2022学年江苏省启东市长江中学初中数学毕业考试模拟冲刺卷(含答案解析)

2022学年江苏省启东市长江中学初中数学毕业考试模拟冲刺卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知抛物线2
(2)2(0)y ax a x a =+-->的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C .
给出下列结论：①当0a >的条件下，无论a 取何值，点A 是一个定点；②当0a >的条件下，无论a 取何值，抛物线的对称轴一定位于y 轴的左侧；③y 的最小值不大于2-；④若AB AC =，则15
2
a +=.其中正确的结论有（ ）个. A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．我市连续7天的最高气温为：28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°，这组数据的平均数和众数分别是（ ） A ．28°，30°
B ．30°，28°
C ．31°，30°
D ．30°，30°
4．﹣2018的相反数是（ ） A ．﹣2018 B ．2018
C ．±2018
D ．﹣
1
2018
5．已知反比例函数
，下列结论不正确的是（ ）
A ．图象必经过点（﹣1，2）
B ．y 随x 的增大而增大
C ．图象在第二、四象限内
D ．若
，则
6．下列图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2＋23x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛
物线对称轴上一点，则OP＋1
2
AP的最小值为（）.
A．3 B．23C．3221
4
+
D．
323
2
+
8．全球芯片制造已经进入10纳米到7纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台7纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（）
A．0.7×10﹣8B．7×10﹣8C．7×10﹣9D．7×10﹣10
9．如图，在▱ABCD中，AB＝1，AC＝42，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC的中点，连接AE交BD于点F．若AC⊥AB，则FD的长为（）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=c
x
（c是常数，且
c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）
A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．下列图形是用火柴棒摆成的“金鱼”，如果第1个图形需要8根火柴，则第2个图形需要14根火柴，第n根图形需要____________根火柴.
12．请你算一算：如果每人每天节约1粒大米，全国13亿人口一天就能节约_____千克大米！（结果用科学记数法表示，已知1克大米约52粒）
13．如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上，另两个顶点A，B分别在l3，l2上，则sinα的值是_____．
14．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到合格产品的概率是．15．小明用一个半径为30cm且圆心角为240°的扇形纸片做成一个圆锥形纸帽（粘合部分忽略不计），那么这个圆锥形纸帽的底面半径为_____cm．
16．在函数中，自变量x的取值范围是．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）当a=3，b=2时，求代数式
2
2222
2
a b b ab
a a
b b a b
+-
-
++-
的值．
18．（8分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：
组别成绩（分）频数（人数）频率
一 2 0.04
二10 0.2
三14 b
四 a 0.32
五8 0.16
请根据表格提供的信息，解答以下问题：本次决赛共有名学生参加；直接写出表中a= ,b= ;请补全下面相应的频数分布直方图；
若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为．
19．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE、BD且AE=AB．
求证：∠ABE=∠EAD；若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
20．（8分）讲授“轴对称”时，八年级教师设计了如下：四种教学方法：
①教师讲，学生听
②教师让学生自己做
③教师引导学生画图发现规律
④教师让学生对折纸，观察发现规律，然后画图
为调查教学效果，八年级教师将上述教学方法作为调研内容发到全年级8个班420名同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种．他随机抽取了60名学生的调查问卷，统计如图
(1) 请将条形统计图补充完整；
(2) 计算扇形统计图中方法③的圆心角的度数是；
(3) 八年级同学中最喜欢的教学方法是哪一种？选择这种教学方法的约有多少人？
21．（8分）某纺织厂生产的产品,原来每件出厂价为80元,成本为60元.由于在生产过程中平均每生产一件产品有0.53m 的污水排出,现在为了保护环境,需对污水净化处理后再排出.已知每处理13m 污水的费用为2元,且每月排污设备损耗为8000元.设现在该厂每月生产产品x 件,每月纯利润y 元： （1）求出y 与x 的函数关系式.(纯利润=总收入-总支出) （2）当y=106000时,求该厂在这个月中生产产品的件数.
22．（10分）正方形ABCD 的边长是10，点E 是AB 的中点，动点F 在边BC 上，且不与点B 、C 重合，将△EBF 沿EF 折叠，得到△EB ′F ． （1）如图1，连接AB ′．
①若△AEB ′为等边三角形，则∠BEF 等于多少度．
②在运动过程中，线段AB ′与EF 有何位置关系？请证明你的结论． （2）如图2，连接CB ′，求△CB ′F 周长的最小值．
（3）如图3，连接并延长BB ′，交AC 于点P ，当BB ′＝6时，求PB ′的长度．
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线交AD 于点E ，交CB 的延长线于点F ，连接AF ，BE.
