2024届重庆市綦江区实验中学数学高一下期末综合测试试题含解析

2024届重庆市綦江区实验中学数学高一下期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．[]x 表示不超过x 的最大整数，设函数2()ln(1)h x x x =++，则函数
()[()][()]f x h x h x =+-的值域为（ ）
A ．{0}
B ．{2,0}-
C ．{1,0,1}-
D ．{1,0}-
2．把函数sin y x =的图像上所有的点向左平行移动
3
π
个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．sin 26x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ C ．sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．2sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
3．某部门为了了解用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计
了某3天的用电量与当天气温如表所示.由表中数据得回归直线方程，则
（ ） 摄氏温度（）
4 6 11 用电量度数 10 7 4 A ．12.6
B ．13.2
C ．11.8
D ．12.8
4．底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心的四棱锥称为正四棱锥．如图，在正四棱锥P ABCD -中，底面边长为1．侧棱长为2，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角的余弦值为（ ）
A ．
33
B ．
63
C ．
22
D ．
12
5．某程序框图如图所示，若输出的结果为26，则判断框内应填入的条件可以为（ ）
A ．6?k >
B ．5?k >
C ．4?k >
D ．3?k >
6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是（ ）
A ．
65
B ．
64
C ．
63
D ．
66
7．设a,b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．在正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1AB =，'2A A =，则'
AC 与BC 所成角的余
弦值为（ ） A ．
6
6
B ．
56
C ．
55
D ．
306
9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫
π ⎪⎝⎭
成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36
ππ
-
-单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512
π
后关于原点成中心对称
10．函数y=tan （π
4
–2x ）的定义域是( )
A ．{x|x≠π2k +3π
8，k ∈Z} B ．{x|x≠kπ+3π4
，k ∈Z}
C ．{x|x≠π2k +π
4，k ∈Z} D ．{x|x≠kπ+π4
，k ∈Z}
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．对于正项数列{}n a ，定义12323n n
n
H a a a na =+++
+为{}n a 的“光阴”值，现
知某数列的“光阴”值为2
2
n H n =
+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 12．设三棱锥P ABC -满足3PA PB ==，2AB BC CA ===，则该三棱锥的体积的最大值为____________.
13．把二进制数()2110011化为十进制数是：______． 14．不等式x （2x ﹣1）＜0的解集是_____． 15．已知直线l 过点P(－2，5)，且斜率为－
3
4
，则直线l 的方程为________．
16．已知21
1,,12
a a
b a b =⋅=-=，则a 与b 的夹角等于___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和132,12a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设4n
n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设
222sin sin sin sin sin B C A B C +-=.
（1）求A ；
（2sin 2sin A B C +=，求C .
19．2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长
0050．记 2016 年为第 1 年，()f n 为第 1 年至此后第 ()
n n N *∈年的累计利润
（注：含第 n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 ()f n 为正值时，认为该项目赢利． （1）试求 ()f n 的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
20．数列{}n a 中，12a =，112pn n n a a ++=（p 为常数）.
（1）若1a -，
21
2
a ，4a 成等差数列，求p 的值； （2）是否存在p ，使得{}n a 为等比数列？并说明理由.
21．已知直线l 经过点()2,3A -，并且其倾斜角等于直线10x +=的倾斜角的2倍.求直线l 的方程.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
由已知可证()h x 是奇函数，(),()h x h x -是互为相反数，对()h x 是否为正数分类讨论，即可求解. 【题目详解】
()ln(h x x =的定义域为R ，
()()ln(ln10h x h x x x -+=-==,
()()h x h x ∴-=-，()h x ∴是奇函数，
设[()]h x a =，若()h x 是整数，则[()],()0h x a f x -=-=， 若()h x 不是整数，则[()]1,()1h x a f x -=--=-.
()f x ∴的值域是{1,0}-.
故选:D. 【题目点拨】
本题考查函数性质的应用，考查对新函数定义的理解，考查分类讨论思想，属于中档题. 2、C 【解题分析】
根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果. 【题目详解】
sin y x =向左平移
3π
个单位得：sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
将sin 3y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
横坐标缩短为原来的
12得：sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
本题正确选项：C 【题目点拨】
本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题. 3、A 【解题分析】
计算数据中心点，代入回归方程得到答案.
