专题16 角(知识点串讲)(解析版)

专题10 弧长与扇形面积
【重点突破】
知识点一角的基础
角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。

角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图。

∠β锐角直角钝角平角周角
范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°
(1)角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间.
(2)用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个.
(3)用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字.
(4)用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母.
知识点二角的比较与运算
角的大小的比较：
（1）叠合法，使两个角的顶点及一边重合，另一边在重合边的同旁进行比较；
（2）度量法，分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较。

角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

类似的，平均分成三个角的射线，叫做三等分线。

时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）
角的度量：1°=60′；1′=60″；
1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°
知识点三余角和补角
余角概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角；
补角概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角；
性质：等角的余角相等，等角的补角相等。

【考查题型】
考查题型一 角的概念
典例1．（2020·聊城市期末）如图，能用∠1、∠ABC、∠B 三种方法表示同一个角的是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】A
【提示】根据角的表示法可以得到正确解答．
【详解】解：B 、C 、D 选项中，以B 为顶点的角不只一个，所以不能用∠B 表示某个角，所以三个选项都是错误的；A 选项中，以B 为顶点的只有一个角，并且∠B=∠ABC=∠1，所以A 正确．故选A ．
【名师点拨】 本题考查角的表示法，明确“过某个顶点的角不只一个时，不能单独用这个顶点表示角”是解题关键．
变式1-1．（2020·太原市期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A ．1∠与PON ∠表示同一个角
B ．α∠表示的是MOP ∠
C ．MON ∠也可用O ∠表示
D ．图中共有三个角MON ∠，POM ∠，PON ∠ 【答案】C
【提示】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【详解】A 、∠1与∠PON 表示同一个角，正确；B 、α∠表示的是∠MOP ，正确；
C 、∠MON 不能用∠O 表示，错误；
D 、图中共有三个角：∠MON ，∠POM ，∠PON ，正确；故选：C
【名师点拨】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
变式1-2．（2018·唐山市期末）已知，如图：∠A （ ）
A ．表示∠BAC
B ．表示∠CAD
C ．表示∠BA
D ． D ．不能表示图中的角
【答案】D 【提示】根据唯有在顶点处只有一个角的情况，才可以用顶点处的一个字母来表示这个角,即可得.
【详解】图中的角不能用∠A 表示，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可以用顶点处的一个字母来表示这个角.故答案为:D.
【名师点拨】本题考查的知识点是角的概念，解题关键是熟记相关概念.
变式1-3．（2018·德州市期末）如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A ．∠1与∠AO
B 表示同一个角 B ．∠AO
C 也可以用∠O 来表示
C ．∠β表示的是∠BOC
D ．图中共有三个角：∠AOB ，∠AOC ，∠BOC
【答案】B
【解析】解：由于顶点O 处，共有3个角，所以∠AOC 不可以用∠O 来表示，故B 错误．故选B ． 考查题型二 钟面角
典例2．（2019·大庆市期末）如图，时钟在下午4：00时，时针和分针所形成的夹角是（ ）
A ．60°
B ．90°
C ．120°
D ．150° 【答案】C
【提示】先确定下午4：00时，时针指向3，分针指向12，然后列式求解即可．
【详解】解：如图：当时钟在下午4：00时，时针指向3，分针指向12，
则时针和分针所形成的夹角是360°÷12×4=120°．
故答案为C ．
【名师点拨】本题主要考查了钟面角，确定时针和分针的位置以及理解圆的性质是解答本题的关键． 变式2-1．（2020·铁岭市期末）钟表上12时15分时，时针和分针的夹角是（ ）
A ．120°
B ．90°
C ．82.5°
D ．60°
【答案】C
【提示】求出时针和分针每分钟转的角度，由此即可得． 【详解】因为时针每分钟转的角度为
3600.51260︒=︒⨯，分针每分钟转的角度为360660
︒=︒， 所以当钟表上12时15分时，时针转过的角度为0.5157.5︒⨯=︒，分针转过的角度为61590︒⨯=︒， 所以时针和分针的夹角为907.582.5︒-︒=︒，故选：C ． 【名师点拨】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟表盘特征和时针、分针每分钟转的角度数是解题关键． 变式2-2．（2019·海口市期中）从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（ ）
A ．20°
B ．26°
C ．30°
D ．36°
【答案】C
【解析】因为一小时60分钟,5分钟为112小时,一小时分针转360度,1 12
小时转30度,故选C. 变式2-3．（2019·重庆市期末）小明离家时发现，钟面上时针与分针的夹角为75°，这个时间可能是（ ） A ．1：30 B ．2：30 C ．3：30 D ．4：30
【答案】C
【解析】A 选项中，1:30时，时针与分针的夹角为180°
-30°×1.5=135°，所以不能选A ； B 选项中，2:30时，时针与分针的夹角为180°-30°×2.5=105°，所以不能选B ；
C 选项中，3:30时，时针与分针的夹角为180°-30°×3.5=75°，所以可以选C ；
D 选项中，4:30时，时针与分针的夹角为180°-30°×4.5=45°，所以不能选D.故选C.
