关于公平的竞赛评卷系统的研究模型
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答卷的分配过程中，将答卷的分配转化为对பைடு நூலகம்委的分配，利用0-1整数规划和加权的 方法建立数学模型。通过此数学模型对评委进行分配，既实现了回避本校答卷又实现了 出错率极小和阅卷速度最快。
采用夏皮罗一威尔克 (Shapiro-Wilk test）检验法对评分一致性进行检验，并利用此 检验法对每个评委的公平性进行评价。为了验证其可行性，给出了具体的模拟数据进行 分析和运算，达到了较好的效果。
3．给出评分一致性或公正性的检验方法，该方法要求对每个评委的公平性给出评 价（某评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可在下面的问题中 调整）。
4．给出最终的分数调整计算公式。该公式要处理那些可能出现的“不公平”，及尺 度偏差。对可能出现的“不公平”构造例子，说明你的方法。
5．对评卷中的其他问题（如采用百分制还是等级分，一份答卷由几个评委评阅可 以满足既经济又公平，等等）提出你的看法和根据。
二、 符号的约定
第 2 页 共 19 页
v 加密前的试卷序号 e 加密后的试卷序号 Q 加密矩阵 vi 第 i 位评委的阅卷速度
F1 总的阅卷出错率 F2 总的阅卷速度 ci,n 测定值的数目 n 及测定值次序 i 有关的系数 ξi 偏离度，即为每个评委的公平度 xi 第 i 位评委所给出的分数
xi** 调整后的分数
1．有 A,B,C,D 四个题目，P（P ≥ M）所学校参赛，给出一种答卷编号加密和解密 的数学公式方法（其中题号为明号）；要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好； 对你的方法给出分析。
2．每个题组的 M 个评委来自不同学校，给出一种评阅答卷分配的数学公式方法， 要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求。
密的数学公式方法（其中题号为明号）。经过认真分析我们认为题意就是要将答卷序号 进行加密和解密，于是我们引入了一个加密矩阵来对答卷编号进行加密，并通过加密矩 阵的逆来实现解密。其加密解密的具体步骤如下：
第 3 页 共 19 页
给定一个 n 阶方阵 Q ，Q 的元素取整数，且 M 的元素也必须为整数， Q 称为
关于公平的竞赛评卷系统的研究
摘要
数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人开始 关注竞赛评卷的公平性。一套好的竞赛评卷系统不仅可以增加参与者的积极性，更重要 是的能够扩大数学教育在整个社会的影响。
本文通过对答卷编号进行加密、对试卷合理分配和对评委评分一致性进行检验，并 对出现的“不公平”进行调整来保证竞赛评卷系统的公平性。
对于答卷的编号的加密，引入了一个加密矩阵来实现对答卷编号进行加密，只要将 密文乘以加密矩阵的逆就能实现解密。由于只引入了一个加密矩阵且其可以随机选取， 所以这种方法简单、灵活、可随意变换。保密性方面采用数学家香农（Claude- E.Shanon） 创立的信息论对加密方法进行分析，经过分析表明保密性很好。
6．假定有 35 所学校 298 个参赛队参赛，数据如附表。 其中：数字前两位代表学校，甲组选做 A，B 题；乙组选做 C，D 题； 25 名评委所属的学校编号为：1-17，20，21，22，24，26，28，29，30。 每份试卷经四位评委评阅，编号为 15，22 的只容许评 C，D 题，编号为 26 的只容 许评 A，B 题，编号为 1，4，6，12，16 的评委要求评 A 题，编号为 2，5，7，10 的评 委要求评 B 题；编号为 24 的评委要求评 C 题，编号为 29 的评委要求评 D 题。其余按 所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排。 要求对问题 1，2 给出具体的算法及结果。对问题 3，4，5 给出模拟数据再进行分 析和运算。
3) 将 e 中的元素转化为 1~k 中的数字，即 (b1 b2 ... bn )= (d1 d2 ... dn ) (mod
