弹性力学第六章-扭转

(2) tA=tB=tmax= 71.3 MPa tC=35.7 MPa
40
思考题8-6
下图所示的扭转超静定问题，若假想地解除B 端的约束，而利用B截面的扭转角为零作为位移条 件求解, 试列出其求解过程。
M
A
B
a Cb
l
41
思考题8-6答案：
M
MB
A
fB 0
B
先考虑 ห้องสมุดไป่ตู้作用，则
fBA1
M AC GIp
27
Wp
Ip d/2
πd
3
/ 16
对于空心圆截面（外径D，内
径d）
Ip
r2 d A
A
D / 2 2 πr d r r 2 d/2
π (D4 d4) 32
π D4(1 a 4 )
32
式中：a =d / D
28
Ip
π (D4 32
d4)
π 32
D 4 (1
a4)
应当注意：
Wp
Ip D/2
5
Me
g
AD BC
Me
f
根据圆筒横截面本身以及施加的力偶的极对称 性容易判明，圆筒表面同一圆周线上各处的切应变 均相同。因此，在材料为均匀连续这个假设条件下， 圆筒横截面上与此切应变相应的切应力其大小在外 圆周上各点处必相等；至于此切应力的方向，从相 应的切应变发生在圆筒的切向平面可知，是沿外圆 周的切向。
6
上述内容主要说明： (1) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同； (2) 薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等； (3) 薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的 切线。
7
对于薄壁圆筒（d 很小），横截面上其它各点
处的切应力可以认为与外圆周处相同，即不沿径向 变化。于是可以认为薄壁圆筒受扭时，横截面上的 切应力大小处处相等，方向则垂直于相应的半径。 即如图中所示。
15
1. 几何方面 如下图，实验表明：
(1) 等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆 的轴线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小 的情况时，圆周线间的相对纵向距离也不变。
16
(2) 平截面假设 等直圆杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘
那样绕杆的轴线转动。同样，等直圆杆受扭时，其 横截面上任一根半径其直线形状仍然保持为直线， 只是绕圆心旋转了一个角度。
轴内的最大切应力及轴的两个端面间的相对扭转角f。
32
例题 8-1
解：轴传递功率P (kW) ， 相当于每分钟传递功
W=1000×P×60(N·m) (1) 外力偶作功
W M 2 π nM (2)
令(1)、(2)相等，得 M 60 1000P 2πn
即 M 9.55P / n (kN m)
还是切应力？为什么？ 答：切应力，因为与正应力相应的分布内力之
合力不可能是个作用在横截面上的力偶。
4
§8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变
Me
g
AD BC
Me
f
平均半径为 R0、厚度为δ，且δ«R0 。
受扭后，圆周线与纵向直线之间原来的直角 改变了一数量。物体受力变形时，直角的这种改 变量（以弧度计）称之为切应变。
T
A
.O
B
22
思考题8-2参考答案:
T
O
A
B
23
思考题8-3 一受扭圆轴,由实心杆1和空心杆2紧配合而成。 整个杆受扭时两部分无相对滑动,试绘出切应力沿 水平直径的变化图，若(1) 两杆材料相同，即 G1=G2=G；(2) 两材料不同，G1=2G2。
T
1 2
24
思考题8-3(1)答案：
T
2 1
在两个端面上的外力偶之矩均为Me=14 kN·m，转 向相反。材料的切变模量G=8×104 MPa。求： (1) 横截面上的切应力，以及两个端面的相对扭 转角。 (2) 图示横截面上ABC三点处切应力的大小及方向。
39
思考题8-5答案：
(1) tmax=71.3 MPa f = 0.01784 rad
公式是在假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情
况下导出的。当d /R0=10％ ，其误差为4.5％。
9
Me
g
AD BC
l
由上图得 则
g l fR g fR/l
式中 R 为圆筒的外半径。