(1)求证：△AGE ≌△BGF ；
(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由．
24．已知：如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ︒∠=°，点C 在半径OB 上，AC 的垂直平分线交OA 于点D ，交弧AB 于点E ，联结BE CD 、．
（1）若C 是半径OB 中点，求OCD ∠的正弦值； （2）若E 是弧AB 的中点，求证：2•BE BO BC =；
（3）联结CE ，当△DCE 是以CD 为腰的等腰三角形时，求CD 的长．
2022学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、C 【答案解析】
①利用抛物线两点式方程进行判断；
②根据根的判别式来确定a 的取值范围，然后根据对称轴方程进行计算； ③利用顶点坐标公式进行解答； ④利用两点间的距离公式进行解答． 【题目详解】
①y=ax 1+（1-a ）x-1=（x-1）（ax+1）．则该抛物线恒过点A （1，0）．故①正确； ②∵y=ax 1+（1-a ）x-1（a ＞0）的图象与x 轴有1个交点， ∴△=（1-a ）1+8a=（a+1）1＞0， ∴a≠-1．
∴该抛物线的对称轴为：x=211
22a a a
-=-，无法判定的正负． 故②不一定正确；
③根据抛物线与y 轴交于（0，-1）可知，y 的最小值不大于-1，故③正确；
④∵A （1，0），B （-2
a
，0），C （0，-1），
∴当AB=AC 时，222
(1)21(2)a
+=+-，
解得：a=
15
2
+,故④正确． 综上所述，正确的结论有3个． 故选C ． 【答案点睛】
考查了二次函数与x 轴的交点及其性质．（1）.抛物线是轴对称图形．对称轴为直线x = -
2b
a
，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P ；特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x=0）；（1）.抛物线有一个顶点P ，坐标为P ( -b/1a ，(4ac-b1)/4a )，当-
2b
a
=0，〔即b=0〕时，P 在y 轴上；当Δ= b1-4ac=0时，P 在x 轴上；（3）.二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；|a|越大，则抛物线的开口越小．（4）.一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置；当a 与b 同号时（即ab>0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab<0），对称轴在y 轴右；（5）.常数项c 决定抛物线与y 轴交点；抛物线与y 轴交于（0，c ）；（6）.抛物线与x 轴交点个数
Δ= b1-4ac>0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ= b1-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；
Δ= b1-4ac<0时，抛物线与x 轴没有交点．X 的取值是虚数（x= -b±√b1－4ac 乘上虚数i ，整个式子除以1a ）；当a>0时，函数在x= -b/1a 处取得最小值f(-b/1a)=〔4ac-b1〕/4a ；在{x|x<-b/1a}上是减函数，在{x|x>-b/1a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac -b1/4a}相反不变；当b=0时，抛物线的对称轴是y 轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax1+c(a≠0). 2、D 【答案解析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【题目详解】
该空心圆柱体的俯视图是圆环，如图所示：
故选D ． 【答案点睛】
本题考查了三视图，明确俯视图是从物体上方看得到的图形是解题的关键.
3、D
【答案解析】
测试卷分析：数据28°，27°，30°，33°，30°，30°，32°的平均数是（28+27+30+33+30+30+32）÷7=30，
30出现了3次，出现的次数最多，则众数是30；
故选D．
考点：众数；算术平均数．
4、B
【答案解析】
分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
详解：-1的相反数是1．
故选：B．
点睛：本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
5、B
【答案解析】
测试卷分析：根据反比例函数y=的性质，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大，即可作出判断．
测试卷解析：A、（-1，2）满足函数的解析式，则图象必经过点（-1，2）；
B、在每个象限内y随x的增大而增大，在自变量取值范围内不成立，则命题错误；
C、命题正确；
D、命题正确．
故选B．
考点：反比例函数的性质
6、B
【答案解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．
【题目详解】
A．不是轴对称图形，是中心对称图形；
B．是轴对称图形，是中心对称图形；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选B．
【答案点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7、A
【答案解析】
连接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,解方程得到－x2＋23x=0得到点B,再利用配方法得到点A，得到
OA的长度，判断△AOB为等边三角形，然后利用∠OAP=30°得到PH= 1
2
AP,利用抛物线的性质得到PO=PB,再根据
两点之间线段最短求解.
