等边三角形的性质习题精选附答案

等边三角形的性质习题精
选
一．选择题（共 14 小题） 1．（2005?郴州）附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形 当最小的等边三角形边长为 六边形的周长为（ ） cm ． 2345 A 2． 2 cm 时，这个
30
B 40 ． 50 D 60 （2009?江干区模拟）如图，△ AB
C 中，AB=AC △ DEF 为等边三角形，则 a 、B 、丫
之间的关系为（
BCD 如图，等边△ ABC 的边长为4, AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点, ） C 30° A
3. 取得最小值时，则/ ECF 的度数为（
A 15°
B ° E 是A
C 边上一点，若AE=2当EF+CF
4 •如图，△ ABC 是等边三角形，P 是BC 上任意一点,
BDEC 的周长为L 2,则L 1与L 2的大小关系是（ ）
A L l =L 2
B L 1> L 2 D PDIAB 45° PE1 A
C 连接 DE 记^ ADE 的周长为L i ，四边形
D 5 •如图，△ ABC 为边长是5的等边三角形，点
E 在AC 边上， 的长是
（ ） A B C 20+10 D L 2> L I 无法确定 点 F 在 AB 边上，EDI BC 且 ED=AE DF=AF 贝U CE 20 - 10 6.如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问 右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ 7910 阴影部分面积 B 大 如图，等边三角形 空白部分面积 C 一样大 大 ABC 内有一点P,过点P 向三边作垂线, ） 192 不确定 7． △ ABC 的面积等于（ A 190 8．在边长为 取的点至少应有
A 4 个
9.如图，已知等边^ ABC 外有一点P , P 落在/ ABC 内，设点 满足h 2+h 3 -
h i =6，那么等边△ ABC 的面积为（ ） 垂足分别为 S 、Q R,且PQ=6 PR=8 PS=10,则 B 2cm 的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于 ） B 5 个
C 194 A 12 B 9 C 8 10. 如图所示，△ ABC 为正三角形，P 是BC 上的一点， n 则有（ A
11. 如图， 121314 A1 12.
如图， 196 1cm 的两点，那么 7个 P 到BC CA AB 三边的距离分别为 h 1、h 2、h 3,且
D PMIAB PNIAC 设四边形 AMPN △ ABC 的周长分别为 m BC AC=BC AC! BC 于 C, AB=AD=BD CD=CE=D.
E 若 AB=贝U BE=( ) B 2 C 3 D, E ,
F 为等边三角形 ABC 三边中点, ） D4 AE 、BF 、CD 交于 O DE EF ,
FD 为三条中位线，则图中能数出
不同的直角三角形的个数是（ A 36 B 32 C 30 13. 如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为 （） A 100
14. 在凸四边形 A 120° D 28 25 则大正三角形的周长是
B 60
C 100
D 60 ABCD 中, DA=DB=DC=BC 则这个四边形中最大角的度数是( B 135° C 150° D 165°
二.填空题（共9小题） 15. （2007?沈阳）如图，△ ABC 是边长为3的等边三角形，△ BDC 是等腰三角形，且/ BDC=120 .以 D 为顶点作一 个60°角，使其两边分别交 AB 于点M 交AC 于点N,连接MN 则△AMN 的周长为 ____________________________________________________ . 16. （2012?南开区一模）如图，将边长为
3+的等边△ ABC 折叠，折痕为DE 点B 与点F 重合，EF 和DF 分别交AC 于点M N DF 丄AB 垂足为 D, AD=1，则重叠部分的面积为 __________________________ . 17.如右图， 等边△ OEF ON 在 OA 上. 以等边△ OAB 的高0C 为边向逆时针方向作等边△ OCD CD 交0B 于点E ,再以0E 为边向逆时针方向作 EF 交0D 于点G 再以0G 为边向逆时针方向作等边△ OGH …，按此方法操作，最终得到△ OMN 此时 若 AB=1,贝U 0N= . 18 .已知正^ ABC 的面积是1 ,卩是^ ABC 内一点，并且△ PAB △ PBC △ PCA 的面积相等，那么满足条件的点 P 共 有 _ _ 个；△ PAB 的面积是 _ _ . 19.如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为
长为 _________________ . 20. 如图所示，直线 AB CD 相交于点 O.若OM=ON=MN 那么/ APQ #CQP= 21. 在正△ ABC 中（如图），D 为AC 上一点，E 为AB 上一点，BD , CE 相交于P,若四边形 ADPE 与△ BPC 的面积相等， 那E 么/ BPE= _ _ . 22 22.如图，平行于 BC 的线段MN 把等边△A BC 分成一个三角形和一个四边形，已知△ AMN 和四边形MBCN 勺周长相 等，贝U BC 与MN 的长度之比是 ________________________________________ . 23.
