、分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法方法..其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式. .
解析：先作出余弦线OM =-2
1
，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、
P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边的终边..要cos θ>-2
1
,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的
关键关键..当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫
过的区域就是角θ终边所在区域终边所在区域..从而可写出角θ的集合是的集合是{{θ|2k π-32π<θ<2k π+3
2
π,k ∈Z }.
答案：答案：{{θ|2k π-
32
π<θ<2k π+
32
π,k ∈Z }
5、解：设扇形的中心角为α，半径为r ,面积为S ，弧长为l,l,则：则：则：l+2l+2r =C ,即l=C -2r .
∴16)4()2(21212
2
C C r r r C lr S +--=×-==.
故当r =4C
时，S max =16
2C ,
此时：α=24
22=-=
-=
C
C C r
r C r l
∴当α=2时，S max =16
2
C .
6、解：由三角函数的定义得：、解：由三角函数的定义得：cos cos α=
5
2
+x x
,又cos α=
4
2
x , ∴
342
52±=Þ=+x x x x
.
由已知可得：x <0,<0,∴∴x =-3.
故cos α=-
46,sin α=410,ta n α=-3
15. 7、解：∵、解：∵sin sin α是方程5x 2
-7x -6=0的根的根. .
∴sin α=-
5
3
或sin α=2(=2(舍舍). 故sin 2
α=259,cos 2α=Þ2516tan 2α=16
9.
∴原式∴原式==169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 2
2
2==×-××-×a a
a a a a a . 8、分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个
就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.
解：∵解：∵sin sin α+cos α=-
5
53,
∴两边平方得：∴两边平方得：1+2sin 1+2sin αcos α=Þ59sin αcos α=5
2.
故(cos α-sin α)2
=1-2sin αcos α=
5
1
. 由sin α+cos α<0及sin αcos α>0知sin α<0,cos α<0. 又∵又∵|sin |sin α|>|cos α|,|,∴∴-sin α>-cos α cos α-sin α>0. ∴cos α-sin α=
5
5
. 因此，因此，cos cos 3
α-sin 3
α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=
55
³(1+52)=25
57.
评注：本题也可将已知式与sin 2
α+cos 2
α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算再代入计算. .
9、分析：运用诱导公式、、分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法同角三角函数的关系及消元法同角三角函数的关系及消元法..在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元用平方关系进行消元. .
解：由已知得sin α=2sin β ①①
3cos α=2cos β ②②
由①2
+②2
得sin 2
α+3cos 2
α=2. 即：即：sin sin 2α+3(1-sin 2α)=2.
∴sin 2
α=Þ2
1sin α=±
22,由于0<α<π,所以sin α=2
2. 故α=
4p 或4
3
π. 当α=4
p 时，时，cos cos β=23,又0<β<π,∴β=6
p ,
当α=
43π时，时，cos cos β=-2
3
,又0<β<π,∴β=65π. 综上可得：α=
4p ,β=6p
或α=43π,β=6
5π. 三角函数训练(三)答案
1、解：由sin
532=q ＞
22，cos 2q
＝－54＜－2
2 得
2
q
为第二象限角为第二象限角..