【题目详解】
，
，中心点为
代入回归方程
故答案选A 【题目点拨】
本题考查了回归方程，掌握回归方程过中心点是解题的关键. 4、B 【解题分析】
可采用建立空间直角坐标系的方法来求两条异面直线所成的夹角， 【题目详解】
如图所示，以正方形ABCD 的中心为坐标原点，DA 方向为x 轴，AB 方向为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系
11(,,0)22A -，11B(,,0)22，11(,,0)22C -，由几何关系可求得2=2OB 2PB =， 2214PO PB OB =-=
，14P ∴，E 为PC 中点，1114
(,44E ∴-, 1114(,)22AP =-，3114
(,44BE =--，
3114
6888cos ,66
AP BE -+=
==答案选B. 【题目点拨】
解决异面直线问题常用两种基本方法：异面直线转化成共面直线、空间向量建系法 5、D 【解题分析】
由已知可得，该程序是利用循环结构计算输出变量S 的值，模拟过程分别求出变量的变化情况可的结果. 【题目详解】
程序在运行过程中，判断框前的变量的值如下：k=1,S=1;k=2,S=4;k=3,S=11,k=4,S=26;此时应该结束循环体，并输出S 的值为26，所以判断框应该填入条件为：3?k > 故选D 【题目点拨】
本题主要考查了程序框图，属于基础题. 6、D 【解题分析】
连结1BC ，∵11//AC A C ，
∴11C A B ∠是异面直线1A B 与AC 所成角（或所成角的补角），
∵在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，12AA =，1AC BC ==， ∴112AB =+＝1426A B +＝＝1415BC =+111AC =，
∴222
1111
11111
62216AC A B BC cos C A B AC A B +-∠===⨯⨯⨯⨯，
∴异面直线1A B 与AC 6
D. 7、C 【解题分析】
对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确
对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确 对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误 对于④：假设过直线a 有两个平面α、β与直线b 平行，则面α、β相交于直线a ，过直
线b 做一平面γ与面α、β相交于两条直线m 、n ，则直线m 、n 相交于一点，且都与直线b 平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确 故选：C ． 8、A 【解题分析】
连结'1A B =，结合几何体的特征，直接求解'
AC
与BC 所成角的余弦值即可． 【题目详解】
如图所示：在正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，AB ＝1，'A A ＝2，
连结'A B ，则'AC 与BC 所成角就是'Rt A BC ∆中的'
ACB ∠，
所以'AC 与BC 所成角的余弦值为：
BC A C '＝2221112++＝6
6
． 故选A ．
【题目点拨】
本题考查正四棱柱的性质，直线与直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题． 9、B 【解题分析】
根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【题目详解】
根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为
3π，所以1()2362
T πππ
=--=，解得T π=，
所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以
2ω=，
又06f π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
， 令2,3
x k k Z π
π+
=∈，解得,26k x k Z ππ
=
-∈，当3k =时，43
x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4
,03
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，即函数()f x 的图象关于点4
,03
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称．故选B ． 【题目点拨】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 10、A 【解题分析】
根据诱导公式化简解析式，由正切函数的定义域求出此函数的定义域． 【题目详解】
由题意得，y=tan （π4–2x ）=–tan （2x –π4
），由2x –πππ42k ≠+（k ∈Z ）得，x≠π2k +3π
8，
k ∈Z ，所以函数的定义域是{x|x≠π2k +3π
8
，k ∈Z}，
故选:A ． 【题目点拨】
本题考查正切函数的定义域，以及诱导公式的应用，属于基础题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、21
2n n a n
+=
【解题分析】 根据n H 的定义把2
2
n H n =+带入n H 即可。

【题目详解】 ∵12323n n
n
H a a a na =
+++
+
∴122n n
n a a na H ++
+=
∵2
2
n H n =
+ ∴()12222
n n n a a na +++⋯+=
①
∴()()()12111212
n n n a a n a --+++
+-=②
①-②得()()()211212
2
2
n n n n n n na +-++=-=
∴21
2n n a n
+=
故答案为：21
2n n a n
+= 【题目点拨】
本题主要考查了新定义题，解新定义题首先需要读懂新定义，其次再根据题目的条件带入新定义即可，属于中等题。

12 【解题分析】
取AB 中点D ，连,CD PD ，可证AB ⊥平面PCD ，
1
3
P ABC PCD V AB S -∆=⋅，要使P ABC V -最大，只需求PCD S ∆最大值，即可求解. 【题目详解】
取AB 中点D ，连3,,P CD PD A PB ==，
所以,PD AB PD ⊥∴=，
2,,AB BC CA CD AB CD ===∴⊥==
PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，AB ⊥平面PCD ，
设PCD ∆中CD 边上的高为,h h PD ≤=
1
3
P ABC A PCD B PCD PCD V V V AB S ---∆∴=+=
⋅
11
2323
h =⨯⨯≤
，当且仅当PD CD ⊥时，取等号.
故答案为.
【题目点拨】
本题考查锥体的体积计算，考查线面垂直的判定，属于中档题.