名师点拨：（1）钟面被12个小时等分为12格，每格对应的角度为30°
；（2）时针1小时转1格，即时针每小时转30°；分针每小时转12格，即分针每小时转360°
. 考查题型三 方位角
典例3．（2020·辽阳市期中）如图，射线OA表示的方向是（）
A．北偏东35︒B．北偏西65︒C．南偏东65︒D．南偏西35︒
【答案】C
【提示】根据方位角的表示判断即可；
【详解】根据已知图形可知，射线OA表示的方向南偏东65︒；故选：C．
【名师点拨】本题主要考查了方位角的判定，准确提示判断是解题的关键．
变式3-1．（2020·石家庄市期末）如图，甲、乙两船同时从港口O出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A、B处，那么点B位于点A的（）
A．南偏西40°B．南偏西30°C．南偏西20°D．南偏西10°
【答案】C
【解析】试题提示：由甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，得出∠BOA的度数，由两船的航行速度相同，得出AO=BO，得出∠BAO=50°，以及求出∠BAD的度数，得出点B位于点A 的方向，故本题选C．
名师点拨：本题主要考查的就是方位角的问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要能够根据已知的条件得出各个角的度数，从而求出问题中所要求的角的度数．在解决这种类型的题目时，我们还要注意参照物是那个物体，就要以参照物为标注建立方位图，从而得出答案．
变式3-2．（2020·阳城县期末）嘉嘉和淇淇玩一个游戏，他们同时从点B出发，嘉嘉沿正西方向行走，淇淇沿北偏东30°方向行走，一段时间后，嘉嘉恰好在淇淇的南偏西60°方向上．若嘉嘉行走的速度为1m/s，则淇淇行走的速度为（）
A．0.5 m/s B．0.8 m/s C．1 m/s D．1.2 m/s
【答案】C
【提示】根据方位角得出∠ACB＝30°，进而解答即可．
【详解】解：由题意可得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠ACB=∠CAB
∴AB＝BC，
∴嘉嘉行走的速度和淇淇行走的速度相同，
即1m/s，故选：C．
【名师点拨】本题主要考查了方位角和等腰三角形的性质，通过方位角和已知角的度数证出等腰三角形是解题的关键．
变式3-3．（2020·济南市期中）如图，A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35︒方向，B岛在A岛的北偏东80︒方向，C岛在B岛的北偏西55︒方向，则A、B、C三岛组成的三角形为（）
A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】A
【提示】如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，可得∠DCA=∠EAC=35°，根据AE∥BF，可得CD∥BF，可得∠BCD=∠CBF=55°，进而得△ABC是等腰直角三角形．
【详解】解：如图，过点C作CD∥AE交AB于点D，
∴∠DCA=∠EAC=35°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD=∠CBF=55°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=35°+55°=90°，
∴△ABC是直角三角形．
∵∠CAD=∠EAD-∠CAE=80°-35°=45°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠CAD=45°，
∴CA=CB，
∴△ABC是等腰直角三角形．故选：A．
【名师点拨】本题考查了直角三角形、方向角，解决本题的关键是掌握方向角定义．
考查题型四比较角的大小
∠的度数，下列操作正确的是（）．
典例4．（2020·保定市期末）用量角器测得MON
A．B．
C ．
D ．
【答案】C
【提示】量角器的圆心要与角的顶点O 重合，量角器的0刻度线要与角的一边所在直线重合，据此判断即可．
【详解】解：因为量角器的圆心要与角的顶点O 重合，量角器的0刻度线要与角的一边所在直线重合， 所以量角器的操作正确的是C 项．故选：C ．
