新北师大版第2章第8节方程解的存在性及方程的近似解课件(48张)

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对点强化 1 (1)(2022·江西高三模考)已知函数
f(x)＝|fl（n xx|－－3s）in ，x，x>03<x≤3 ，则 f(x)在(0，10)上的零点个数为(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
B 由题意，当 0<x≤3 时，作出函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 的图象．
由图可知，函数 y＝|ln x|与 y＝sin x 在(0，1)和[1，3]内各有一个交点，
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解析 方程 f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0. 画出 y＝f(x)－2 与 y＝kx－2 的函数图象如图所示：
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2．(多选题)已知函数 f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 345 6 7
f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数 f(x)必有零点的区间为( )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(5，6)
D．(5，7)
BCD 由所给的函数值表知，
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，
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2．二分法 对于一般的函数 y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数 y＝f(x)的图象是一条连__续__ 的曲线，_____f_(_a_)·_f_(b_)_＜__0________，则每次取区间的中点，将区间一分为 二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二 分法．
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考点三 函数零点的应用 命题点 1 根据函数零点个数求参数
(2022·全国模拟)已知函数 f(x)＝x|l2n＋（2，x－x≤1）1，|＋2，x>1. ，若关 于 x 的方程 f(x)－kx＝0 有且只有一个实数根，则实数 k 的取值范围是 ________________．
答案 {k|0<k<3}∪{－2 2 }
[常用结论] 1．有关函数零点的重要结论 (1)若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零 点． (2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变． 2．函数 F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程 F(x)＝0 有实数解⇔函数 y＝f(x) 与 y＝g(x)的图象有交点．
A．(1，32 )
B．(32 ，2)
C．(0，12 )
D．(12 ，1)
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D 函数 f(x)＝2x＋ln x－1 为(0，＋∞)上的增函数， 由 f(1)＝1>0，f(12 )＝ 2 －ln 2－1<32 －ln 2－1＝12 －ln 2<12 －ln e ＝12 －12 ＝0， 可得函数 f(x)的零点所在的区间为12，1 .故选 D.
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解析 零点问题，转化成两个函数图象的交点来分析． 令 f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转化成两个函数 y1＝|lg x|，y2＝kx＋2 的图 象交点问题． 对于①，当 k＝0 时，|lg x|＝2，两个交点，①正确； 对于②，存在 k<0，使 y1＝|lg x|与 y2＝kx＋2 相切，②正确； 对于③，若 k<0，y1＝|lg x|与 y2＝kx＋2 最多有 2 个交点，③错误； 对于④，当 k>0 时，过点(0，2)存在函数 g(x)＝lg x(x>1)的切线，此时 共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有 3 个交点， 故④正确．
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(4)若 f (x)在区间[a，b]上连续不断，且 f (a)·f (b)＞0，则 f (x)在(a，b) 内没有零点．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
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[对点查验] 1．下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点 的是( )
A 根据二分法的概念可知选项 A 中函数不能用二分法求零点．故选 A.
D 要求方程 f(x)＋18 x2＝2 根的个数，即为求 f(x)与 y＝2－x82 的交点 个数，
由题设知，在(0，＋∞)上的图象如下图示，
∴由图知：有 3 个交点，又由 f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数， ∴在 y 轴左侧也有 3 个交点，故共有 6 个交点．故选 D.
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(2)已知函数 f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论： ①若 k＝0，则 f(x)有两个零点； ②∃k<0，使得 f(x)有一个零点； ③∃k<0，使得 f(x)有三个零点； ④∃k>0，使得 f(x)有三个零点． 以上正确结论得序号是________________． 答案 ①②④
画出两个函数的大致图象，如图所示：
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∵g(0)＝116 >f(0)＝0， ∴ 在 (0，＋∞) 内有 1 个交点， ∵g(－5)＝－1196 <f(－5)＝－14 ， g(－3)＝－156 >f(－3)＝－12 ， g(－2)＝－116 <f(－2)＝0，
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g(－1)＝116 >f(－1)， ∴ 两个函数在 (－∞，0) 内有 3 个交点， 综上所述，函数 f(x) 与函数 g(x) 共有 4 个交点， 所以方程 16f(x)＋(x2＋x－1)＝0 根的个数是 4 个．故选 C.
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3．已知 2<a<3<b<4，方程 logax＝－x＋b 的解 x0∈(n，n＋1)，n∈N＋， 则 n＝________________．
答案 2 解析 方程 logax＝－x＋b 的解， 即为函数 f(x)＝logax＋x－b 的零点， ∴x0 为 f(x)＝logax＋x－b 的零点， ∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又 f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0， ∴x0∈(2，3)，即 n＝2.
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4．函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点所在的区间是( )
A．(1，2)
B．(0，1)
C．(2，e)
D．(e，3)
C 因为 f(2)＝ln 2－2<0，f(e)＝ln e＋2e－6>0，且 f(x)为增函数，所以
f(x)的零点所在的区间为(2，e).故选 C.