13、51
【解题分析】
110011（2）5422213216351=+++=++=
14、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解题分析】
求出不等式对应方程的实数根，即可写出不等式的解集，得到答案．
【题目详解】
由不等式(21)0x x -<对应方程的实数根为0和12
， 所以该不等式的解集是1{|0}2x x <<． 故答案为：1{|0}2x x <<．
【题目点拨】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15、3x ＋4y －14＝0
【解题分析】
由y －5＝－34
(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0. 16、3
π 【解题分析】 利用()22a b a b -=-再结合已知条件即可求解
由()22222222211a b a b a b a b a b a b b -=-=+-⋅=+-⋅=+-，即1b =，11cos cos 223a b a b ⋅===
⇒=⇒=πθθθ 故答案为： 3
π 【题目点拨】
本题考查向量的夹角计算公式，2
2a a =在考题中应用广泛，属于中档题
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2n a n =（2）12
4433n n T n n +=++- 【解题分析】
试题分析：（1）将已知条件转化为首项和公差表示，解方程组可求得基本量的值，从而确定通项公式；（2）首先化简数列{}n b 的通项公式24n
n b n =+，结合特点采用分组求和法求解
试题解析：（1）∵数列
是等差数列，是其前项和，. ∴
， 解得
， ∴
. （2）∵， 23122(123)(4444)
(1)4(14)2214
4433
n n n n T n n n n n +=++++++++++-=⨯+-=++- 考点：数列求通项公式及数列求和
18、 (1) 3π (2) 512
C π= 【解题分析】
（1）由正弦定理得222b c a bc +-=，再利用余弦定理的到3A π=
. （2）将3A π
=代入等式，化简得到答案.
解：（1）由222sin sin sin sin sin B C A B C +-=
结合正弦定理得222b c a bc +-=； ∴2221cos 22b c a A b c +-==⋅⋅ 又(0,)A π∈，∴3A π=.
（2）由2sin sin 2sin A B C +=,∴2sin sin()2sin A A C C ++=
∴6sin 2sin 23C C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭
, ∴312sin cos 222C C -=∴2sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 又203C π<<
∴662
C πππ-<-< 解得：64C ππ-=，512C π=. 【题目点拨】
本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力.
19、 (1)3272n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
；（2）2023. 【解题分析】
试题分析：（1）由题意知，第一年至此后第()n n N
*∈年的累计投入为()821n +-（千万元），第1年至此后第()n n N
*∈年的累计净收入为1211131313...2222222n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用等比数列数列的求和公式可得()f n ；（2）
由()()131422n f n f n ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，利用指数函数的单调性即可得出. 试题解析：（1）由题意知，第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计投入为8+2（n ﹣1）=2n+6（千万元），
第1年至此后第n （n ∈N *）年的累计净收入为
+×+×+…+×
=（千万元）．
∴f （n ）=﹣（2n+6）=﹣2n ﹣7（千万元）．
（2）方法一：∵f （n+1）﹣f （
n ）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n ﹣7]=[﹣2]，
∴当n≤3时，f （n+1）﹣f （n ）＜1，故当n≤2时，f （n ）递减；
当n≥2时，f （n+1）﹣f （n ）＞1，故当n≥2时，f （n ）递增．
又f （1）=﹣
＜1，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f （8）=﹣23≈25
﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利；
方法二：设f （x ）=﹣2x ﹣7（x≥1），则f′（x ）=， 令f'（x ）=1，得=≈=5，∴x≈2．
从而当x ∈[1，2）时，f'（x ）＜1，f （x ）递减；
当x ∈（2，+∞）时，f'（x ）＞1，f （x ）递增．
又f （1）=﹣
＜1，f （7）=≈5×﹣21=﹣＜1，f （8）=﹣23≈25﹣23=2＞1．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2123年开始并持续赢利．
20、（Ⅰ）p=1；（Ⅱ）存在实数2p =，使得{a n }为等比数列
【解题分析】
（Ⅰ）由已知求得a 1，a 4，再由-a 1，21a 2
，a 4成等差数列列式求p 的值； （Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，可得2213a a a =，求解p 值，验证得答案．
【题目详解】
（Ⅰ）由a 1=1，112pn n n a a ++=，得p 122a 2+=，p 2a 2=，
则p 2p 132a 2+=，p 13a 2+=，
p 13p 142a 2++=，2p 4a 2=．
由1a -，21a 2
，a 4成等差数列，得a 1=a 4-a 1， 即2222p p =-，解得：p=1；
（Ⅱ）假设存在p ，使得{a n }为等比数列，
则2213a a a =，即2122222p p p ++=⋅=，则1p=p+1，即p=1．
此时12112
2pn n n n a a +++==， 23122n n n a a +++=，∴2n 2n
24a a +==， 而3122a a =，又12a =，所以24a =， 而21a 2a 42
==，且242=， ∴存在实数2p =，使得{a n }为以1为首项，以1为公比的等比数列．
【题目点拨】
本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的性质，是中档题．
21
30y ---=
【解题分析】
求出直线10x +=的倾斜角，可得所求直线的倾斜角，从而可得斜率，再利用点斜式可得结果.
【题目详解】
因为直线10x +=
， 所以其倾斜角为30°，
所以，所求直线的倾斜角为60°
，
又所求直线经过点()2,3A -，
所以其方程为32)y x +=- ，
30y ---=，
30y ---=.
【题目点拨】
本题主要考查直线的斜率与倾斜角，考查了直线点斜式方程的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.。