Me
f
10
通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外
加力偶矩在某一范围内时，扭转角f 与外力偶矩M(此
时 T=M )之间成正比。
36
例题 8-2
上两式中的Ip可以利用 Ip π d 4 / 32
f AB
80 109
955 0.3 (π / 32) 74
108
1.52 103 rad
同理：fAC 1.69103 rad
由于假想截面A固定不动，故 M2
截面B、C相对于截面A的相对
M1 d
M3
转动应分别与扭转力偶矩M2、 B
17
取微段dx分析：得半径为r的任意圆杆面上的切
应变。
gr
tan g r
r df
dx
r(df )
dx
(1)
式中：d f/dx 是长度方向的变化率，按平面假设是常 量。这样，等直圆杆受扭时， gr 与r 成线性关系。
18
2. 物理方面
由剪切胡克定律：tr=Ggr ，在 t<tp 时，可把(1)
式代入，得：
（2）径截面ABEF上应力分别沿直径AB、CD、 EF的分布。
Me E
T
t T /(2 π R02 d )
g fR/l
O
f
t
t tp
剪切比例
极限
O
g
11
t
图中的线性关系为
t tp
t = Gg
剪切比例
极限
O
g
上式称之为材料的剪切胡克定律。
式中 G—切变模量，单位为MPa。各种钢的切变模量 约为8.0×104 MPa，至于剪切比例极限，则随钢种而
异；Q235钢，tp ≈120 MPa。
理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，切变
模量与其它两个弹性参数E和n 之间存在下列关系：
E
G
2(1 n ) 泊松比
12
§8-2 圆杆扭转时的应力与变形
8.2.1 横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面杆受扭时，
我们没有理由认为它们横截面上的切应力如同在 受扭的薄壁圆筒中那样是均匀的分布的。
f Tl（弧度）
GIp GIp越大，扭转角越小，故称为抗扭刚度。
比较：
Δ l FNl EA
31
例题 8-1 一水轮机的功率为P=7350 kW，其
竖轴是直径为d =650 mm，而长度为l =6000 mm的等 截面实心钢轴，材料的剪切弹性模量为G =0.8×105 MPa。求当水轮机以转速n = 57.7 r/min匀速旋转时，
极惯性矩 Ip πd 4 / 32 0.0175m4
f Tl / GIp 0.00523rad
34
例题 8-2 图示传动轴系钢制实心圆截面轴。
已知： M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m
截面A与截面B 、C之间的距离分别为lAB=300mm
和lAC=500mm。轴的直径d =70mm, 钢的剪切弹性 模量G=8×104 MPa 。试求截面C对B的扭转角
8
这样，知道了切应力t 的分布规律后 ，便可以利
用静力学关系
T At d A r
r —— 切向力相对圆心的力臂,可用平均半径R0代替
则
T t R0 Ad A t R0 A
从而有
t T /(R0 A)
T /(R0 2 π R0 d )
T /(2 π R02 d )
上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算
2
本章主要研究以下内容： (1) 薄壁圆筒扭转时的应力和应变； (2) 等直圆截面杆受扭时的应力和变形；（等直圆 杆受扭时其横截面仍为平面，求解较简单。） (3) 简要介绍非圆截面杆受扭时的一些弹性力学 中的分析结果。（非圆截面杆受扭时，横截 面不再保持平面，要发生翘曲求解复杂。）
3
思考题 8-1 受扭杆件横截面上与扭矩对应的应力是正应力
第8章 扭 转
§8-1 薄壁圆筒扭转时的应力与应变 §8-2 圆杆扭转时的应力与变形 §8-3 强度条件及刚度条件 §8-4 等直圆杆在扭转时的应变能 §8-5 矩形截面杆的扭转
1
我们在第6章讲扭矩与扭矩图的时候，涉及到 这样的问题：
杆件在横向平面 内的外力偶的作用下， 要发生扭转变形，产 生相对扭转角 bO' b' (B截面相对于A截面）， 受扭杆之内力如右图。 用分离体分析扭矩T 。
G1=G2=G
25
思考题8-3(2)答案：
T
2 1
G1=2G2
26
8.2.2 极惯性矩和抗扭截面系数Ip和Wp 主要计算实心圆截面和空心圆截面。