______________________________________________________________________________________ 正三角形ABC 的边长BC=2,以该等边三角形的高 AD 为正方形的边长，则正方形的面积为 _______________________________________________ . 三.解答题（共 24. 阅读材料： 如图，△ ABC 中， S ^AB F +S ^AC[=S ^ABC （1） 类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 P 的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任 点”，即：已知等边^ ABC 内任意一点P 到各边的距离分别为「1, （定值）.
（2） 理解与应用
△ ABC 中，/ C=9C ° , AB=10, AC=8 BC=6 △ ABC 内部是否存在一点 “存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离 r 的值， 1、3、5，则这个等边三角形的边 7小题） AB=AC P 为底边BC 上任意一点，点 P 到两腰的距离分别为 r i ,「2,腰上的高为h ，连接AP,则 即：，「.r 1+r 2=h （定值）.
「2,「3,等边△ ABC 的高为h ,试证明r 1+r 2+r 3=h O,点O 到各边的距离相等？ ______________________ （填 r= _____________ .若不存在，请说明理由.
25.小明在找等边三角形ABC —边的三等分点时，他是这样做的，先做/ ABC / ACB 的角平分线并且相交于点O, 然后做线段BO CO的垂直平分线，分别交BC于E、F,他说：“E、F就是BC边的三等分点.”你同意他的说法吗？请说明你的理由.
26.在等边^ ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD
(1)请说明DB=DE的理由.
(2)若等边△ ABC的边长为4cm,求^ BDE的面积.
27.如图，设0为^ ABC 内一点，且/ AOBM BOCMCOA=120, P 为任意一点(不是C).求证：PA+P B+ P&OA+OB+OC
28 .如图，等边△ ABC D E分别在BC AC上，且CD=AE AD BE相交于点P,试求/ BPD的度数.
29．阅读下列材料，解答相应问题：
已知△ ABC是等边三角形，AD是高，设AD=h点P (不与点A、B、C重合)到AB的距离PE=h，到AC的距离PF=h2, 到BC的距离PH=h.
如图1,当点P与点D重合时，我们容易发现：h i=h, h2=h，因此得到：h i+h2=h.
小明同学大胆猜想提出问题：如图2,若点P在BC边上，但不与点D重合，结论
得到了肯定的答案．证明如下：证明：如图3,连接AP．
h什h2=h还成立吗？通过证明，他-•S△ABC=S^ABF+S^APC 设等边三角形的边长AB=BC=CA=a
•/ ADI BC PE!AB PF丄AC
•B C?AD=AB?PE+AC?PF
•a?h=a?h 1+a?h2.
•h1+h2=h.
(1)进一步猜想：当点P在BC的延长线上，上述结论还成立吗？若成立，请你证明；h 之间的数量关系，并证明. (借助答题卡上的图4)
(2)我们容易知道，当点P在CB的延长线及直线AB, AC上时，情况与前述类似，
若不成立，请猜想h i, h2与
这里不再说明．
继续猜想,你会进一步提出怎样的问题呢？请在答题卡上借助图 5 画出示意图,写出你提出的问题,并直接写出结
论,不必证明.
30.如图△ ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使^ DPQ的周长最小？并求出这个最值.
等边三角形的性质习题精选
参考答案与试题解析
一.选择题(共 14 小题)
1. (2005?郴州)附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为 六边形的周长为( ) cm .
•••六边形周长是 2x+2 (x+2) +2 (x+2X 2) + (x+3X 2) =7 x+18 ,
•/ AF=2AB 即 x+6=2x , • x=6cm ，
•周长为 7 x+18=60cm . 故选 D
结合等边三角形的性质，解一元一次方程，关键是要找出其中的等量关系.
2. (2009?江干区模拟)如图，△ AB C 中，AB=AC △ DEF 为等边三角形，则• ••/2-/ 1=/a-/Y,
•••等边△ DEF •/ 5=/ 3=60°, •••/ 2+/a =/ 1+/3 =120°,
• •/ 2 -/ 1=/3-/a, • ••/%-/丫 =/3-/a, • - 2/a =/3 +/Y , -- a =, 故选 B .
本题主要考查对三角形的内角和定理,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,邻补角的定义等知识点的 理解和掌握，能推出/ 2-/ 1=/a-/Y
和/2-/ 1=/3-/a 是解此题的关键.
A ．30
B ．40
C ． 50
D ．60
考点 ： V 八、、•
专题 ：
分析： 解答： 等边三角形的性质. 压轴题；规律型. 因为每个三角形都是等边的, 则
等边三角形的边长依次为 +2 (X+2X 2) + (X+3X 2) 得周长.