即2ｋπ＋
43p ＜2q
＜2ｋπ＋π （（ｋ∈Ｚ） ∴4ｋπ＋2
3p
＜θ＜4ｋπ＋2π （ｋ∈Ｚ）
∴θ在第四象限 答案：Ｄ 2、解：原式＝、解：原式＝sin sin 2
12p ＋cos 212p ＋sin 12p cos 12p ＝1＋21sin 6p ＝4
5
答案：答案：C C
3、解：由sin sin（（2
3p ＋α）＝－）＝－cos cos α＝5
4，π＜α＜2
3p ，得cos α＝－5
4，2
p ＜2
a
＜
4
3p
∵cos α＝1－2sin 2
2a ∴∴sin 2a ＝10
103
cos
2a ＝－10
10 ∴∴tan 2a
＝－＝－33 答案：Ｄ
4、解：∵、解：∵tan tan θ＋cot θ＝tan θ＋q
tan 1
＝ｍ 即：
m
=+q q tan
1tan 2
又∵又∵sin2sin2θ＝
m
2
tan 1tan 22
=+q q 答案：答案：答案：B B
5、解：因为sin α－sin β＝2cos 2b a +sin 2
b a -. 答案：答案：B B
6、解：、解：cos cos α＝54
9
1191
12tan 12tan 122
=+
-
=+-a a
答案：答案：B B
7、解：原式＝x
x x x x x x x 2cos 12sin )22
sin(1)
22cos()]4sin()4[cos()4(sin )4(cos 222+-=
+++=++++-+p p
p p p p x x x tan cos 2cos sin 22
-=-=a
答案：答案：C C 8、解：由sin α＝135，α在第二象限得cos α＝－1312. ∴tan 2
a
＝
5cos 1sin
=+a
a
答案：答案：A A
三角函数训练(四)答案
1、解：∵、解：∵cos cos
2
q
＝1－2sin
2
4
q
5π＜θ＜6π
4
5p ＜
4
q
＜
2
3p
∴sin 2
4q ＝2
1a -
即sin
4q
＝－2
1a -. 答案：Ｄ
2、解：ｍcos A －ｎsin A ＝ｍ².2
tan 12tan 22tan 12tan 12
22m A
A
n A A -=+×-+- 答案：答案：C C
3、解：由ïîïíì-==+2
cos sin 1cos sin 2
2a a a a 得cos α＝5
5
.
答案：
5
5
4、解：原式＝、解：原式＝tan tan
5p ＋tan 52p ＋tan tan（（π－52p ）＋）＋tan tan tan（（π－5p ）＝）＝tan tan 5
p ＋tan
52p －tan 52p －tan 5p
＝0.
答案：答案：00 5、解：∵、解：∵33π＜θ＜
27p ∴∴23p ＜2q ＜4
7p
又∵又∵sin sin θ＝
53
2
tan 12
tan
22-=+q q
∴tan
2
q
＝－＝－3.3. 答案：－答案：－33
6、解：∵、解：∵22π＜α＜3π ∴∴π＜
2a ＜2
3p
（sin 2a ＋cos 2a ）2＝1＋sin α＝3
4
∴sin
2a ＋cos 2a
＝－332. 答案：－
3
3
2 7、解：cos
85p cos 8p ＝cos （2p ＋8p ）cos 8p ＝－ ＝－sin sin 8p cos 8p ＝－21sin 4p ＝－4
2. 答案：－
4
2 8、解：设θ＋1515°＝°＝α 原式＝原式＝sin sin sin（（α＋6060°）＋°）＋°）＋cos cos cos（（α＋3030°）－°）－3cos α
＝sin αcos60cos60°＋°＋°＋cos cos αsin60sin60°＋°＋°＋cos cos αcos30cos30°－°－°－sin sin αsin30sin30°－°－3cos α＝0. 答案：答案：00 9、解：由π＜θ＜2
3p
得
2p
＜
2q
＜
4
3p
又cos θ＝2cos
2
2q －1＝－5
4 ∴cos
2q
＝－10
10. 答案：－
10
10
1010、解：原式＝、解：原式＝、解：原式＝tan tan tan（（1919°＋°＋°＋262626°）°）（1－tan19tan19°°tan26tan26°）＋°）＋°）＋tan19tan19tan19°°tan26tan26°＝°＝°＝1. 1. 答案：答案：11 1111、解：∵、解：∵、解：∵22α＝（α＋β）＋（α－β）
∴cos2α＝cos cos［［
（α＋β）＋（α－β）］＝－25
7
∵2β＝（α＋β）－（α－β） ∴cos2β＝cos cos［［（α＋β）－（α＋β）］＝－］＝－1.1. 答案：－
25
7
－－1 1212、解：原式＝、解：原式＝、解：原式＝2sin202sin202sin20°＋°＋°＋cos10cos10cos10°＋°＋°＋tan20tan20tan20°°sin10sin10°°
.