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5 ．函 数 f(x) ＝ ax2－ x － 1 有且 仅有 一 个零 点 ，则 实 数 a 的 值为 ________________．
答案 0 或－14 解析 当 a＝0 时，f(x)＝－x－1，令 f(x)＝0 得 x＝－1， 故 f(x)只有一个零点为－1；当 a≠0 时，则 Δ＝1＋4a＝0， ∴a＝－14 . 综上有 a＝0 或－14 .
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探究·核心考点
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考点一 函数零点所在区间的判定
1．(2022·新疆三模)函数 f(x)＝2x＋ln x－1 的零点所在的区间为( )
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2．(2022·黑龙江双鸭山期末)函数 f(x)＝2ln x－1x －3 的零点所在的区
间为( )
(ln 2≈0.693，ln 3≈1.099，ln 5≈1.609)
A．(3，4)
B．(4，5)
C．(5，6)
D．(8，9)
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B f(x)＝2ln x－1x －3，由对数函数和幂函数的性质可知，
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考点二 函数零点个数的判定
(1)(2022·烟台市二模)已知函数 f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，
2|x－1|，0<x≤2 ＋∞)上的偶函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f（x－2）－1，x>2 ，则
方程 f(x)＋18 x2＝2 根的个数为(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
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[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( ) (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当 b2－4ac＜0 时没有零点．( ) (3)若函数 y＝f (x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f (a)f (b) ＜0.( )
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(2)(2022·浙江杭州期末)设函数
f(x)＝12f（x＋2），x∈（－∞，－2] 则方程 16f(x)＋(x2＋x－1)＝0 |x＋1|－1，x∈（－2，＋∞），
根的个数为( )
A．2BΒιβλιοθήκη 3C．4D．5返回导航
C 方程 16f(x)＋(x2＋x－1)＝0 根的个数等价于函数 f(x)与函数 g(x)＝ －116 (x2＋x－1) 的交点个数，
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思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象 是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有，则函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有 零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否 有交点来判断．
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1．利用函数性质判定方程解的存在性 (1)函数的零点 使得___f(_x_0_)＝__0____的数 x0 称为方程 f(x)＝0 的解，也称为函数 f(x)的 _零__点_．f(x)的零点就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的_横__坐__标_．
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(2)函数零点与方程根的关系 方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与_x_轴__有交点⇔函数 y＝f(x) 有零__点__． (3)零点存在定理 若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区 间端点的函数值一正一负，即______f_(_a_)·_f_(b_)_＜__0_______，则在开区间(a， b)内，函数 y＝f(x)至少有一个零__点__，即在区间(a，b)内相应的方程 f(x)＝0至__少__ 有一个解．
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第二章 函 数 第八节 方程解的存在性及方程的近似解
内
夯探课实究时·主核精干心练知考识点
容
索
引
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【考试要求】 1.理解函数的零点与方程的解的联系，理解函数零点 存在定理，并能简单应用.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方 程的近似解．
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夯实·主干知识
函数在 x∈(0，＋∞)时为单调增函数，
f(3) ＝ 2ln
3
－
1 3
－
3≈2×1.099
－
1 3
－ 3<0 ， f(4) ＝ 4ln
2
－
1 4
－
3≈4×0.693－14 －3＝－0.478<0，
f(5)＝2ln 5－15 －3≈2×1.609－15 －3＝0.018>0，
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f(6)＝2ln 6－16 －3＝2(ln 2＋ln 3)≈2×1.792－16 －3＝0.414>0，因为 f(x)在 x∈(0，＋∞)内是递增函数，故 f(8)>0，f(9)>0，函数是连续函数，由 零点判断定理知，f(x)的零点在区间(4，5)内．故选 B.
∴f(x)在区间(2，3)，(5，6)，(5，7)内都至少有一个零点．故选 BCD.
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3．(多选题)下列说法中正确的是( ) A．函数 f(x)＝x＋1 的零点为(－1，0) B．函数 f(x)＝x＋1 的零点为－1 C．函数 f(x)的零点，即函数 f(x)的图象与 x 轴的交点 D．函数 f(x)的零点，即函数 f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标 BD 根据函数零点的定义，可知 f(x)＝x＋1 的零点为－1.函数 y＝f(x) 的零点，即函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，因此 B，D 正确，A， C 错误．故选 BD.
所以 f(x)在(0，3]上有 2 个零点．
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由当 x>3 时，f(x)＝f(x－3)，由函数周期性的性质可得 当 3<x≤6 时，f(x)上有 2 个零点，当 6<x≤9 时，f(x)上有 2 个零点， 当 9<x<10 时，f(x)上有 1 个零点，所以 f(x)在(0，10)上有 7 零点个数．故 选 B.
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思维升华 函数零点个数的判定有下列几种方法 (1)直接求零点：令 f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零 点． (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的 曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函 数有多少个零点． (3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几 个不同的值，就有几个不同的零点．