【题目详解】
连接AO,AB,PB,作PH⊥OA于H,BC⊥AO于C,如图当y=0时－x2＋3x=0，得x1=0,x23所以B（3），由于y=－x2＋332+3,所以A3）,所以3，所以三角形AOB为等边三角形，
∠OAP=30°得到PH= 1
2
AP,因为AP垂直平分OB,所以PO=PB，所以OP＋
1
2
AP=PB+PH，所以当H,P,B共线时，PB+PH
最短，而BC=
3
2
AB=3，所以最小值为3.
故选A.
【答案点睛】
本题考查的是二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质和最短途径的解决方法是解题的关键.
8、C
【答案解析】
本题根据科学记数法进行计算.
【题目详解】
因为科学记数法的标准形式为a×10n(1≤|a|≤10且n为整数),因此0.000000007用科学记数法法可表示为7×9
10﹣，故选C.
【答案点睛】
本题主要考察了科学记数法，熟练掌握科学记数法是本题解题的关键.
9、C
【答案解析】
利用平行四边形的性质得出△ADF∽△EBF，得出BE
AD
=
BF
DF
，再根据勾股定理求出BO的长，进而得出答案．
【题目详解】
解：∵在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∴BO=DO,AO=OC,AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴BE
AD
=
BF
DF
，
∵，
∴，
∵AB=1，AC⊥AB，
∴，∴BD=6，
∵E是BC的中点，
∴BE
AD
=
BF
DF
=
1
2
，
∴BF=2，FD=4.
故选C.
【答案点睛】
本题考查了勾股定理与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与相似三角形的判定与性质.
10、C
【答案解析】
【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=c
x
图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
【题目详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=c
x
（c是常数，且c≠0）的图象
相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．
【答案点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、62n +
【答案解析】
根据图形可得每增加一个金鱼就增加6根火柴棒即可解答.
【题目详解】
第一个图中有8根火柴棒组成，
第二个图中有8+6个火柴棒组成，
第三个图中有8+2×
6个火柴组成， ……
∴组成n 个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n-1）=6n+2.
故答案为6n+2
【答案点睛】
本题考查数字规律问题，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键.
12、2.5×
1 【答案解析】
先根据有理数的除法求出节约大米的千克数，再用科学计数法表示，对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数.
【题目详解】
1 300 000 000÷52÷1 000（千克）=25 000（千克）=2.5×1（千克）．
故答案为2.5×
1． 【答案点睛】
本题考查了有理数的除法和正整数指数科学计数法,根据科学计算法的要求，正确确定出a 和n 的值是解答本题的关键.
13 【答案解析】
过点A 作AD ⊥l 1于D ，过点B 作BE ⊥l 1于E ，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE ，然后利用“角角边”证明△ACD 和△CBE 全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BE ，然后利用勾股定理列式求出AC ，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【题目详解】
如图，过点A 作AD ⊥l 1于D ，过点B 作BE ⊥l 1于E ，设l 1，l 2，l 3间的距离为1，
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE ，
在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，
在△ACD 和△CBE 中，
90CAD BCE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△CBE （AAS ），
∴CD=BE=1，
∴AD=2，
∴AC=225CD AD +=，
∴AB=2AC=10，
∴sinα=110
1010=， 故答案为
1010.
【答案点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
14、45
【答案解析】 测试卷分析：根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即
1024105-=. 考点：概率
15、20
【答案解析】
先求出半径为30cm 且圆心角为240°的扇形纸片的弧长，再利用底面周长=展开图的弧长可得．
【题目详解】 24030180
π⨯=40π． 设这个圆锥形纸帽的底面半径为r ． 根据题意，得40π=2πr ，
解得r=20cm ．
故答案是：20.
【答案点睛】
解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
16、。

【答案解析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使
在实数范围内有意
义，必须。

三、解答题（共8题，共72分）
17、1b a b
++,6﹣3 【答案解析】
原式=()()()()2b a b a b a b a b a b -+++-+
=11b b a b a b a b
++=+++， 当3，b=2时， 3(3336633343+2(3+2)(32)
==--- 18、（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.