360sin 220cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin 20cos 10cos 40sin 20cos )
10sin 20sin 20cos 10(cos 20cos 20sin 2=°=°°°=°°
+°=
°°+°=°
°°+°°+°°=
1313、解：由、解：由sin sin（（x －
43p ）cos cos（（x －4p
）＝－4
1 Þ21［sin sin（（2x －π）＋）＋sin sin sin（－（－2p ）］＝－4
1 Þsin2x ＝－
2
1 Þcos4x ＝1－2sin 2
2x 2x＝
＝2
1. 1414、证明：左边＝、证明：左边＝
2
cos
23cos 2sin
23cos
2cos 2
3sin
2cos
2sin
23
cos 23sin x x
x x
x
x x x x x
-=-
x x x x x x
x 2cos cos
sin 2)cos 2(cos 2
1)
223sin(+=
+-＝右边＝右边.. 1515、解：由条件知、解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2
－4px －2＝1的两根的两根..
∴î
íì-==+3tan tan 4tan tan b a b a p
∴tan tan（（α＋β）＝p p =--)
3(14.
∴原式＝∴原式＝2cos22cos2αcos2β＋tan tan（（α＋β）sin2sin2（（α＋β）＋）＋2sin 2sin 2
2
（α－β）
＝cos2cos2（（α＋β）＋）＋cos2cos2cos2（（α－β）＋）＋2sin 2sin 2（α＋β）＋）＋2sin 2sin 2
（α－β） ＝cos2cos2（（α＋β）＋）＋cos2(cos2(α－β)＋［＋［11－cos2(α＋β)］＋［］＋［11－cos2(α－β)］＝］＝2 2
三角函数训练(五)答案
1、分析：先化简q q 4
4
cos sin +为（.c o s s i n 2)c o s s i n 2
2222q q q q -+即为
.
)c o s (s i n 212
q
q -然后用倍角公式：
.
2
2sin cos sin q
q q =×用5
32cos =q 可得
2516)2(sin 2
=q ∴原式.
25
17254
21=
×-= 答案：C 
2、分析：角2A 与A +4p 不是倍角关系，但)4
(222A A +
=+p p ，故我们可以结合诱导
公式与倍角公式来解决这个问题. 
解：解：
169
119)135(21]1)4(cos 2[)4(2cos )22cos(2sin 22
=´-=-+-=+-=+-=A A A A p
p p 3、分析：因为a 是2a 的半角.所以可以将等式右边用倍角公式展开证得. 
证明：∵
2
tan 2cos 2sin
2cos 22cos
2
sin 2cos 1sin 2
a a
a
a
a
a
a
a ==
×=
+
同理，
2tan 2
cos
2sin
2
cos
2
sin
22
sin 2sin cos 12a a a
a
a
a
a
a
===
- 所以原式成立. 
4、分析：求证一个三角函数式为定值，就是证它等于一个常数.我们发现已知条件算式的左边是两个角的正弦函数相乘的形式，所以我们得用如下公式：
).cos()cos(sin sin 2b a b a b a +--=
证明：∵)]()cos[()]()cos[(b a b a b a b a --+--++
)
sin()sin()cos()cos(b a b a b a b a -+--+=)sin()sin()cos()cos(b a b a b a b a -+--+-
)sin()sin(2b a b a -×+-=
∴3
23
1
2)sin()sin(22cos 2cos -=´
-=-+-=-b a b a b a
∵a b a 4
22
cos sin 2sin 4
1++
)
(32
4121)32(21414121)2cos 2(cos 21)2cos 2(sin 412cos 41
2cos 21412cos 21212sin 41)]2cos 1(21
[)2cos 1(212sin 41222222常数=
++-´+=++-++=+++-+=++-+=b a a a a a b a a b a ∴原命题成立. 