解：设 AB=x , -等边三角形的边
长依次为
从其中一个三角形入手，比右下角的以AB 为边的三角形，设它的边长为x ,
x , x+x+2 , x+2, x+2X 2, x+2X 2, x+3X 2.所以六边形周长是 2x+2 ( x+2)
=7 x+18,而最大的三角形的边长
AF 等于AB 的2倍，所以可以求出x ，则可求
x, x+x+2 , x+2, X+2X 2, X+2X 2, x+3X
2, 2 cm 时，这个
点评： A .
B .
C .
D .
考点 ：
专题 ： 分析： 解答： 等边三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；等腰三角形的性质. 证明题. 根据等腰三角形的性质推出/ B=/ C,根据三角形的内角和定理求出/ 2-/ 1=/a-/Y ，根据等边三角 形的性质和邻补角定义求出/ 2-/ 1=/3-/a ，代入上式即可求出答案.
解：••• AB=AC
•/ B=/ C ,
•••/ 2+/丫 =/ 1+/
a,
a 、B 、丫之间的关系为(
点评：
3.如图，等边△ ABC 的边长为4, AD 是BC 边上的中线, 取得最小值时，则/ ECF 的度数为（
）
F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点，若 AE=2,当EF+CF
轴对称- 最短路线问题；等边三角形的性质.
过E 作EM/ BC 交AD 于N,连接CM 交AD 于F , 等边三角
形性质求出/ ACM 即可求出答案.
解：
过E 作EM/ BC 交AD 于N ,
•/ AC=4 AE=2 , ••• EC=2=AE ••• AM=BM=2 • AM=AE
••• AD 是BC 边上的中线，△ ABC 是等边三角形， ••• ADI BC •/ EM/ BC • ADI EM •/ AM =AE
• E 和M 关于AD 对称， 连接CM 交AD 于F ,连接EF , 则此时EF+CF 的值最小， •••△ ABC 是等边三角形， •••/ ACB=60 , AC=BC •/ AM =BM
•••/ ECF=^ ACB=30 , 故选 C .
本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知 识点的应用.
等边三角形的性质；三角形三边关系. 计算题.
等边三角形各内角为 60°,故/ B=/ C=60，即可求得 解：•••等边三
角形各内角为
60°, • / B=/ C=60 ,
•// BPDdCPE=30 ,
•••在 Rt △ BDP 和 Rt △ CEP 中，
• BP=2BD , CP=2CE , • BD+CE=B ,C
• AD+AE=AB+AC - BC=BC , • BD+CE+BC=,BC L 1=BC+DE , L 2=BC+DE ,
即得 L 1=L 2, 故选 A .
A ． 15
B ．
C . 30°
D ．45°
考点 ： 分析： 解答： 连接EF ,推出M 为AB 中点，求出E 和M 关于AD 对称，根据
点评： 4.如图，△ ABC 是等边三角形，P 是BC 上任意一点，PDIAB 的周长为L 2,贝y L I 与L 2的大小关系是（ ）
PE1 AC 连接 DE 记^ ADE 的周长为L i ,四边形BDEC A ． L l =L 2
B ． L 1> L 2 C. L 2> L I D.无法确定
考点 ： V
八、、• 专题： BP=2BD CP=2CE 二 BD+CE=BC 即可求得 L i =L 2.
点评： 本题考查了直角三角形中特殊角的正弦函数值，考查了等边三角形各边相等的性质，本题中求证
L 2=BC+DE 是解题的关键.
5•如图，△ ABC 为边长是5的等边三角形，点 E 在AC 边上，点F 在AB 边上，EDI BC ,且 ED=AE 长是（
等边三角形的性质. 计算题.
根据三角形面积的不同计算方法可以求得
PQ+PS+PR=AD 根据AD 的值即可求得BC 的值，根据BC AD 的值即
可计算等边△ ABC 的面积.
解：连接AP 、BP 、CP,过点A 作ADIBC 于D,
A ．
B ．
C ． 20+10 D. 20 - 10 考点 ： 专题 ： 分析： 解答： 点评： 等边三角形的性质. 计算题. 根据EDI BC 可得/ CED=30 ,即可求得EC 与 E
D 的关系，设DE=x 则AE=x 根据D
E 即可计算 即可计算x 的值，根据CE=AC- AE 即可求CE 的值. 解：••• EDI BC / C=60 , •••/ CED=30 , 设 DE=x 则 AE=x , 且 CE=x 又••• AE+CE=5
• x+x=5 解得 x=10- 15
• CE=5-（ 10- 15）=20- 10. 故选 D . 本题考查了特殊角的正弦值， 等边三角形各内角为 60°的性质，本题中根据AE CE 求x 的值是解题的关键.