【名师点拨】本题考查了角的度量，掌握量角器的使用方法是解题的关键．
变式4-1．（2020·扬州市期末）已知∠α＝27′，∠β＝0.45°，则∠α与∠β的大小关系是（ ） A ．∠α＝∠β B ．∠α＞∠β C ．∠α＜∠β D ．无法确定
【答案】A
【提示】将0.45º化为分，再和27′比较即可解答．
【详解】∵0.45º=0.45×60′=27′，
∴∠α＝∠β，故选A ．
【名师点拨】本题考查了角的度数大小比较，知道1º=60′，统一单位再比较大小是解答的关键．
变式4-2．（2018·黄冈市期末）已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么的大小关系为（ ） A ．∠A ＞∠B ＞∠C B ．∠A ＜∠B ＜∠C C ．∠B ＞∠A ＞∠C D ．∠C ＞∠A ＞∠B
【答案】B
【提示】根据小单位化成大单位除以进率，可得答案．
【详解】解：∠A=25.12°，∠B=25°12′=25.2°，∠C=1518′=25.3°，
∠A ＜∠B ＜∠C ，故选B ．
【名师点拨】本题考查了度分秒的换算，利用不过小单位化大单位除以进率是解题关键．
变式4-3．（2020·北京市期末）α，β都是钝角，有四名同学分别计算()16
αβ+，却得到了四个不同的结果，分别为26︒，50︒，72︒，90︒，老师判作业时发现其中确有正确的结果，那么计算正确的结果是（ ）
A ．26︒
B ．50︒
C ．72︒
D ．90︒
【答案】B
【提示】
根据锐角和钝角的概念进行解答，锐角是大于0°小于直角（90°）的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，求出()16
αβ+范围，然后作出正确判断． 【详解】∵锐角是大于0°小于90°的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角， ∴0＜α＜90°，90°＜β＜180°，
∴15°＜
()16
αβ+＜54°， ∴满足题意的角只有50︒，故选：B ． 【名师点拨】此题主要考查了角的计算的知识点，理解锐角和钝角的概念，锐角是大于0°小于90°的角，大于直角（90°）小于平角（180°）的角叫做钝角，本题比较基础，需要牢固掌握．
考查题型五 与角有关的运算
典例5．（2020·杭州市期中）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则α∠的大小为（ ）
A ．80︒
B ．75︒
C ．70︒
D ．65︒
【答案】B
【提示】先根据直角三角板的性质得出∠ACD 的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
∵∠BCD=60°，∠BCA=45°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=60°-45°=15°，
∠α=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°，故选：B ．
【名师点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 变式5-1．（2020·南昌市期末）如图，BD 平分ABC ∠，BE 把ABC ∠分成2:5的两部分，21DBE ∠=，则ABC ∠的度数( )
A ．140
B ．135
C ．120
D ．98
【答案】D
【提示】根据角平分线的性质，可得12
DBC ABC ∠=∠，再结合题意，BE 把ABC ∠分成2:5的两部分，可得57
EBC ABC ∠=∠，根据DBE EBC DBC ∠=∠-∠及已知条件21DBE ∠=计算即可解题． 【详解】BD 平分ABC ∠，
12
ABD DBC ABC ∴∠=∠=∠， BE 把ABC ∠分成2:5的两部分，
2577
ABE ABC EBC ABC ∴∠=∠∠=∠，， 513217214
DBE EBC DBC ABC ABC ABC ∴∠=∠-∠=∠-∠=∠=︒
2114983
ABC ︒⨯∴∠==︒故选：D 【名师点拨】本题考查角的和差、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
变式5-2．（2018·庆阳市期末）将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中∠ABC 的度数是 ( )