5、分析：本题前半部分实际上是一个给值求角类型题，因此在确定b a 2+范围的前提下，利用两个已知条件，求得b a 2+的某一三角函数值.而要求b a 2+的三角函数值必须用到和角公式，且应找到b 2sin 、b 2cos 与角a 的三角函数值之间的关系. 
解：由已知得：a a b b a cos sin 32sin
sin 21sin
32
2
=-= 即a b 2sin 32cos = ① a a b cos sin 32sin = ② ∴b a b a b a 2sin sin 2cos cos )2cos(-=+
0c o s s i n 3s i n s i n 3c o s 2
=×-×=a
a a a a ∵a 、)2
,
0(p
b Î, ∴
)2
3
,0(2p b a Î+
于是有2
2p
b a =
+，原式成立. 
由①2+②2得：22222)cos sin 3()sin 3(2sin 2cos a a a b b +=+
1sin 9
sin 9)cos (sin sin 92
2
2
2
2
==+=a a a a a 即得 ∵)2,0(p
a Î， ∴3
22sin 1cos 31sin 2
=-==a a a
将91sin 2
=a 代入1sin 2sin 32
2=+b a 得：1sin 2)31(322=+´b
即31sin 2=b ∵)2,0(p b Î ∴33sin =b 3
6
c o s =b
6、分析：此题可用倍角公式化简后再比较.把a =+a a cos sin 的两边平方，则有
a a sin 2sin 2
+a a 2
cos cos +2
2sin 1a =+=a ，同理.2sin 12
b =+b 因,4
0p
b a <
<<所
以,2
220p
b a <
<<则,,2sin 2sin 2
2b a <<b a 而a ＞0,b ＞0,则有a ＜b . 
答案：A 
7、分析：此题主要考查同角三角函数关系及倍角公式
2
2
2
4
4
)cos (sin cos sin q q q q +=+
q
q 2
2cos sin 2-,
9
5)2(sin 2112
=-=q 则
,98)2(sin 2=q 因q 为第三象限角，则,0cos ,0sin <<q q 即.02sin cos sin 2>=×q q q 所
以.3
2
22sin =q 答案：A 
三角函数训练(六)- 三角函数图象和性质答案
1、解析：由
x 是第一象限角推不出sin x 是增函数，如
)6
2sin(3sin ,623
p
p p p
p p
+ñ+
á但； 由sin x 是增函数也推不出x 是第一象限角，如sin x 在区间]0,2
[p
-
是增函数，但
]0,2[p
-
内的所有角都不是第一象限角内的所有角都不是第一象限角. .
答案：答案：D D
2、解析：由点、解析：由点(0(0(0，，1)1)在其图象上，可知在其图象上，可知1＝2sin j ，又｜j ｜＜2
p
，∴j ＝6p .
又∵
1211p ω＋6
p
＝2πÞω＝2. 答案：答案：C C
3、解析：∵、解析：∵arccos arccos 94∈(0(0，，2p )，而x ∈(－2p ，0) ∴x ＝－＝－arccos arccos 9
4
. 答案：答案：A A
4、解析：当x →x －8p 时，时，22x →2(x －8p )＝2x －4
p 答案：答案：D D
5、解析：∵y ＝－＝－cos(2cos(2ωx )，T ＝v
p
22=4p ∴ω＝
4
1.