加密矩阵因子， Q−1 称为解密矩阵因子，设答卷编号为明文向量 q= (r1 r2 ... rn ) ，则 答卷编号密码为密文向量 e= (b1 b2 ... bn )
对明文向量进行矩阵加密的算法： 1) 对明文向量以 n 个元素为一组进行分组；最后一组不够 n 个元素用 1 个特殊数
字补足． 2) 依次取上述的 1 个分组，进行 e = v*M (mod k) 矩阵运算。
数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关 心竞赛评卷的公平性。现今大多数的评卷工作是这样进行的：先将答卷编成密号，评委 由各参赛学校（20-50 所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由 M 个评委组 成，评阅 N 份答卷，每份答卷经 L 个评委评阅，评委对每份答卷给出等级分（A+，A， A-，B+，B，B-，C+ ，C，C-，D），如果 L 个评委给出的分数基本一致，就给出这份答 卷的平均分，否则需讨论以达成一致（其中 M = 5-10，N = 60-200，L = 3-5）。现在需要 你解决如下问题：
由于每个评委看待问题的角度不同，个人观念也有差异，所以不同评委对同一份答 卷评的分数有高有低，可能出现“不公平”及尺度偏差等问题。在处理这些数据时，充分 考虑了评委的差异，给评委打的分数乘上一个系数，构造出了最终的分数调整计算公式， 根据实际情况，利用回归方程和最小二乘法确定系数的大小。通过构造具体的例子说明 此方法确实可行。
对于评卷中采用等级制，我们认为其优于百分制。与百分制相比他明显具有以下几 个优点：
1) 降低了分数的区分度，减轻多数参赛者的心理压力； 2) 有利于激发参赛者的学习兴趣； 3) 便于评委评定试卷。
关键词：加密矩阵 0-1整数规划 加权 夏皮罗—威尔克检验法 回归方程
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一、 问题的重述
k 调整系数
三、 合理的假设
1. 假设每所学校最多派出一名评委 2. 为了便于文章的统计和分析，假设评阅过程采用十分制，（A+，A，A-，B+，B，B-，
C+ ，C，C-，D）分别由数字 10~1 表示。
四、 问题的分析与建模
问题一的分析与建模 本题的要求是给出一种方法简单易算、可随意变换且保密性能好答卷编号加密和解
采用夏皮罗一威尔克 (Shapiro-Wilk test）检验法对评分一致性进行检验，并利用此 检验法对每个评委的公平性进行评价。为了验证其可行性，给出了具体的模拟数据进行 分析和运算，达到了较好的效果。
3．给出评分一致性或公正性的检验方法，该方法要求对每个评委的公平性给出评 价（某评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可在下面的问题中 调整）。
4．给出最终的分数调整计算公式。该公式要处理那些可能出现的“不公平”，及尺 度偏差。对可能出现的“不公平”构造例子，说明你的方法。
5．对评卷中的其他问题（如采用百分制还是等级分，一份答卷由几个评委评阅可 以满足既经济又公平，等等）提出你的看法和根据。
二、 符号的约定
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v 加密前的试卷序号 e 加密后的试卷序号 Q 加密矩阵 vi 第 i 位评委的阅卷速度
F1 总的阅卷出错率 F2 总的阅卷速度 ci,n 测定值的数目 n 及测定值次序 i 有关的系数 ξi 偏离度，即为每个评委的公平度 xi 第 i 位评委所给出的分数
xi** 调整后的分数
1．有 A,B,C,D 四个题目，P（P ≥ M）所学校参赛，给出一种答卷编号加密和解密 的数学公式方法（其中题号为明号）；要求方法简单易算、可随意变换且保密性能好； 对你的方法给出分析。
2．每个题组的 M 个评委来自不同学校，给出一种评阅答卷分配的数学公式方法， 要求回避本校答卷，并且每个评委评阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求。
密的数学公式方法（其中题号为明号）。经过认真分析我们认为题意就是要将答卷序号 进行加密和解密，于是我们引入了一个加密矩阵来对答卷编号进行加密，并通过加密矩 阵的逆来实现解密。其加密解密的具体步骤如下：
