切线长定理—知识讲解(基础)

切线长定理一知识讲解(基础)
责编：康红梅
【学习目标】
1. 了解切线长定义；理解三角形的内切圆及内心的定义；
2. 掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明
【要点梳理】
要点一、切线长定理
1.切线长：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
要点诠释：
切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称•切线是直线，而非线段•
2 .切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
要点诠释：
切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等
3 •圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边之和相等•
要点二、三角形的内切圆
1.三角形的内切圆：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆•这个三角形叫作圆的外切三角形•
2 •三角形的内心：
三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心•三角形的内心是这个三角
形的三条角平分线的交点•
要点诠释：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即；:- 1 I'：(S 为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
2
内心(三角形三角形三条角平分线X(1)到三角形三边距离相等;
内切圆的圆的交点(2)OA、OB OC分别平分
心)M BAG M ABG M ACB
⑶内心在三角形内部.
【典型例题】
类型一、切线长定理
1. (2015秋?湛江校级月考)已知PA PB分别切OO于A B, E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D.
(1 )若PA=6,求厶PCD的周长.
(2)若/ P=50°求/ DOC
解：(1)连接OE
••• PA PB与圆O相切，
••• PA=PB=6
同理可得：AC=CE BD=DE
△ PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+P；=12
(2)T PA PB与圆O相切，
•••/ OAP M OBP=90 / P=50°,
•••/ AOB=360 - 90°- 90°- 50° =130°,
在Rt △ AOC和Rt △ EOC 中，
r OA=OE
OC=OC，
L
• Rt△AO Q Rt△EOC( HL),
•••/ AOC H COE
同理：/ DOE M BOD
•••/ COD= M AOB=65 .
2
【总结升华】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握切线长定理是解题的关键.
2 . (2016秋?江阴市校级期中)如图，AB、AC、BD是O O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5 ,
AC=3，贝U BD的长为 _________
【解析】解: •/ AC 、AP 为O O 的切线, 举一反三： 【变式】已知：如图，OO
过点A 作AD _ BF 于点D .求证：DA 为OO
AC 、BD 是O O 的切线，贝U AC=AP , BP=BD ，求出BP 的长即可求出 BD 的长.
••• AC=AP ,
•/ BP 、BD 为O O 的切线,
• BP=BD , • BD=PB=AB - AP=5 - 3=2.
故答案为：2.
【总结升华】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键. 为.：ABC 的外接圆，BC 为OO 的直径，作射线 BF ，使得BA 平分三CBF , 的切线.
AO = BO2 = . 3 .
BA 平分.CBF ,• • 1 =. 2. • Z 3 Z 1 .
DB // AO .
AD _DB , • £BDA =90 . /.Z DAO =90 .
AO 是O O
半径，• DA 为O O 的切线. 3.
如图，正方形 ABCD 边长为4cm ，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过 A 作半圆的切线，与半圆相切于
F 点，与DC 相交于E 点，则△ ADE 的面积（ ）
【答案】2.
【答案】 连接AO .
A.12
B.24
C.8
D.6
【答案】D;
【解析】
••• AE与圆0切于点F,
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm , EF=EC ,
设EF=EC=xcm ,
则DE= (4 - x) cm, AE= (4+x) cm ,
在三角形ADE中由勾股定理得：
2 2 2
(4 - x) +4 = (4+x),
x=1cm,
/• CE=1cm ,
.DE=4 -仁3cm ,
2
--S^\DE=AD ?DE -=2=3 ^4^2=6cm -
【总结升华】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用
切线长定理得出AB=AF , EF=EC .
类型二、三角形的内切圆
4. (2015?青江市校级二模)如图，在△ABC中，I是内心，O是AB边上一点，00经过B点且与AI相切于I点.
(1)求证：AB=AC
(2)若BC=16 00的半径是5，求AI的长.
【解题思路】(1)延长AI交BC于D,连结OI,如图，根据内心的性质得/ OBI=Z DBI,则可证明OI// BD 再根据切线的性质得OI 丄AI，贝U BDLAD加上AI平分/ BAC所以△ ABC为等腰三角形，得到AB=AC (2)由OI// BC得到△ AOI sA ABD 得到
比例式，再根据勾股定理求得A D JA B2— BD2=贸，于是就可得. 【答案与解析】
解：(1)延长AI交BC于D,连结OI，如图,
• AI= ?AD= 'X
BD 8
二11 ~=~
••T是厶ABC的内心，
••• BI 平分/ ABC 即/ OBI=Z DBI, •/ OB=O|
•••/ OBI=Z OIB,
•••/ DBI=Z OIB,
•01 // BD
•/AI为OO的切线，
•01 丄AI,
•BDLAD
•/ AI 平分/ BAC
•△ ABC为等腰三角形，
•AB=AC
(2)T OI // BC
•△AOI sA ABD
•-y
•l i. H i ii，
•订:
•/.=:,
AB』
• Ai2"32,
【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键.
举一反三：
【变式】已知如图，△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3求厶ABC的内切圆O O的半径r.
【答案】
连结OA OB OC
•/△ ABC中，/ C=90°, BC=4, AC=3 • AB=5.
1111
贝U S\AO+S A CO+S^AO(=S^ABC即卩5r+ 4r+ 3r= 3 4 r=1
2 2 2 2，。