答案：答案：C C
6、解析：∵y ＝sin(2x ＋2
5p )＝cos2x ，
∴x ＝－
2
p
是它的一条对称轴是它的一条对称轴. . 答案：答案：B B
7、解析：由题意知0＜cos1cos1＜＜1，0＜cos x ≤1,1,∴∴y ≥0. 答案：答案：D D
8、解析：f (x )＝(1(1－－sin 2
x )＋sin x ＝－＝－(sin (sin x －
2
1)2
＋
4
5
由｜由｜sin sin x ｜≤
22，知当sin x ＝－22
时 f (x )ｍｉｎ＝－＝－((－
22－21)2＋4
5＝22
1-. 答案：答案：B B
9、解析：∵f (x )＝sin sin＝＝
2
5p +x =sin(25p
＋2x )＝cos 2
x ｇ(x )＝cos(2x
＋2
5p
)＝－＝－sin sin 2x
答案：答案：D D
三角函数训练(七)- 三角函数图象和性质答案
1、解析：∵点、解析：∵点((x ,y )关于原点的对称点P (－x ，－y )，把P 点坐标逐一代入选择支，知y ＝－x ²sin sin｜
｜x ｜关于原点对称｜关于原点对称. . 答案：答案：B B
2、答案：、答案：3 2 3 3 2 3
3、解析：由2
sin
2cos cos x x x y -=
＝2sin 2cos 2sin 2cos 2
2
2
x x x
x
--＝)42sin(22sin 2cos p +=+x x x , x ≠2k π+2p ＋,k ∈Z
∴y ≠±)42sin(,2p +\x ＜1
∴y ∈(－2，2) 答案：答案：(-(-2，2) 4、答案：π 5 5、解析：∵y ＝4sin(
65p －3p )＝4sin 2
p
＝4，y 取最大值取最大值. .
∴x ＝6
5p 为它的一个对称轴为它的一个对称轴. . 又y ＝sin(65p －613p )＝sin 23p ＝－＝－1 1
∴x ＝6
5p 是对称轴是对称轴. . 答案：①⑤答案：①⑤ 6、解析：当x ∈(k π－
2p ，k π＋2p )时，y ＝2tan x 是增函数是增函数, , 当x ∈(k π－π，k π)时，y ＝cos x 是增函数是增函数, ,
∴当x ∈(k π－
2p ，k π)时，y ＝2tan x 与y =cos x 均是增函数均是增函数. . 答案：答案：((k π-2
p ，k π)k ∈Z 7、答案：35p 2p 5
2p 8、答案：［0，1］ ［［0，2
p ］ 角角 9、答案：、答案：sin4sin4sin4＜＜sin3sin3＜＜sin2
1010、答案：、答案：、答案：||j | |2
j | | 纵纵 扩大到扩大到扩大到 1111、解析：∵、解析：∵y ＝－＝－cos cos 2x ＋3cos x ＋1010＝－＝－＝－(cos (cos x －
23)2＋449 当cos x ＝－＝－11时，y ｍｉｎ
＝6 当cos x ＝1时，y ｍｉｎ＝12
答案：答案：12 6 12 6
1212、解：由题意得、解：由题意得、解：由题意得 )(3
22242)(4324232320tan 1tan 21cos 11tan 01tan 11cos 2Z k k x k k x k k x Z k k x k k x k x x x x x x Î+£ááá-Þïïïî
ïïïíì¹Î+áá-+££-Þïïîïïíì¹-ñ³Þïîïíì¹+ñ+³-p p p p p p p p p p p p p p p 或 1313、解：当、解：当ｂ＞0时
x y b a b a b a 3sin 21212123-=Þïîïíì==Þïïîïíì-=-=+
x b a b a b a b 3sin 21212123,0Þ=ïîïíì-==Þïïî
ïïíì-=+=-á时当 ∴最小值是－∴最小值是－22，最大值是2，T ＝
3
2p A ＝－＝－2(2(ｂ＞0)0)或或2(ｂ＜0＝，f ＝p 23. 1414、解：由已知得：、解：由已知得：、解：由已知得：
3)3sin(2)(3232232372132)0()(7)2()3()3sin()(+p -=Þîíì==Þïïîïïíì=-++=++Þïïïî
ïïïíì=-p =p +p +p -=x x f B A B A B A B A B f f f f B x A x f 1515、解：由、解：由x ＝sin θ＋cos θÞx 2＝1＋2sin θcos θÞsin θcos θ＝
212-x ∴y ＝f (x )＝sin θcos θ＝2
12-x 又x ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋
4p ) 而｜而｜sin(sin(θ＋4
p )｜≤｜≤1 1 1 ∴｜∴｜x ｜≤2， ∴y ＝f (x )＝2
1x 2－21，x ∈［－2，2］． 三角函数训练(八)- 正、余弦定理答案
1、分析：利用正弦定理的变式a =2R sin A ,b =2R sin B . 