A ．120°
B ．135°
C ．145°
D ．150°
【答案】B 【解析】试题提示：根据三角尺的角度可知：∠ABD=45°
，∠DBC=90°，则∠ABC=45°+90°=135°，故选B ．
变式5-3．（2020·保定市期末）如图，已知120AOB ∠=︒，COD ∠在AOB ∠内部且60COD ∠=︒，则AOD
∠与COB ∠一定满足的关系为（ ）．
A ．AOD CO
B ∠=∠
B ．120AOD COB ∠+∠=︒
C ．12
AOD COB ∠=∠ D ．180AOD COB ∠+∠=︒ 【答案】D
【提示】根据角的和差，可得∠AOD ＋∠COB ＝∠AOC ＋∠COD ＋∠COD ＋∠DOB ＝∠AOB ＋∠COD ，再代入计算即可求解．
【详解】∵∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ，∠COB ＝∠COD ＋∠DOB ，
∴∠AOD ＋∠COB ＝∠AOC ＋∠COD ＋∠COD ＋∠DOB ，
＝∠AOC ＋∠COD ＋∠DOB ＋∠COD
＝∠AOB ＋∠COD
∵∠AOB ＝120°，∠COD ＝60°，
∴∠AOD ＋∠COB ＝120°＋60°＝180°．故选：D ．
【名师点拨】本题考查了角的计算．解题的关键是利用了角的和差关系求解．
变式5-4．（2020·渭南市期末）如图，AOB ∠为平角，且14
AOC BOC ∠=∠，则BOC ∠的度数是（ ）
A ．144︒
B ．36︒
C ．45︒
D ．135︒
【答案】A 【提示】根据平角的性质得到180AOC BOC ∠+∠=︒，再根据这两个角之间的比例关系求出BOC ∠．
【详解】解：∵AOB ∠是平角，
∴180AOC BOC ∠+∠=︒， ∵14AOC BOC ∠=
∠， ∴41801445BOC ∠=︒⨯=︒．故选：A ． 【名师点拨】本题考查平角的性质，解题的关键是利用平角的性质和角度之间的比例求角度． 考查题型六 与角平分线有关的运算
典例6．（2020·聊城市期末）如图，直线AB CD 、相交于点O ，90DOF ∠=︒，OF 平分AOE ∠，若32BOD ∠=︒，则DOE ∠的度数为（ ）
A ．32︒
B ．48︒
C ．58︒
D ．64︒
【答案】A
【提示】根据角平分线的意义可以算得答案 ．
【详解】解：90,32DOF BOD ∠=︒∠=︒
18058AOF DOF BOD ∴∠=︒-∠-∠=︒
又OF 平分∠AOE ，
58,EOF AOF ∴∠=∠=︒
905832DOE DOF EOF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 故选A ．
【名师点拨】本题考查角平分线的意义，正确理解角平分线的意义是解题关键．
变式6-1．（2020·宝鸡市期末）如图，射线OB 和OD 分别为AOC ∠和COE ∠的角平分线，
45,20AOB DOE ∠=︒∠=︒，则AOE ∠=（ ）
A ．110°
B ．120°
C ．130°
D ．140°
【答案】C
【提示】根据角平分线的性质即可求解．
【详解】∵射线OB 和OD 分别为AOC ∠和COE ∠的角平分线，
∴290,240AOC AOB COE DOE ∠=∠=︒∠=∠=︒，
∴AOE ∠=AOC ∠+COE ∠=130°故选C ．
【名师点拨】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角平分线的性质．
变式6-2．（2020·汕尾市期末）如图，直线,AB CD 交于点O ，射线OM 平分AOC ∠，若76BOD ∠=︒，则BOM ∠等于（ ）
A ．38°
B ．104°
C ．142°
D ．144°
【答案】C
【提示】根据对顶角相等求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM 的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵∠BOD ＝76°，
∴∠AOC ＝∠BOD ＝76°，
∵射线OM 平分∠AOC ，
∴∠AOM ＝12∠AOC ＝12
×76°＝38°， ∴∠BOM ＝180°−∠AOM ＝180°−38°＝142°．故选：C ．