【答案解析】
测试卷分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a 和b 的值，（3）根据a 的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.
测试卷解析：（1）2÷
0.04=50 （2）50×
0.32=16 14÷50=0.28
（3）
（4）（0.32+0.16）×100%=48%
考点：频数分布直方图
19、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【答案解析】
（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证．
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根据等角对等边求出AB=AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【题目详解】
证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB．
∴∠ABE=∠EAD．
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBE．
∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，
∴∠ABE=2∠ADB．
∴∠ABD=∠ABE－∠DBE=2∠ADB－∠ADB=∠ADB．
∴AB=AD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
20、解：(1)见解析；(2) 108°；(3) 最喜欢方法④，约有189人.
【答案解析】
（1）由题意可知：喜欢方法②的学生有60-6-18-27=9（人）；
（2）求方法③的圆心角应先求所占比值，再乘以360°；
（3）根据条形的高低可判断喜欢方法④的学生最多，人数应该等于总人数乘以喜欢方法④所占的比例；【题目详解】
(1)方法②人数为60−6−18−27=9(人);
补条形图如图：
(2)方法③的圆心角为
18 360108
60
⨯=；
故答案为108°
(3)由图可以看出喜欢方法④的学生最多,人数为
27
420189
60
⨯=(人)；
【答案点睛】
考查扇形统计图,条形统计图，用样本估计总体,比较基础，难度不大，是中考常考题型.
21、（1）y=19x-1(x>0且x是整数) （2）6000件
【答案解析】
（1）本题的等量关系是：纯利润=产品的出厂单价×产品的数量-产品的成本价×产品的数量-生产过程中的污水处理费-排污设备的损耗，可根据此等量关系来列出总利润与产品数量之间的函数关系式；
（2）根据（1）中得出的式子，将y的值代入其中，求出x即可．
【题目详解】
（1）依题意得：y=80x-60x-0.5x•2-1，
化简得：y=19x-1，
∴所求的函数关系式为y=19x-1．（x＞0且x是整数）
（2）当y=106000时，代入得：106000=19x-1，
解得x=6000，
∴这个月该厂生产产品6000件．
【答案点睛】
本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，可根据题意找出等量关系，列出函数式进行求解．
22、（1）①∠BEF＝60°；②A B'∥EF，证明见解析；（2）△CB′F周长的最小值（3）PB′＝8
7
．
【答案解析】
（1）①当△AEB′为等边三角形时，∠AE B′＝60°，由折叠可得，∠BEF＝1
2
∠BE B′＝
1
2
×120°＝60°；②依据AE
＝B′E，可得∠EA B′＝∠E B′A，再根据∠BEF＝∠B′EF，即可得到∠BEF＝∠BA B′，进而得出EF∥A B′；
（2）由折叠可得，CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10，依据B′E+ B′C≥CE，可得B′C≥CE﹣B′E＝5，进而得到B′C
最小值为5，故△CB′F周长的最小值＝5＝；
（3）将△ABB′和△APB′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处，延长MB、NP相交于点Q，由∠MAN＝2∠BAC ＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四边形AMQN为正方形，设PB′＝PN＝x，则BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x．依据∠BQP＝90°，可得方程22+（8﹣x）2＝（6+x）2，即可得出PB′的长度．
【题目详解】
（1）①当△AE B′为等边三角形时，∠AE B′＝60°，
由折叠可得，∠BEF＝1
2
∠BE B′＝
1
2
×120°＝60°，
故答案为60；
②A B′∥EF，
证明：∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
由折叠可得BE＝B′E，
∴AE＝B′E，
∴∠EA B′＝∠E B′A，
又∵∠BEF＝∠B′EF，
∴∠BEF＝∠BA B′，
∴EF∥A B′；
（2）如图，点B′的轨迹为半圆，由折叠可得，BF＝B′F，∴CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10，
∵B′E+ B′C≥CE，
∴B′C≥CE﹣B′E＝5，
∴B′C最小值为55﹣5，
∴△CB′F周长的最小值＝10+55﹣5＝5+55；
（3）如图，连接A B′，易得∠A B′B＝90°，