证明：设△ABC 的外接圆半径为R . 
∵C =2B ,sin(B+C )=sin A
ab
B A R B
C B C R B C B C B C B C R B C B C R B C R b c ==-+×=+-×-+×=-+=-=-\sin sin 4 )
sin()sin(4 2
cos 2sin 22cos 2sin 24 )
sin )(sin sin (sin 4 )sin (sin 422222
2222 则原式成立. 
2、分析：由已知可求tan A +tan B ,这样可求得tan A 和tan B 的值.只需求sin A 、sin B 的值，就可利用正弦定理求a 、b.
解：∵tan A +tan B =tan(A +B )²(1－tan A tan B ) 
=－tan C (1－tan A tan B ) 
=－tan 4
p (1－6)=5 又∵tan A ²tan B =6,且a ＞b ，则tan A ＞tan B
∴tan A =3,tan B =2 
则5
52sin ,1010
3sin ==B A 由正弦定理，得51062
21010
322sin sin =×==C A c a
5
2422558510621sin 2155
82
2
55222sin sin =×××===×
==D C ab S C B c b ABC 3、分析：综合利用同角三角函数关系式、正弦定理和三角形的面积公式进行计算. 解：∵tan B =21,∴sin B =5
52cos ,55=B 又∵tan C =－2,5
5cos ,55
2sin -==\C C b B
A b a B
b A a C
B C B C B A 53sin sin sin sin 53552552)55(5
5 sin cos cos sin )sin(sin ==\==×+-×=+=+= 则
则S ΔABC =15
525321sin 212=××=b C ab 解得3,315==a b 则
1522=，则则2
12-=-+bc a c b －21
,41sin 3=+
6、分析：本题考查学生分析题意，运用三角知识进行三角变换及发掘三角形中隐含条件的能力.要解决这个问题，必须具备一些相关知识，包括正弦定理、诱导公式、和差化积、同角三角函数基本关系、倍角公式等知识，因此，这是一道较综合的考题从已知条件出发，可将边的关系运用正弦定理化为角的关系，然后进行正确的三角变换，从而将此问题解决. 
解：∵a+c =2b ,∴sin A +sin C =2sin B
由和差化积公式得2cos 2sin 42cos 2sin 2B B C
A C
A =-+
8
394134322cos 2sin 2sin 4
132sin 12cos 204
32sin 2sin 2233,02cos 2sin
2=´´===-=\<
<==\=->=+B
B B B B B B B
C A B C A 于是即p p 7、分析：先用正弦定理：
C c B b A a sin sin sin ==可求出a ∶b ∶c =3∶2∶4， 所以可设a =3k ,b =2k ,c =4k ,再用余弦定理：
k k k k k C ab c
b a C 2321649cos 2cos 222222××-+=-+=可得 即.4
1cos -=C 答案：A 
8、分析：先画图，再利用正弦定理求解. 
解：如图所示，∠SMN =15°+30°=45°
∠SNM =180°－45°－30°=105°
∴∠NSM=180°－45°－105°=30°
)26(2021)26(10)
26(10105sin 2030sin -=¸--=\°
=°MN MN 由正弦定理
答：货轮的速度为)26(20-里/小时
. 。