CE 根据 AE+CE=5
6.如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右 边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ ） A . 阴 影部分面积 B . 空白部分面积 C . 一样大 大大
D . 不 确定 考点 ： 分析： 解答： 等边三角形的性质. 根据等边三角形的性质及三角形的中位线定理解答即可. 解：如图，••• D
E 、
F 分别为三角形三边的中点，△ ABC 为等边三角形, ••• AD=BD=BF=CF=AE=EC=DE=EF=DF •••△ ADE^A DBF^A EFC^A FED •阴影部分面积与空白部分面积一样大. 故选 C . 点评： 此题比较简单， 解答此题的关键是熟知三角形的中位线定理及等边三角形的性质. 7.如图， 等边三角形 的面积等于（ ） ABC 内有一点 P ,过点P 向三边作垂线， 垂足分别为 S 、Q R,且PQ=6 PR=8 PS=10,则^ ABC
A . 190
B . 192
C . 194
D . 196
L 1=BC+DE ，
DF=AF 贝U CE 的
考点 ： V
八、、• 专题 ： 解答：
等边三角形面积 S=BC?（ PQ+PR+P ）S =BC?AD 故 PQ+PR+PS=A ，D
••• AD=6+8+10=24
•// ABC=60
••• AB=24< =16,
•••△ ABC 的面积 S=BC?AD =X 24 X 16=192,
故选 B .
点评： 本题考查了等边三角形面积的计算，考查了等边三角形高线与边的关系，本题中求证 关键.
9.如图，已知等边△ ABC 外有一点P , P 落在/ ABC 内，设点P 到BC CA AB 三边的距离分别为 h i 、h 2、h 3,且满 足h 2+h 3- h i =6，那么等边
△ ABC 的面积为(
)
考点 ：等边三角形的性质. 专题：计算题.
分析： 根据等边三角形的面积即可计算 ( 即可求得^ ABC 的面积，即可解题.
解答：解：设等边△ ABC 的边长为a ，连接PA PB PC, 贝y S APAB +S APAC — S APBC F S X ABC
2
从而 ah 3+ah 2- ah 1=a ，
2
即 a ( h 3+h 2- h 1) =a 2
， •.•( h 3+h 2 - h 1) =6，
• a=4，
2
• S /x ABF a =12.
故选 A .
PQ+PR+P S=A 是 解题的 &在边长为2cm 的等边三角形内，随意取一些点，如果要保证所取的点中一定存在距离小于 的点至少应有( ) A . 4 个
B . 5 个
1cm 的两点，那么取
C. 6个
D ． 7 个
考点 ： 专题： 分析： 解答： 点评：
等边三角形的性质. 计算题；开放型.
把三角形每条边分成 n 份，相应点之间连线，则可把三角形分成分成 的个数多 1 可以保证至少有两个点落在同一小三角形内，即可解题. 解：把三角形每条边分成 n 份，相应点之间连
线，
2
可以把三角形分成n 个边长为的小三角形， n 2
+1 个点可以保证至少有两个点落在同一个小三
角形内， 所以那两个点的距离是不超过的，
2
•取得点至少为 n 2
+1， 当根据题意 n=2，
2
•n+1=5. 故选 B .
本题考查了等边三角形各边长相等的性质，学生探究发现规律的能力，本题中构建 键.
n 2
个边长为的小三角形，则比三角形
n 2
个三角形是解题的关
A . 12
B . 9
C . 8
D . 4
(h 3+h 2-h i )是等边三角形ABC 的高，根据等边三角形的高即可求得
BC 的值,
点评： 本题考查了等边三角形面积的计算,等边三角形高线长与边长的关系,本题中根据等边三角形的高计算等边 三角形的面积是解题的关键.
10.如图所示,△ ABC 为正三角形，P 是BC 上的一点，PMLAB PNIAC 设四边形 AMPN △ ABC 的周长分别为m 、n , )
12 .如图，D, E , F 为等边三角形 ABC 三边中点，AE BF 、CD 交于O, DE, EF, FD 为三条中位线，则图中能数出不
同的直角三角形的个数是(
考点： 等边三角形的性质． 专题： 证明题．
则有(
A ．
B ．
C ．
D ．
考点 ： 专题 ： 分析： 解答： 等边三角形的性质. 计算题.
设BM=x CN=y 用X 、y 分别表示 m n 的值，化简 m n 的表达式，可得四边形 可以解题.
解 ：设 BM=X ，CN=y
则 BP=2X ，PC=2y ，PM=X ，PN=y
AM+AN=2BC ( BM+CN =3 (x+y ),
故=
AMPN ^ ABC 的周长的比值,
点评： 故选 D .
本题考查了等边三角形各内角为 60°的性质,等边三角形周长的计算,本题中用 的关键.
x 、y 表示 m 、 n 的值是解题
11.如图，AC=BC ACIBC 于 C, AB=AD=BD CD=CE=D.E 若 AB=贝U BE=( )
A ．
B ．2
C ．3
D ．4
考点 ： V
八、、• 解答：
等边三角形的性质.
计算题.
根据等边三角形边长相等的性质，可以证明△ ACD^^ BED 故 AC=BE 已知AB 的长 即可解题.
