3-2 第三章之二,分子热运动能量和速度的统计分布律

dvz z
=Cexp[−mvz exp[− (0)v ⋅n(0)vzdvz.∞ C=[m/(kT)]∫ C=[m/(kT)]∫0 vzf(vz)dvz. )dv n(0)vzdvz≠0, (0)v 2/(2kT)]. f(vz)=Cexp[−mvz (2kT)]. )=Cexp[− 再利用分布函数f 再利用分布函数f(vz)的归 一化条件就能确定C的值。 一化条件就能确定C的值。
但是，速度分量vz的分 但是，速度分量v 布函数f 布函数f(vz)应该仅由温度 T决定而与重力场强 g 或 无关。 高度 h无关。高处的 n(h) 之所以会比较小， 之所以会比较小，是由于 低处那些 vz小的分子不能 克服重力场而飞到高处。 克服重力场而飞到高处。
因此，正是分子的 因此， 速度分布决定了其在 重力场中按高度的分 两者密切相关， 布。两者密切相关， 据此可以推导速度分 的分布函数f 量vz的分布函数f(vz).
n(h)=n(0)exp[−mgh/(kT)]. )=n(0)exp[−mgh/(kT)]. mvz
2/2=mgh, 2=mgh,
m≠0, vzdvz=gdh.
在 h=0 处，速度分量 +dv vz 分布在 vz∼vz+dvz 区间 内的分子向上运动的通 量，应该等于在 h 处与 +dh 在h+dh处各种速率分子 向上运动的通量之差。 向上运动的通量之差。
*粒子数布居反转 *负绝对温度 **宇宙的有限与无限 **宇宙的有限与无限 *玻尔兹曼对速度分布 律的推导
玻尔兹曼对 速度分布律 的推导
1876年 1876年，玻尔兹曼提出以 下证明思路：在均匀重力场 下证明思路： 中海拔高度为 h 处的恒温理 想气体的分子数密度n 想气体的分子数密度n(h)为 n(h)=n(0)exp[−mgh/(kT)]. )=n(0)exp[−mgh/(kT)].
n(0)vzf(vz)dvz (0)v )dv =dJ =dJ(0, vz∼vz+dvz) +dv =J0∼∞(h)−J0∼∞(h+dh) +dh =−dJ0∼∞(h) ∞ =−d∫0 n(h)vzf(vz)dvz )dv
=−d{n(0)exp[−mgh d{n(0)exp[− ∞ )dv /(kT)]}∫0 vzf(vz)dvz kT)]}∫ =−n(0)[−mg/(kT)] (0)[−mg/(kT)] ⋅exp[−mgh/(kT)]dh exp[−mgh/(kT)]dh ∞ )dv ⋅∫0 vzf(vz)dvz
*均质大气 *均质大气高度 大气粒子总数 44) (N大气 = 1.0740×10 1.0740× 大气总质量 *大气的总重力势能
*大气的热运动总能量 *世界对初级能源的年消 耗量 **能源问题 **能源问题 **新能源的开发与利用 **新能源的开发与利用
*大气的温度结构 *大气的均质层 *大气的非均质层 *大气非均质层内 的重力分离现象
∞
现在分布函数f 现在分布函数f(vz)可以 =0（即无重力场） 用于 g=0（即无重力场） 时沿任何方向所选定的 z 换句话说， 轴。换句话说，加上或取 消重力场， 消重力场，都不会影响与 改变分子的速度分布。 改变分子的速度分布。原 来利用重力场只是手段。 来利用重力场只是手段。
绝热指数 γ =cp /cv =1.400
声音传播速度
1/2 c=(γRT/µ) -1 m⋅ m⋅ s
=340.29
大气标高 H=RT/(µg) RT/(
3 =8.4345×10 8.4345×
m
保守力场中微粒按 势能的分布 *热带风暴 *离心法分离核素 麦克斯韦－ 麦克斯韦－玻尔兹 曼分布律
估算干洁大气粒子 总数时， 总数时，忽略了地面 的凹凸不平所造成的 误差为 42 =3.099866× ∆N=3.099866×10
考虑到地面的凹 凸不平时， 凸不平时，得干洁 大气粒子总数为 N干=N−∆N −∆N 44 =1.06962× =1.06962×10
大气中水分子 的总数为
41 N水=4.35×10 =4.35×
2/(2kT)] (2kT)]
2∫0 f(vz)dvz=1 )dv 1/2 =2C kT/(2m =2C[πkT/(2m)] 1/2. =C(2πkT/m) (2πkT/m) 1/2 f(vz)=[m/(2πkT)] )=[m/(2πkT)] 2/(2kT)]. ⋅exp[−mvz (2kT)]. exp[−

分子摩尔质量
-3 µ=28.9644×10 =28.9644× -1 kg⋅ kg⋅mol
气体质量 气体质量密度 质量密度 p/(RT) ρ =µp/(RT) =1.2250 -3 kg⋅ kg⋅m
分子数密度 n=p/(kT) p/(kT) 25 =2.5470× =2.5470×10 -3 m
第三章 分子热运动 能量和速度 的统计分布律
第三章之二
等温大气 等温气压公式 兰州市区的大气压 *珠穆朗玛峰的大气压 *气压计和高度计
重力场中微粒按高 度的分布 *沙尘暴 *大气污染的治理 **阿伏伽德罗常量 **阿伏伽德罗常量 的测定
*大气标高 *等温大气标高 *等温大气中粒 子的平均高度与平 均重力势能
考虑到地面的凹 凸不平时， 凸不平时，得大气 粒子(含水) 粒子(含水)总数为 N大气=N干+N水 44 =1.0740× =1.0740×10
大气粒子总数为
44 1.0740× 1.0740×10
地球表面上 干洁大气的 典型数据
v
(当g=9.806 65
-2, m⋅ m⋅s
p=101 325 Pa, Pa, T=288.150 K =15.000 °C时)
*标准大气 *估算大气粒子 总数时忽略了地面 的凹凸不平所造成 的误差
用标准大气 模型估算大 气粒子总数
将大气分成一系列同 心球壳， 心球壳，利用标准大气 的数据可以求得每个球 壳里的大气粒子数， 壳里的大气粒子数，然 后求和， 后求和，就能够得到整 个大气的粒子总数。 个大气的粒子总数。
忽略了地面的凹 凸不平时， 凸不平时，得干洁 大气粒子总数为 44 N=1.100620×10 =1.100620×
=n(0)[m/(kT)]exp[−mvz (0)[m/(kT)]exp[−
∞ ∞ ={[m/(kT)]∫ ={[m/(kT)]∫0 vzf(vz)dvz} )dv
2
/(2kT)]vzdvz∫0 vzf(vz)dvz (2kT)]v )dv
⋅n(0)exp[−mvz (0)exp[−
2/(2kT)]v (2kT)]v