Ip
r2 d A
A
如图有
d A 2π r d r
对于实心圆截面
Ip
r2d A
A
d / 2 2 π r d r r 2 0
πd 4 / 32
33
例题 8-1 因此作用在轴上的外力偶矩M为
M 9.55 7350/ 57.7
1217(kN m) T M 1217 1000 1.22 106 N m WP πd 3 / 16
π (650 103 )3 / 16 0.0539m3
t max T /WP 22.6MPa
A
C
M3的转向相同，从而fAB和fAC
lAB
lAC
的转向相同。由此可见，截面
C对B的扭转角fBC应是： fBC fAC fAB 1.7 104 rad
其转向与扭转力偶矩M3相同。
37
思考题8-4 直径50mm的钢圆轴，其横截面上的扭矩
T=1.5 kN·m，求横截面上的最大切应力。
38
思考题 8-5 实心圆轴的直径d =100 mm，长l =1m，作用
现在的关键在于： 确定切应力在横截面上的变化规律，即横截
面上距圆心为任意半径r 的一点处切应力tr与r
的关系。
13
首先观察受扭时，表面的变 形情况，据此作出涉及杆件 内部变形情况的假设，最后 还要利用应力和应变之间的 物理关系。
(1) 几何方面 (2) 物理方面 (3) 静力学方面
14
扭转变形演示
π D3 16
(1 a 4 )
千万不要出错！
29
8.2.3 扭转角
tr
Gr(df )
dx
T
t
A
r
r
d
A
df T
d x GIp
df T d x
GIp
f df l T d x
l
0 GIp
30
f df l T d x
l
0 GIp
若 l 范围内，T是常量，GIp也为常量，则上式为
Ma / GIp
只考虑MB的作用，则
fBA2
MB AB GIp
MB(a GIp
b)
MBl GIp
42
相容条件：
得 则
M
MB
A
B
fB fBA1 fBA2
Ma / GIp MBl / GIp 0 MB M (a / l) MA=M b/l
上述结果可与书例题8-3进行比较。
43
8.2.4 斜截面上的应力 通过扭转实验发现： (1) 低碳钢试件系横截面剪断； (2) 铸铁试件则沿着与轴线成45º的螺旋线剪断； (3) 木材试件沿与轴线平行的方向劈裂。
tr
Gg
r
Gr(df )
dx
(2)
上式表明：受扭的等直杆在
线性弹性范围内工作时，横截面
上的切应力在同一半径r 的圆周
上各点处大小相同，但它们随r
作线性变化，同一横截面上的最
大切应力在圆周边缘上，方向垂
直于各自的半径。
19
3. 静力学方面
T
t
A
r
r
d
A
tr
Gg
r
Gr(df )
dx
T G df r 2 d A dx A
M1 d
M3
M2
B
A
C
lAB
lAC
35
例题 8-2
M2
M1 d
M3
B
A
C
lAB
lAC
解：由截面法得Ⅰ，Ⅱ两段内扭矩分别为T Ⅰ=
955 N·m, T Ⅱ= 637 N·m 。先分别计算B ，C截面 对A之扭转角fAB， fAC , 则可以假想此时A不动。
f AB
T l AB GIp
， fAC
T l AC GIp
研究类似铸铁试件破坏原因
考虑斜截面上的应力。
44
方法：扭杆假想切开斜截面 扭杆，应力分布不均匀，不能切开斜截面
围绕需研究的点上切一个单元体
45
x
d
a
c
b
x
(1) 左、右横截面 (2) 顶、底面，径向截面 (3) 前、后面，切向截面
46
思考题 8-7 如图所示为从受扭实心圆截面杆中，以径向截 面ABEF取出的分离体（半个圆柱体）。试绘出 （1）横截面AGB上应力沿直径AB的分布；
式中的积分是整个横截面面积A范围内每个微面积
dA乘以它到圆心的距离平方之总和，因此它是横截
面的几何性质，称之为横截面的极惯性矩，常用Ip来
表示，即：
Ip
r 2 d A （单位：mm4或m4）
A
df T
故
d x GIp
tr
Tr
Ip
20
等直圆杆受扭时横截面上任 一点处切应力的计算公式：
tr
Tr
Ip
若求tmax，则令r =R，有t
改写成
t max
T WP
其中抗扭截面系数 WP
max
TR Ip
Ip，常用单位：mm3或m3 R
。
上述公式只适用于实心或空心圆截面等直杆在线
性弹性范围内受扭的情况。
21
思考题8-2
下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之 横截面，该截面上的扭矩T 亦如图所示，试绘出 水平直经AB上各点处切应力的变化图。