解：•••/ ADC # CDB=60 , / CDB # BDE=60 ,
•••/ ADCM BDE 在^ ACD 和△ BED 中，
根据勾股定理即可求 AC
点评： •••△ AC dA BED ••• AC=BE •/ AC=BC AB=
• AC=BC=1 •
BE=1．
故选 A ．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用， 求证
△ ACdA BED 是解题的关键.
全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，
本题中
A ．36
B ．32
C ． 30
D ．28
根据等边三角形的“三线合一”的性质来找直角三角形. 解：①••• DE EF , FD 为等边△ ABC 三条中位线，
••• AB=AC=BC ••• EFAB EDAC
•••四边形CEDF 是菱形，
••• EF 丄 CD
•••在菱形 CEDF 中有 6 个不同的直角三角形：Rt △ CEG Rt △ CFG Rt △ DGE Rt △ DFG Rt △ EOG Rt △ FOG 同理，在菱形
ADEF 菱形BEFD 中各有6个不同的直角三角形；
②•••D 为等边三角形 ABC 三边中点，
••• CD! AB
•△ ADC 同理，以
综上所述，
故选 C .
本题考查了等边三角形的性质.解题时，充分利用了三角形中位线定理 等边三角形的“三线合一”的性质.
13.如图，由四个全等的正三角形砌成一个大的正三角形，如果小正三角形的面积为
(
等边三角形的性质.
计算题. 根据三角形面积公式和中位线定理求解. 解：设小三角形的边长为 a . •小三角形的面积为 a 2
sin60 °=25，解得 a=10
•••正三角形的三条中位线构成一个小的正三角形 •大三角形的边长为小三角形边长的 2 倍，为 2a •••大的正三角形的周长为 2ax 3=6a=6X 10=60.
故选 D .
考查了学生对三角形面积公式和中位线定理的掌握和理解.
14.在凸四边形 ABCD 中, DA=DB=DC=BC 则这个四边形中最大角的度数是(
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质. 计算题.
设/CDA=x / ABC=y 根据 DA=DB=DC=BC 求得 x=2y ，由四边形的内角和是 360° 得/ BAC=360 -/ DBA- / DCA-/ BDC 解得即可得
出答案.
解；设/ CDA=x ,/ ABC=y
•/ DA =DB =DC =BC •••/ BDCM DBCM DCB=60 , / DBAd DAB / DAg DCA
•// DBA / BAD / BDA=180 , • 60°- x+2(60° +y ) =180°， 即 x=2y ，
/ BAC=36°0 -/ DBA -/ DCA -/ BDC ，
=360°-( 60° +y )-- 60°，
分析： 解答： 点评：
△ BDC AOD △ BOD 是直角三角形； BF 、AE 为直角边的三角形各有 4个；
图中能数出的直角三角形由 6X 3+4X 3=30 (个);
25，则大正三角形的周长是
A ． 100
B ．60
C ． 100
D ．60
考点 ：
V
八、、•
专题 ： 分析：
点评： A . 120°
B . 135°
C . 150°
D . 165°
考点 ： 专题： 分析： 解答：
=150°.
点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和等边三角形性质的理解和掌握, 和/ABC 之间的关
系，
进一步求出结果.
二.填空题（共9小题）
15. （2007?沈阳）如图，△ ABC 是边长为3的等边三角形，△ BDC 是等腰三角形，且/ BDC=120 .以 D 为顶点作一 个60
等边三角形的性质.
压轴题.
要求△AMN 的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所
以需要作辅助线，延长 AB 至F ，使BF=CN 连接DF ，通过证明^ BDF^A CND 及△ DMI^A DMF 从而得出 MN=MF △ AMN 的周长等于
AB+AC 的长.
解：•••△ BDC 是等腰三角形，且/ BDC=120
•••/ BCD M DBC=30
•••△ ABC 是边长为3的等边三角形 •••/ ABC=^ BAC=^ BCA=60 •••/ DBA=^ DCA=90
延长AB 至F ，使BF=CN 连接DE
在 Rt △ BDF 和 Rt △ CND 中，BF=CN DB=DC
•••△ BDF^A CND •••/ BDF=^ CDN DF=DN •••/ MDN=6° •••/ BDM £ CDN=60
•••/ BDM £ BDF=60，/ FDM=60 =/MDN DM 为公共边 •••△ DM ^A DMF ••• MN=MF •••△ AMN 的周长
是：
此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键.
16. （2012?南开区一模）如图，将边长为 3+的等边△ ABC 折叠，折痕为 DE 点B 与点F 重合，EF 和DF 分别交AC
于点M N DF 丄AB 垂足为 D, AD=1，则重叠部分的面积为 _________________ .
翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质. 压轴题.
