2008 高考 重庆 数学 理科 试卷 含详细解答(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷（理工农医类）
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数321i
+
= (A)1+2i
(B)1-2i
(C)-1
(D)3
解：33221112i i i i i
⋅+
=+=+⋅ (2)设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解：,m n 均为偶数m n ⇒+是偶数 则充分；而m n +是偶数≠>,m n 均为偶数 。

(3)圆221:20O x y x +-=和圆22
2:40O x y y +-=的位置关系是
(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切
解： 化成标准方程：22
1:(1)1O x y -+=，222:)2)4O x y +-=，则
1(1,0)O ，2(0,2)O ，12||O O R r ==+，两圆相交
(4)已知函数y =的最大值为M ,最小值为m ,则
m
M
的值为
(A)
14
(B)
12
解：定义域10
3130
x x x -≥⎧⇒-≤≤⎨
+≥⎩ ，244y =+=+
所以当1x =-时，y 取最大值M =31x =-或时y 取最小值2m = 2
m M ∴= (5)已知随机变量ζ服从正态分布2
(3,)N σ,则(3)P ζ<= (A)
1
5
(B)
14
(C)
13
(D)
12
解：ζ服从正态分布2
(3,)N σ，曲线关于3x =对称，1
(3)2
P ζ<=
,选 D (6)若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R ∈，有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是 (A) ()f x 为奇函数 （B ）()f x 为偶函数 (C) ()1f x + 为奇函数
（D ）()1f x +为偶函数
解：令0x =，得(0)2(0)1f f =+，(0)1f =-，所以()()()11f x x f x f x -=+-+=-
()()110f x f x +-++=,即()1[()1]f x f x +=--+，所以()1f x + 为奇函数,选C
(7)若过两点1(1,2)P -,2(5,6)P 的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为
(A)－
1
3
(B) －
1
5 (C)
15
(D)
13
解：设点(,0)P x ，则021
603
λ-==--，选 A
(8)已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线为(0)y kx k =>,
离心率e =,则双曲
线方程为 （A ）22x a －2
24y a
=1
(B)22
2215x y a a -=
(C)22
2214x y b b
-=
(D)22
2215x y b b
-=
解：c e a =
=22
2b k a c
a a
b
c ⎧=⎪⎪
⎪⇒=⎨⎪+=⎪⎪⎩
， 所以224a b =
(9)如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是
（A ）12
V V >
(B) 22
V V <
（C ）12V V >
（D ）12V V <
解：设大球半径为R ，小球半径为2
R 根据题意331
2444()23324V R V R V ππ==⋅-⨯+所以
333124424()233232V R V V R R πππ-=-⋅== 于是1222V V V -=即212V V V -=所以2120V V V V -=->，12V V <∴。

(10)
函数()2)f x x π=
≤≤ 的值域是
（A ）
[-
2
] (B)[-1,0] （C ）
]
（D ）
]
解：特殊值法， sin 0,cos 1x x ==则f(x)
1=-淘汰A ，
令=得26(sin 1)cos 4x x -+=当时sin 1x =-时3
cos 2x =所以矛盾
()f x
≠淘汰C ， D
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则()()U A B C ð= .
解：{2,3,4,5)A
B =，{1,2,5}U
C =ð ()(){2,5}U A B C =ð
（12）已知函数f(x)= 23(0(0x x a x +≠⎧⎨=⎩当时）当时）
，点在x =0处连续，则222
1
lim x an a n n →∞+=+ . 解：0
lim x +→0
23lim 233x x x -
→+=+= 又 (0)f a = 点在x =0处连续， 所以0lim ()(0)x f x f →= 即3a = 故222
3131
lim 393
x n n n →∞+==+ (13)已知23
4
9a =
(a>0) ，则23
log a = . 解：23
3232
22()[()]3a =3
2()3a ⇒= 322332log log ()33
a ⇒==
(14)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，128a =-, 99S =-,则16S =
解： 1991955512()9
9,2192
a a S a a a a a a +⨯=
=-+=⇒=-∴+=-，
11651216()16()1691672222
a a a a S +⨯+⨯-⨯====-
（15）直线l 与圆2
2
240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 .