将△AB B′和△AP B′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处，延长MB、NP相交于点Q，由∠MAN＝2∠BAC＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四边形AMQN为正方形，
由AB＝10，B B′＝6，可得A B′＝8，
∴QM＝QN＝A B′＝8，
设P B′＝PN＝x，则BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x．
∵∠BQP＝90°，
∴22+（8﹣x）2＝（6+x）2，
解得：x＝8
7
，
∴P B′＝x＝8
7
．
【答案点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质，正方形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，解题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的
直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
23、 (1)证明见解析(2)四边形AFBE 是菱形
【答案解析】
测试卷分析：（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，得出∠AEG=∠BFG ，由AAS 证明△AGE ≌△BGF 即可； （2）由全等三角形的性质得出AE=BF ，由AD ∥BC ，证出四边形AFBE 是平行四边形，再根据EF ⊥AB ，即可得出结论．
测试卷解析：（1）证明：
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEG=∠BFG ，∵EF 垂直平分AB ，∴AG=BG ，在△AGEH 和△BGF 中，∵∠AEG=∠BFG ，∠AGE=∠BGF ，AG=BG ，∴△AGE ≌△BGF （AAS ）；
（2）解：四边形AFBE 是菱形，理由如下：
∵△AGE ≌△BGF ，∴AE=BF ，∵AD ∥BC ，∴四边形AFBE 是平行四边形，又∵EF ⊥AB ，∴四边形AFBE 是菱形． 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；探究型．
24、（2）3sin CD 5O ∠=
；（2）详见解析；（2）当DCE 是以CD 为腰的等腰三角形时，CD 的长为2或2-． 【答案解析】
（2）先求出OC 12=
OB =2，设OD =x ，得出CD =AD =OA ﹣OD =2﹣x ，根据勾股定理得：（2﹣x ）2﹣x 2=2求出x ，即可得出结论；
（2）先判断出AE BE =，进而得出∠CBE =∠BCE ，再判断出△OBE ∽△EBC ，即可得出结论；
（3）分两种情况：①当CD =CE 时，判断出四边形ADCE 是菱形，得出∠OCE =90°．在Rt △OCE 中，
OC 2=OE 2﹣CE 2=4﹣a 2．在Rt △COD 中，OC 2=CD 2﹣OD 2=a 2﹣（2﹣a ）2，建立方程求解即可；
②当CD =DE 时，判断出∠DAE =∠DEA ，再判断出∠OAE =OEA ，进而得出∠DEA =∠OEA ，即：点D 和点O 重合，即可得出结论．
【题目详解】
（2）∵C 是半径OB 中点，∴OC 12
=OB =2． ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD =CD ．设OD =x ，∴CD =AD =OA ﹣OD =2﹣x ．
在Rt △OCD 中，根据勾股定理得：（2﹣x ）2﹣x 2=2，∴x 34=
，∴CD 54=，∴sin ∠OCD 35
OD CD ==； （2）如图2，连接AE ，CE ．
∵DE 是AC 垂直平分线，∴AE =CE ．
∵E 是弧AB 的中点，∴AE BE =，∴AE =BE ，∴BE =CE ，∴∠CBE =∠BCE ．
连接OE ，∴OE =OB ，∴∠OBE =∠OEB ，∴∠CBE =∠BCE =∠OEB ．
∵∠B =∠B ，∴△OBE ∽△EBC ，∴BE OB BC BE =，∴BE 2=BO •BC ； （3）△DCE 是以CD 为腰的等腰三角形，分两种情况讨论：
①当CD =CE 时．
∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD =CD ，AE =CE ，∴AD =CD =CE =AE ，∴四边形ADCE 是菱形，∴CE ∥AD ，∴∠OCE =90°，
设菱形的边长为a ，∴OD =OA ﹣AD =2﹣a ．在Rt △OCE 中，OC 2=OE 2﹣CE 2=4﹣a 2．在Rt △COD 中，
OC 2=CD 2﹣OD 2=a 2﹣（2﹣a ）2，∴4﹣a 2=a 2﹣（2﹣a ）2，∴a =﹣23-2（舍）或a =232-；∴CD =232-；
②当CD =DE 时．
∵DE 是AC 垂直平分线，∴AD =CD ，∴AD =DE ，∴∠DAE =∠DEA ．
连接OE ，∴OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∴∠DEA =∠OEA ，∴点D 和点O 重合，此时，点C 和点B 重合，∴CD =2．
综上所述：当△DCE 是以CD 为腰的等腰三角形时，CD 的长为2或232-．
【答案点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线是解答本题的关键．。