第9次课(2.2唯一性定理2.3拉普拉斯方程,分离变量法)

绝缘介质静电问题的唯一性定理 在有限的边界区域V 内有几种均匀的绝缘介质Vi 、εi (i = 1、2、3 …) ，V 中的自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那么， 当V 的边界面S 上的电势 给定(或电势的法向导数边界条 件) ，则V 内的电场有唯一确定的解。
(在每个小区Vi) i i i j (在两种绝缘介质的分界面上) i j 由 指向 ) j 分界面法向单位矢量 n j i i n n (在整个区域V 的边界面S上给定,按 S 或 约定,边界面法线 n 指向V 外) n S
r E0 r cos E0 rP (cos ) 1
r a0 a1rP (cos ) an r n Pn (cos ) 1
n 1
a1 E0
an 0. (n 1)
1 r
n 1
E0 rP (cos ) bn 1
1 1 1 ( ) R1 R2 R3
1 1 1 b( ) r R1
d b Q 4 0
b Q
2
d r
Q
4 0 R3
1 1 1 ( ) R1 R2 R3
2
数学表述如下:
以上的表达式,包括泊松方程、边值关系和边界条件统称 为定解问题. 唯一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是 区域V 中静电场分布的唯一解. 它在每一个均匀小区内满足泊 松方程,在任意两个均匀小区的分界面上满足边值关系,在整个 区域V 的边界面上满足给定的边界条件 S 或
c0
2
d r
d 4 b 4 d b
Q 4 0 R3
Q
0
Q 4 0
1 r R 2 r R
2
3
d 1 1 b( ) R3 R2 R1
b
2 1 0 dS 0 dS Q r R r r r R3 2
数学表示为:
2
(在V ′ 内) i S 或 (已知) n S Q S , i 1, 2,3 (已知)
i
S 常数, （待定）
i
满足以上定解问题的电场分布就是唯一解。
最后需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出
求解泊松方程的具体方法与步骤,但它对于解决实 际的边值问题有着重要的意义. 首先,它明确了在哪 些条件下可以唯一地确定一个静电场,即给出了求 解静电场的依据;其次,它使我们可以灵活地选用最
简单、最合适的解题方法,甚至可以猜一个解(即提
出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中的场方
程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就可
以肯定地说,它就是该问题中的唯一正确的解.
例题1(P62），两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部
电容率为1，右半部电容率为 2，设内球壳半径为a，带
总电荷Q，外球壳接地，半径为b。求电场和球壳上的电
[例1 P48]一个内径和外径分别为R2和R3
的导体球壳，带电荷为Q 。同心地包围 Q
着一个半径为R1的导体球（R1<R2)，使
R1
R2 R3
半径R1的导体球接地，求空间各点的电
势和这个导体球的感应电荷。
1 0 ( R1 r R2 )
2
22 0 (r R3 )
n dn 2 cn r n 1 Pn cos r n
method of separate variation
基本问题：电场由电势描述
电势满足泊松方程+边界条件
具体的工作：解泊松方程 只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这 类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体
情况不同而有不同解法
本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法
在许多实际问题中，静电场是由带电 导体决定的． 例如 电容器内部的电场是由作为电极的两 个导体板上所带电荷决定的 电子光学系统的静电透镜内部，电场 是由分布于电极上的自由电荷决定的 这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的 表面上，在空间中没有其他自由电荷分布．
此时，要唯一地确定V′内的电场，除了前面提到的关于绝缘介质的
边界条件外，还须对导体附加一定的条件。 附加的条件有两种类
型,一种是给定每个导体的电势 i ,另一种是给定每个导体所带的总 电量Qi
两种类型分别表述如下:
a）区域V 内有若干导体，设除导体外的区域V′内的自由电荷分布ρ
已知，V′的外表面S 上有已知的值或
值，此外，若每个导体表
面的电势 i 也已知，则区域V′内的电场有唯一解。
n
数学表示为:
i S 或 n S
2
(在V ′ 内) (已知) (已知)
S , i 1, 2,3
i
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外的区域V′内的自由电荷分 布ρ已知，V′的外表面S 上有已知的值或 值，此外，若每个导 n 体所带的总电量Qi 为已知，则区域V′内的电场有唯一解。
(左半部）
(右半部）
1Qr , 3 2 (1 2 )r 2Qr D2 , 3 2 (1 2 )r D1
ˆ r
2i 0 (i 1, 2) ˆ n S2 1 2 b a 在交界面上 2 1 1 n 2 n S1 在S1面上 , 已知Q 1 2 在S 2面上 , 已知 0 此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解
但具有一定的边界条件, 利用给定的边界条件去解静 电场的泊松方程,这叫做静电场的边值问题.
边值问题的解法有许多种,如分离变量法、镜像法、 格林函数法等等,问题是采用其中任何一种方法所得到的 解是不是唯一的、正确的? 只有唯一性定理才能对此做出 明确的回答,这就是我们必须要学好唯一性定理的原因.
对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定 的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定 理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。
为内边界上的法向单位矢按约定由介质1指向介质2??顶多都只能差一个常数先看vdvdvdvdsdvdvds由高斯公式其中s的边界面它由外边界1和内边界两部分组成即dsdvdsdsds外边界1内边界由前所述外边界1上的面积分为零同理对区域vdsdvdsdvdsdvdsdvdsdsdsds内边界两式分别相加得dsdvdvdsdvdvdvdv??顶多差一个常数这说明在每一个均匀小区内的电场分布都是唯一的
荷分布。 ˆ r
S2 a S1
解:设两介质内的电势、电场强度和电 1 , E1 , D1和 2 , E2 , D2 位移分别为
ˆ n
b
1 2
2i 0 (i 1, 2) 1 2 在交界面上 2 1 1 n 2 n 在S1面上 , 已知Q 在S 2面上 , 已知 0
bn 0 ,
(n 1)
b1 E0 R03
3 E0 R0 E0 r cos 2 cos r 0 r r R0
0 r
r R0
2 0 E0 R03 0 E0 cos cos 3 0 E0 cos 3 R0
Qr 则 , (左半部） 3 2 (1 2 )r Qr E2 , (右半部） 3 2 (1 2 )r 注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但E却保 持球对称性。 E1
虽然E仍保持球对称性，但是D和导体面上的电荷面
密度σ不具有球对称性。
则球面上 的电荷面 密度为
n
Pn (cos )
E0 rP (cos ) bn 1
n
1 r
n 1
Pn (cos )
r R 0
0
1 1 1 b0 E0 R0 P (cos ) b1 2 P (cos ) bn n1 Pn (cos ) 0 1 1 R0 R0 R0 n 1
(在Sij面上)
边界条件： 或 S n
ds Q 及导体的总电荷 n S
S
3、举例说明定特解的方法 [例3 P51] 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势 和导体上的电荷面密度。 bn n (an r n 1 ) Pn (cos ) (r R0 ) r n
由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一 种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先 考虑两介质分界面上的边值关系 S2
ˆ r
ˆ n
a
b
E2t E1t
D2n D1n
A E1 3 r , r
如果我们假设E仍保持球对称性，即
(左半部）
此时边值关系得到满足。 内导体球面S1上的积分
d 2 c r
n bn 1 an r n 1 Pn cos r n
b 1 a r
b 1 a r
1 r R 0
1
d 2 c r
2 r 0
Q
R1
R2 R3
b a R1
1 1 1 b( ) r R1
1Q 1 D1r 1 E1r , (左 半 部 ） 2 2 ( 1 2 )a 2Q 2 D2 r 2 E2 r , (右 半 部 ） 2 2 ( 1 2 )a
§2.3 拉普拉斯方程，分离变量法 Laplace's equation,
复习上一节课的内容
静电势的微分方程
边值关系