解：设圆心(1,2)O -，直线l 的斜率为k ， 弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110
op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴= 由点斜式得1y x =-
(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A 、B 、C 、
A 1、
B 1、
C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答） 解：111432A B C 处种，处种，处种则底面共43224⨯⨯=，
1131A B B C ，B 分类，A ，同，处种，处种，则共有3种
，
12B A B A ，不同，处3，处种，1C ⨯处种，则共有32=6种，由分类计数原理得上底面共9种，
由分步类计数原理得共有249216⨯=种
三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60，c =3b.求： （Ⅰ）
a
c
的值； （Ⅱ）cot B +cot C 的值. 解：（Ⅰ）由余弦定理得
22222211172cos ()233293
a a
b
c b A c c c c c c =+-=+-=⇒=
（Ⅱ）解法一：cos sin cos sin sin()sin cot cot ,sin sin sin sin sin sin B C C B B C
A
B C B C B C B C
+++=
=
=
由正弦定理和（Ⅰ）的结论得
2
2
7sin 19··1sin sin sin 9·3
c
A a
B
C A bc c c ====
故cot cot B C +=
解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有
2222
2
2
71()
cos 2722c c c a c b B ac c
c +-+-=
=
=
故sin B === 同理可得2222
2
2
71cos 27122c c c
a b c
C ab c c +
-+-=
==
sin
C
===
从而cos cos cot cot sin sin B C B C B C +=
+== （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）
甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为
1
2
，且各局胜负相互独立.求： （Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；
（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望E ξ. 解：令,,k k k A B C 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜.
（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比
赛还未停止的概率为 1231233
3111()().224
P AC B P B C A +=
+= （Ⅱ）ξ的所有可能值为2，3，4，5，6，且
121222111
(2)()(),222
P P A A P B B ξ==+=
+= 123123
33111
(3)()().224
P P AC C P B C C ξ==+=+=
1234123444111(4)()().228
P P AC B B P B C A A ξ==+=+= 123451234555
111
(5)()(),2216P P AC B A A P B C A B B ξ==+=+= 123451234555
111
(6)()(),2216
P P AC B A C P B C A B C ξ==+=+=
从而23456248161616
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（局）. （19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（19）图，在ABC 中，B=90,AC =
15
2
,D 、E 两点分别在AB 、AC 上.使 2AD AE
DB EC
==,DE=3.现将ABC 沿DE 折成直二角角，求： （Ⅰ）异面直线AD 与BC 的距离；
（Ⅱ）二面角A-EC-B 的大小（用反三角函数表示）. 解法一：
（Ⅰ）在答（19）图1中，因
AD AE
DB CE
=
，故BE ∥BC .又因B ＝90°，从而AD ⊥DE .
在第（19）图2中，因A -DE -B 是直二面角，AD ⊥DE ,故AD
⊥底面DBCE ，从而AD ⊥DB .而DB ⊥BC ,故DB 为异面直线AD 与BC 的公垂线. 下求DB 之长.在答（19）图1中，由
2AD AE
CB BC
==，得2
.3
DE AD BC AB == 又已知DE =3,从而39.22
BC DE =
=
6.
AB===因
1
, 2.
3
DB
DB
AB
=故＝
（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面
角.在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,
1155
2,,
322
DB EC
===
因此
4
sin.
5
DB
BCE
EC
==从而在Rt△DFE中，DE=3,
412
sin sin3.
55
DF DE DEF DE BCE
====
在
5
Rt,4,tan.
3
AD
AFD AD AFD
DF
∆===
中
因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan
5
.
3
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，DB DE DA
、、
的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D
（0，0，0），A（0，0，4），
9
20
2
C
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，，E（0，3，0）.
3
2
AD AD
⎛⎫
⎪
⎝⎭
＝-2，-，，＝（0，0，-4）.过D作DF⊥CE,
交CE的延长线
于F，连接AF.
设
00
(,,0),
F x y从而
00
(,,0),
DF x y
=
00
(,3,0).
EF x y DF CE
=-⊥
由，有
00
3
0,20.
2
DF CE x y
=+=
即①
又由00
3
,.
3
2
2
x y
CE EF
-
=
得②
联立①、②，解得
00
364836483648
,.,,0,,4.