观察图形可知重叠部分的面积即是△ DEF 的面积减去△ MNF 的面积.由折叠的性质，可求得
/ BDE=^ EDF=45 ,由四边形的内角和为 360°,求得/ BEF 为150°,得到/CEM 为30°,则可证得/ EMC 为90°;作^ BDE 的高，根据45。

与60°的三角函数，借助于方程即可求得其高的值，则各三角形的面 积可解. 解：过点E 作EGL AB 于G
•••/ EGB=90 ,
•••△ ABC 是等边三角形，
•••/ A=/ B=/ C=60 , AB=BC=AC=3+ 根据题意得：/ BDE=^ FDE / F=/ B=60, •••DF 丄 AB
此题的关键是有已知条件得到/ CAD 角，使其两边分别交 AB 于点M 交AC 于点N,连接MN 则△AMN 的周长为 6
考占:
V
八、、
解答:
点评:
AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6
考点： 专题: 分析：
解答:
•••/ FDB=90 ,
•••/ BEF=360 -/ B-/ F-/ BDF=150 , / BDE=^ FDE2 FDB=45
•••/ MEC=180 -/ BEF=30 , •••/ EMC=180 -/ C-/ EMC=90 ,
在 Rt △ ADN 中，AD=1, tan / A=tan60 ° ==
••• DN=
• •S △ADf =AD?DN)= 1 X =,
在^ BDE 中，DB=A - AD=3+— 1=2+,
•••/ EDG=45 , •••/ DEG=45 , ••• DG=EG
■/ tan / B=tan60° ==, 设 EG=x 贝U DG=x BG=x
•• x+x=2+,
解得：x=,
••• EG=DG=
•S △BDE =BD?EGX ( 2+)X =,
•••/ B=/ C=/ F=60°,
••• BE==+1 ••• EC=B G BE=2
•••/ BED / FED=180 -/ B-/ BDE=75 , •••/ FNM / MEC=30 , •••/ FMN / EMC=90 , • EM=EC?cos30=, • FM=EF EM=BE EM=1 • MN=FM?ta n60=,
•S 四边形 MND =S ^DEF - S ^MN =S ^BDE- S ^MNf = -X 1 X =.
点评：此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识•此题综合性很强，解题的关键是 抓住数形结合思想的应用.
17.如右图，以等边^ OAB 的高0C 为边向逆时针方向作等边△ OCD CD 交0B 于点E ,再以0E 为边向逆时针方向作 等边△ OEF EF 交0D 于点G
再以0G 为边向逆时针方向作等边△ OGH …，按此方法操作，最终得到△ OMN 此时 ON 在 0A 上.若 AB=1,贝U 0N= ()
10
.
等边三角形的性质.
压轴题；规律型.
利用正三角形的性质和正三角形的边长求得 0C 的长，然后逆时针旋转 30°后可以求得 OE 的长，直至线段
ON 与线段OA 重合，一共旋转了 12次，从而可以求得 ON 的长.
解：•••OC 为等边三角形的高，且等边三角形的边长为
1,
••• NC=
•••△ OCD 为等边三角形， •••/ OCD=60 ,
•••OEL CD
•- 0E ==()
,
以此类推，当ON 与OA 重合时，一共旋转了 10次，
• ON 的长为()10
, 故答案为()10
本题考查了正三角形的性质，解题的关键是正确地得到一共旋转了多少次.
考占: V
八、、解答: 点评:
18 .已知正^ ABC 的面积是1 ,卩是^ ABC 内一点，并且△ PAB △ PBC △ PCA 的面积相等，那么满足条件的点
P 共
有 1个；△PAB 的面积是
.
等边三角形的性质；三角形的面积. 计算题.
根据三角形面积的计算和△ PAB △ PBC △ PCA 的面积相等可得 P 到AB BC AC 的距离相等，故 P 点为等 边三角形三个角平分线的交点，
故
P 点只有一个，且△ PAB 的面积为等边△ ABC 面积的.
解：•••△ PAB △ PBC △ PCA 的面积相等， AB=BC=AC
•••P 到AB BC AC 的距离相等，
故点P 为等边三角形三角平分线的交点， 等边三角形三角平分线交于一点， 故点P 只有一个， 且△PAB 的面积为. 故答案为：1,
本题考查了等边三角形各边长相等的性质，
三角形面积的计算，本题中求得P 点是等边三角形三个角平分线
的交点是解题的关键.
19•如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为 为 .
等边三角形的性质；三角形的面积.
计算题.
作AML BC 根据等边三角形的面积计算可以求得
AM=PE+PD+PF 再根据等边三角形的高线长可以计算等边
三角形的边长，即可解题.