2
1 S 2
S
2 2 n
S
1 1 n

S
导体表面上的边值关系
| s 常数
n s
唯一性定理指出了必须附加什么样的边界条件,泊松方程 的解才会是唯一的、正确的,下面分两种情况进行讨论. 1)
n
S
以上所讨论的是区域内只有绝缘介质的情形. 如果区域内有导体存在,情况会有不同,因为导体 表面的电荷分布与导体外的电场是相互制约的, 因而无法预先得知. 在这种情况下,必须对导体 附加一些条件,区域内的电场分布才能唯一被确 定,这正是我们下面要讨论的.
2）有导体存在的情况
设区域V 中有若干导体，其余部分都是一 种均匀介质ε,将扣除导体后的区域称为V′，V′的 边界应包括两部分:V 的表面S(或V′的外边界) ， 每个导体的表面Si (或V′的内边界) .
§2.2 唯一性定理
Uniqueness Theorem
学习“唯一性定理”的重要性 静电场的基本规律是建立在库仑定律基础之上的,原 则上讲,用库仑定律可以求任意电荷分布的电场,但前提是 要求空间所有的电荷分布必须已知.
现在的问题是,如果需要求解一个区域内的电场,区域 内的电荷分布已经给定,而区域边界上的电荷分布却是未 知的, 此时就不能利用库仑定律 例如 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中。
因此剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关 系确定常数，得到满足边界条件的特解。
利用边界条件定解说明两点：
第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布），
必须有i个相应的Laplace's equation . 第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值
关系：
i j i j j i n n
S1 L
A E2 3 r , r
S1
(右半部）
1 2
D dS 1E1 dS 2 E2 dS Q
S2 2 ) A Q
Q A 2 ( 1 2 )
则
Qr , 3 2 (1 2 )r Qr E2 , 3 2 (1 2 )r E1
选择导体表面作为区域V的边 界，V内部自由电荷密度ρ＝0 ，泊松方程化为比较简单的拉 普拉斯方程
0
2
它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐 标中、并若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴， 这种情形下通解为
an R n
n

bn P cos n1 n R