252525252525
x y F AF
⎛⎫⎛⎫
=-=-=--
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
即，得
因为
36483
(2)0
25252
AF CE
⎛⎫⎛⎫
=--+
-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,故AF CE
⊥,又因DF CE
⊥,所以DFA
∠为
所
求
的
二
面角
A-EC-B 的平面角.因
3648,,0,
2525DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
有
22
364812
,4,5DF AD ⎛⎫⎛⎫=-+== ⎪ ⎪所以5tan .3
AD AFD DF ==
因此所求二面角A-EC-B 的大小为5arctan .3
（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）
设函数2
()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过点（0，2a +3），且在点（-1，f （-1）） 处的切线垂直于y 轴.
（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；
（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数g (x )=-f (x )e -x
的单调区间.
解：(Ⅰ)因为2
(),()2.f x ax bx c f x ax b '=++=+所以
又因为曲线()y f x =通过点（0，2a +3）, 故(0)23,(0),2 3.f a f c c a =+==+而从而
又曲线()y f x =在（-1，f (-1)）处的切线垂直于y 轴，故(1)0,f '-= 即-2a +b =0,因此b=2a .
(Ⅱ)由(Ⅰ)得239
2(23)4(),44
bc a a a =+=+-
故当34a =-时，bc 取得最小值-9
4.
此时有33
,.22b c =-=
从而233333
(),(),42222
f x x x f x x '=--+=--
2333()()(),422
x
x g x f x c x x e --=-=+-
所以23()(()()(4).4
x x
g x f x f x e x e --''=-=--
令()0g x '=，解得122, 2.x x =-=
当(,2),()0,()(,2)x g x g x x '∈-∞-<∈-∞-时故在上为减函数； 当(2,2)()0,()(2,).x g x g x x '∈->∈+∞时，故在上为减函数 当(2,)()0()(2,)x g x g x x '∈+∞<∈+∞时，，故在上为减函数.
由此可见，函数()g x 的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间
为（-2，2）.
（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若2
·1cos PM PN MPN
-∠＝
,求点P 的坐标.
解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴
b
所以椭圆的方程为22
1.95
x y += (Ⅱ)由2
,1cos PM PN MPN
=
-得
cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①
因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形.在△PMN 中，
4,MN =由余弦定理有
2
22
2cos .MN
PM PN PM PN MPN =+- ②
将①代入②，得
2
2
2
42(2).PM PN PM PN =+--
故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2
213
x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22
195
x y +=，所以
由方程组2222
5945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
解得2x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩
即P 点坐标为
(
)22222222
-、（-）、（-，-）. （22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足3
2
112
2,(N*)n a a a a a
a n ++==∈.
（Ⅰ）若21
4
a =
，求a 3，a 4，并猜想a 2cos 的值（不需证明）；
（Ⅱ）记32(N*),n n n b a a a n b =∈≥若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项
公式.
解：(Ⅰ)因2
122,2,a a -==故
342
312
382
423
2,2.
a a a a a a -
--====
由此有0
223
(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 1
(2)*2(N ).n n a n --=∈
（Ⅱ）令2log ,2.n S
n n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则 由题设知x 1=1且
*123
(N );2
n n n x x x n ++=
+∈ ①
123
(2).2n n S x x x n =++
+≥≥ ②
因②式对n =2成立，有1213
,12x x x ≤+=又得
21
.2x ≥ ③
下用反证法证明：2211
..22
x x ≤>假设
由①得2121131
2()(2).22
n n n n n n x x x x x x ++++++=+++
2008年普通高等学校招生全国统一考试
第 11 页 共 11 页 因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为
12的等比数列.故 *121111()(N ).222
n n n x x x n +--=-∈ ④ 又由①知 211111311()2(),2222
n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是112n n x x +-是首项为212
x -，公比为-2的等比数列,所以 1*1211()(2)(N ).22n n n x x x n -+-
=--∈ ⑤ 由④-⑤得 1*221511(2)()(2)(N ).222
n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得
2
*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223n n x x x n ---=+---∈ ⑦ 由题设知21231,22
k S x +≥>且由反证假设有 21*22221*22221121152)(2)()(N ).22341211151()(2)(2)2(N ).23244
k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈（从而 即不等式22k +1＜
223
64112x x +
-- 对k ∈N *恒成立.但这是不可能的，矛盾.
因此x 2≤12,结合③式知x 2=12
,因此a 2=2*2 将x 2=12
代入⑦式得 S n =2－112n -(n ∈N*), 所以b n =2S n =22－112n -(n ∈N*)。