解：过A 作AMLBC 贝U AM 为BC 边上的高，
连接 PA 、PB PC,
则^ ABC 的面积 S=BC?AM=BC?PD+AB?PF+AC?PE
••• BC?AM=BC ?P D+AB ?PF+AC ?PE
•••△ ABC 是等边三角形，
••• AB=BC=AC
••• BC?AM=BC? PD+BC? PF+BC? PE=BCD+PF+P ) ••• PD+PE+PF=AM
•••△ ABC 的高为：1+3+5=9, •••△ ABC 的边长为：AB===9< =6, 故答案为6.
本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形边长和高线长的关系，本题中求 关键. 20 .如图所示，直线 AB CD 相交于点 O.若OM=ON=M 用E 么/ APQ # CQP= 240°
等边三角形的性质；三角形的外角性质.
计算题.
根据OM=ON=MN 可判定△ OMN 为等边三角形，根据等边三角形各内角为 60°的性质，可求得/ OPQ £ OQP 的 值，进而根据/ APQ ^CQP=360
-(/ OPQ 乂 OQP 即可解题.
解：••• OM=ON=MN
考点： 专题: 分析： 解答: 点评: 1、3、5，则这个等边三角形的边长
考占: V
八、、解答: 点评: AM=PD+P E+P 是 解题的
考占: V
八、、解答:
•••三角形OMN 为正三角形，
所以/APQ /CQP (180°-/ OPQ =360°- ( / OPQ / OQP , =360°-( 180°-/
POQ ,
=180° +60° , =240°.
故答案为：240°.
点评：本题考查了等边三角形各内角为
60 (/OPQ / OQP 是解题的关键.
21.在正△ ABC 中(如图)，D 为AC 上一点,
BPE= 60° .
等边三角形的性质；三角形的面积. 计算题.
根据可以证明 AD=BE 即AE=CD 即可证△ ACE^A BCD 可得/ DBCM ACE 根据/ BPE=^ BCE £ DBC / ACEk BCE=60即可求得/ BPE=^
ACB 即可解题.
解：•••△ ABD 的面积=四边形ADPE 的面积+△ BPE 的面积
△ BCE 的面积=三角形BPC 的面积+△ BPE 的面积 四边形ADPE 与△BPC 的面积相等，
••• AD=BE 即 AE=CD
又••• AC=BC / BACk ACB=60
•••△ ACE^A BCD •••k DBC k ACE
又•••/ BPEk BCE-k DBC / ACEk BCE=60 ,
•••k BPE k ACB=60 ,
故答案为60°.
本题考查了三角形面积的计算，考查了等边三角形各内角为
60°的性质，考查了全等三角形的证明和全等三
角形对应角相等的性质，本题中求证△ ACE^A BCD 是解题的关键.
22.
如图，平行于BC 的线段MN 把等边△ ABC 分成一个三角形和一个四边形， 已知△AMN 和四边形MBCN 勺周长相等,
则BC 与MN 的长度之比是 4: 3
.
等边三角形的性质.
计算题.
设=门，根据平行于BC 的线段MN 把等边△ ABC 分成一个三角形和一个四边形和△ AMN 和四边形MBC 的周长相等, 得出3AM=AM+BC+2BM
然后整理此等式即可得出答案.
解：设==n ,
•/ 3AM=AM+BC+2B ^ ABC 为等边三角形，
••• BM=A - AM=BG AM, ••• 2AM=+2( BC - AM ,
即 2AM=+2 (- AM ,
••• 2AM=+2AM - 1),
即 2=+- 2,
4=.
••• BC 与MN 的长度之比是 4: 3.
+ (180°-/ OQP ,
的性质，考查了外角的定义，本题中求得/ APQ /CQP=360 -
E 为AB 上一点，BD CE 相交于P,若四边形 ADPE 与ABPC 的面积相等,
那么/ 考点： 专题: 分析： 解答: 点评:
考占: V
八、、解答:
故答案为：4: 3.
点评：此题主要考查等边三件形的性质这一知识点，解答此题的关键是设
=n 利用等边三角形的性质和△ AMN 和四边
形MBCN 勺周长相等，列出3AM=AM+BC+2B 这样一个等式，然后整理即可.此题有一定的拔高难度，属于难题.
23. 正三角形ABC 的边长BC=2以该等边三角形的高 AD 为正方形的边长，则正方形的面积为
等边三角形的性质. 计算题. 根据等边三角形三线合一的性质可得 D 为BC 的中点，即BD=CD 在直角三角形 ABD 中，已知AB BD,根据
勾股定理即可求得 AD 的长，即可求正方形的面积，即可解题.
解：•••等边三角形三线合一，
•••D 为BC 的中点，即 BD=DC=1 ••• AD==
•••正方形的面积为X =3. 故答案为3.
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，正方形面积的计算，本题中根据勾股定理计算 的关键.