第 3 页 共 19 页
给定一个 n 阶方阵 Q ，Q 的元素取整数，且 M 的元素也必须为整数， Q 称为
关于公平的竞赛评卷系统的研究
摘要
数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人开始 关注竞赛评卷的公平性。一套好的竞赛评卷系统不仅可以增加参与者的积极性，更重要 是的能够扩大数学教育在整个社会的影响。
本文通过对答卷编号进行加密、对试卷合理分配和对评委评分一致性进行检验，并 对出现的“不公平”进行调整来保证竞赛评卷系统的公平性。
对于答卷的编号的加密，引入了一个加密矩阵来实现对答卷编号进行加密，只要将 密文乘以加密矩阵的逆就能实现解密。由于只引入了一个加密矩阵且其可以随机选取， 所以这种方法简单、灵活、可随意变换。保密性方面采用数学家香农（Claude- E.Shanon） 创立的信息论对加密方法进行分析，经过分析表明保密性很好。
6．假定有 35 所学校 298 个参赛队参赛，数据如附表。 其中：数字前两位代表学校，甲组选做 A，B 题；乙组选做 C，D 题； 25 名评委所属的学校编号为：1-17，20，21，22，24，26，28，29，30。 每份试卷经四位评委评阅，编号为 15，22 的只容许评 C，D 题，编号为 26 的只容 许评 A，B 题，编号为 1，4，6，12，16 的评委要求评 A 题，编号为 2，5，7，10 的评 委要求评 B 题；编号为 24 的评委要求评 C 题，编号为 29 的评委要求评 D 题。其余按 所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排。 要求对问题 1，2 给出具体的算法及结果。对问题 3，4，5 给出模拟数据再进行分 析和运算。
3) 将 e 中的元素转化为 1~k 中的数字，即 (b1 b2 ... bn )= (d1 d2 ... dn ) (mod
加密矩阵因子， Q−1 称为解密矩阵因子，设答卷编号为明文向量 q= (r1 r2 ... rn ) ，则 答卷编号密码为密文向量 e= (b1 b2 ... bn )
对明文向量进行矩阵加密的算法： 1) 对明文向量以 n 个元素为一组进行分组；最后一组不够 n 个元素用 1 个特殊数
字补足． 2) 依次取上述的 1 个分组，进行 e = v*M (mod k) 矩阵运算。
数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关 心竞赛评卷的公平性。现今大多数的评卷工作是这样进行的：先将答卷编成密号，评委 由各参赛学校（20-50 所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由 M 个评委组 成，评阅 N 份答卷，每份答卷经 L 个评委评阅，评委对每份答卷给出等级分（A+，A， A-，B+，B，B-，C+ ，C，C-，D），如果 L 个评委给出的分数基本一致，就给出这份答 卷的平均分，否则需讨论以达成一致（其中 M = 5-10，N = 60-200，L = 3-5）。现在需要 你解决如下问题：
由于每个评委看待问题的角度不同，个人观念也有差异，所以不同评委对同一份答 卷评的分数有高有低，可能出现“不公平”及尺度偏差等问题。在处理这些数据时，充分 考虑了评委的差异，给评委打的分数乘上一个系数，构造出了最终的分数调整计算公式， 根据实际情况，利用回归方程和最小二乘法确定系数的大小。通过构造具体的例子说明 此方法确实可行。
对于评卷中采用等级制，我们认为其优于百分制。与百分制相比他明显具有以下几 个优点：
1) 降低了分数的区分度，减轻多数参赛者的心理压力； 2) 有利于激发参赛者的学习兴趣； 3) 便于评委评定试卷。
关键词：加密矩阵 0-1整数规划 加权 夏皮罗—威尔克检验法 回归方程
第 1 页 共 19 页
一、 问题的重述
k 调整系数
三、 合理的假设
1. 假设每所学校最多派出一名评委 2. 为了便于文章的统计和分析，假设评阅过程采用十分制，（A+，A，A-，B+，B，B-，
C+ ，C，C-，D）分别由数字 10~1 表示。
四、 问题的分析与建模
问题一的分析与建模 本题的要求是给出一种方法简单易算、可随意变换且保密性能好答卷编号加密和解