【名师点拨】本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．
变式6-3．（2020·聊城市期末）如图所示，12∠=∠，34∠=∠，则下列结论正确的有（ ）
①AD 平分BAF ∠；②AF 平分BAC ∠；③AE 平分DAF ∠；④AF 平分DAC ∠；⑤AE 平分BAC ∠．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】C
【提示】由∠1=∠2，根据三角形的角平分线的定义得出AE 平分∠DAF ；又∠3=∠4，利用等式的性质得到∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE =∠EAC ，那么AE 平分∠BAC ．
【详解】∵3,124,BAD CAD ∠=∠∠=∠+∠+∠
∴AD 不平分BAF ∠，故①错误；
∵123,4,BAF CAF ∠=∠+∠+∠∠=∠
∴AF 不平分BAC ∠，故②错误；
12∠=∠，
AE ∴平分DAF ∠，故③正确；
∵12,4,DAF CAF ∠=∠+∠∠=∠
∴AF 不平分DAC ∠,故④错误；
又34∠=∠，
1324∴∠+∠=∠+∠，即BAE EAC ∠=∠，
AE ∴平分BAC ∠，故⑤正确．
故选：C ．
【名师点拨】
本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
考查题型七 余角与补角
典例7．（2019·南阳市期末）一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角是（ ）
A ．67.5
B ．60
C ．45
D ．30
【答案】B
【提示】
设这个角为x °，依据题意列方程求解．
【详解】
解：设这个角为x °，则它的余角为(90)x -︒，补角为(180)x -︒据题意得方程： 1804(90)x x -=-
解之得60x =．
所以这个角为60°．
故选：B ．
【名师点拨】
本题考查补角，余角的概念．运用补角、余角概念列方程是解决问题的关键．
变式7-1．（2020·菏泽市期中）如图所示，用量角器度量出了∠AOB 的度数，那么∠AOB 的余角度数为
( )
A ．35°
B ．45°
C ．55°
D ．125°
【答案】A
【提示】 由图形可直接得出∠AOB ，再根据余角的定义即可得出结论．
【详解】
解：由图形所示，∠AOB 的度数为55°，
则∠AOB 的余角=90°-55°=35°，
故选：A ．
【名师点拨】
本题主要考查了角的度量，余角的定义，正确使用量角器是解题的关键．
变式7-2．（2019·合肥市期中）如图，O 是直线AB 上一点，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，则下列说法错误的是（ ）
A ．∠DOE 为直角
B ．∠DO
C 和∠AOE 互余 C ．∠AO
D 和∠DOC 互补
D ．∠AO
E 和∠BOC 互补
【答案】D
【提示】 根据角平分线的性质，可得∠BOD ＝∠COD ，∠COE ＝∠AOE ，再根据余角和补角的定义求解即可．
【详解】
解：∵OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，
∴∠BOD ＝∠COD ＝12∠BOC ，∠AOE ＝∠COE ＝12
∠AOC ， ∵∠AOC+∠COB ＝180°，∴∠COE+∠COD ＝90°，
A 、∠DOE 为直角，说法正确；
B 、∠DO
C 和∠AOE 互余，说法正确；
C 、∠AO
D 和∠DOC 互补，说法正确；
D 、∠AO
E 和∠BOC 互补，说法错误；
故选D ．
【名师点拨】
本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是理解余角和补角的定义，掌握角平分线的性质． 变式7-3．（2019·路北区期中）已知，1∠与2∠互为补角，1140∠=︒，则2∠的余角的度数为（ ） A ．30° B ．40° C ．50° D ．100°
【答案】C
【提示】
根据补角、余角的定义即可得．
【详解】
1∠与2∠互为补角，1140∠=︒，
2181400∴∠=︒∠=-︒，
2∴∠的余角的度数为29050︒-∠=︒，
故选：C ．
【名师点拨】
本题考查了补角与余角，熟练掌握定义是解题关键．。