考点： 专题:
分析： 解答:
点评:
AD 的值是解题
三.解答题（共7小题）
24.阅读材料：
如图，△ ABC 中，AB=AC P 为底边BC 上任意一点，点 P 到两腰的距离分别为 「1,「2,腰上的高为h ，连接AP,贝9 S ^ABF +S ^AC [=S ^ABC 即:,.・.r 什r 2=h （定值）. （1）
类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么 点”，即：已知等边^ （定值）. （2）
理解与应用
△ ABC 中，/ C=90 , 在”或
P 的位置可以由 ABC 内任意一点P 到各边的距离分别为「1, “在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一
r 2, r 3,等边△ ABC 的咼为h ,试证明r 1+r 2+r 3=h
“不存在”）， AB=10, AC=8 BC=6, △ ABC 内部是否存在一点 若
存在，请直接写出这个距离
r 的值，r=
0,点0到各边的距离相等？ 存在 （填“存
2 .若不存在，请说明理由.
考点： 分析：
解答:
等边三角形的性质；三角形的面积；等腰三角形的性质. （1） 连接AP, BP, CP •根据三角形 ABC 的面积的两种计算方法进行证明;
（2） 根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行求作. 证明：（1）连接 AP, BP,
CP. （2 分）
则
S
^ABP
+S
\BCF +S ^ACI =S ^ABC, （
4 分） 即，（6分）
•••△ ABC 是等边三角形，
••• AB=BC=AC
•••r1+r 2+r 3=h （定值）；（8 分）
（2）存在.（10分）
r=2 .（ 12 分）
点评: 此题主要是考查了等边三角形的性质、
角平分线的性质以及三角形的面积公式.
注意：直角三角形斜边上的
高等于两条直角边的乘积除以斜边.
25.小明在找等边三角形 ABC —边的三等分点时，他是这样做的，先做/ ABC / ACB 的角平分线并且相交于点 0, 然后做线段BO CO 的垂直
平分线，分别交BC 于E 、F ,他说：“E 、F 就是BC 边的三等分点.”你同意他的说法吗？ 请说明你的理由.
等边三角形的性质；线段垂直平分线的性质.
连接OE OF 构建等腰三角形 BOE 和CFO 利用等腰三角形的“三线合一”推知的性质
BE=OE OF=CF 然后 等边三角形ABC 中，根据等边三角形的三个内角都是 60°的性质、角平分线的性质证得^ OEF 是等边三角
形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）；最后由等边三角形 OEF 的三条边都相等、等量代换证明 BE=EF=FCI 卩E , F 是BC 的三
等分点.
解：E , F 是BC 的三等分点•理由：
连接 OE OF
•/ DE 垂直平分OB
• BE=O （E 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等） 同理 OF=CF
•••/ EBOM BOE / FCOM FOC •••等边三角形 ABC 中，
•/ ABCd ACB=60 （等边三角形各角相等且为 60°）
•/ BO 平分/ ABC CO 平分/ ACB •••/ EBOM ABC=30 , / FCOM ACB=30 •••/ BOEM EBO=30 , / FOCM FCO=30
•••/ OEFM BOEM EBO=60 , / OFEM FOCM FCO=60 , •••△ OEF 是等边三角形（有两个内角 60°的三角形是等边三角形）
••• OE=OF=EF 等边三角形各边相等） ••• BE=EF=FC 即E , F 是BC 的三等分点.
本题综合考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质.解答该题时 充分利用了等腰三角形的底边 上的高线、中线、对角的角平分线三
线合一的特性.
26.在等边^ ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，且 CE=CD
（1） 请说明DB=DE 勺理由.
（2） 若等边△ ABC 的边长为4cm,求^ BDE 的面积.
等 边三角形的性质；三角形的面积；三角形的外角性质.
计算题.
（1） 根据等边三角形三线合一的性质可得 BD 是/ABC 的角平分线，即可得M CBD=30 ,根据三角形外角 性质即可得/ DCE=120 -
60° , 根据 CD=CE 可得/ CDEM CED=30 ,即可得M CEDM CBD=30 ,即 DB=DE
（2） 过D 作DF 丄BC 则DF=AG 根据等边三角形的性质可以求得
BE 的长，根据BE 、DF 的长即可计算△ BDE 的面积.
解：（1）・.公ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，即BD 为AC 边上的中线，
••• BD 是/ABC 的角平分线，/ ABC=60 ,
•M CBD=M ABC=30°
•M DCE=12°0 - 60° 且 CD=CE •M CDE=M CED=3°0 •M CBD=M CED • DB=D.E
(2)作 DF 丄BC AGLBC 垂足分别为 F 、 G ，
•••D 为 AC 中点，••• CE=CD=2cm ••• BE=2cm+4cm=6cm AG=AB=2cm •••DF 丄 BC AG! BC
• DF=AG=cm
考点 ： V 八、、•
解答： 点评： 考点 ：
专题 ：
分析：
解答：。