人教版A版27课标高中数学必修第二册第八章综合测试试题试卷含答案

第八章综合测试
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A.若m ∥α，n ∥α，则m n ∥ B.若⊥αγ，⊥βγ，则∥αβ C.若m ∥α，m ⊥β，则⊥αβ
D.若m ∥α，⊥αβ，则m ⊥β
2.如图，O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图，6A O =′′，2B O =′′，则OAB △的面积是（ ）
A.6
B.
C.
D.12
3.BC 是Rt ABC △的斜边，PA ABC ⊥平面，PD BC D ⊥于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（ ）
A.8
B.7
C.6
D.5
4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（ ）
A.1BC MN ⊥
B.1B N CM ∥
C.11ABN C MD 平面∥平面
D.1111CDM A B C D 平面⊥平面
5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（ ） A.18
B.12
C.6
D.12π
6.如图8-7-39所示，在三棱柱
111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积为（ ） A.30 B.18 C.15
D.12
7.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
B.1
D.2+
8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且1
2
EF =，则下列结论中错误的是（ ）
A.AC BE ⊥
B.EF ABCD ∥平面
C.三棱锥A BEF -的体积为定值
D.AEF △的面积与BEF △的面积相等
9.如图8-7-42，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，则下列结论中不正确的是（ ）
A.111A B CD BC D ⊥平面平面
B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面
C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点，使得∥平面
D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点，使得平面
10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，11
4
BF C K AB ==
，设过点
E ，
F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 11.如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC △折起，若°60DAB ∠=，则二面角D AC B --的平面角的大小为________.
12.在正三棱锥S ABC -中，AB =，SA =，E ，F 分别为AC ，SB 的中点.平面α过点A ，
SBC ∥平面α，ABC l α= 平面，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.
13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.
14.如图8-7-46，直角梯形ABCD 中，°90DAB ∠=，AB CD ∥，CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==，
°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.
三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.
16.[12分]在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且
1
2
CF CG BF DG ==.求证： （1）四边形EFGH 是梯形；
（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.
17.[13分]在如图所示的多面体中，EF AEB ⊥平面，AE EB ⊥，AD EF ∥，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，
2AE BE ==，G 是BC 的中点。

求证：
（1）AB DEG ∥平面； （2）BD EG ⊥.
18.[13分]如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，°90BAC ACD ∠=∠=，°60EAC ∠=，
AB AC AE ==.
（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得DP EAB ∥平面？请证明你的结论. （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值.
第八章综合测试
答案解析
一、选择题 1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】A 5.【答案】C
【解析】连接球心与多面体的各个顶点，把多面体分成了多个高为1的棱锥.这些棱锥的底面积之和为
1218n S S S S =+++=……，所以该多面体的体积为
12121111
111(1=63333
n n V S S S S S S =⨯+⨯++⨯=+++⨯…………）.
6.【答案】A
【解析】11111111BB C CEF ABC A B C F A B C E ABC V V V V ---=--
111
633ABC ABC ABC S S A F S AE =⨯-- △△△
()11653ABC ABC S A F AE S ⎡⎤
=-+=⎢⎥⎣⎦ △△.
∵AC AB ==6BC =，
∴1
=62
ABC S ⨯△.
∴15630BB C CEF V =⨯=.
7.【答案】C 8.【答案】D
【解析】A.由题意及图形知，11AC DD B B ⊥平面，故可得出AC BE ⊥，不符合题意；B.由正方体1111ABCD A B C D - 的两个底面平行，EF 在其底面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ABCD ∥平面 ，不符合题意；C.由几何体的性质及图形知，BEF △的面积是定值，A 点到平面11DD B B 的距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，不符合题意；D.由图形可以看出，点B 到EF 的距离与点A 到EF 的距离不相等，故AEF △的面积与
BEF △的面积不相等.
9.【答案】D
【解析】如图D-8-103，在A 中，由题意得111BC A B CD ⊥平面，又11BC BC D ⊂平面，111A B CD BC D ∴平面⊥平面，故A 正确.在B 中，设11A D AD P ⋂=，则P 为平面11A B CD 上的一点，满
足11D P BC D ∥平面，故B 正确.在C 中，设11B C BC O ⋂=，连接DO ，过点P 作PQ DO ∥，连接1D Q ，由题意推导出11PQD BC D 平面∥平面，∴在直线1A C 上存在一点Q ，使得11D Q BC D ∥平面，故C 正确.在D 中，过1A 作1A S OD ⊥于点S ，111A B CD BC D ∵平面⊥平面，
11A S BC D ∴⊥平面，设R 为直线1A C 上任意一点，连接PR ，1D R ，则11A SD R 一定为异面
直线，∴在直线1A C 上不存在一点R ，使得11D R BC D ⊥平面，故D 错误. 10.【答案】D
【解析】延长KE ，交CD 延长线于点M ，延长KF ，交CB 延长线于点N ，连接MN （图
略），则MN 是过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线l .11A D CN ∵∥，
∴MNC ∠ 是直线l 与直线11A D 所成角（或所成角的补角）.设122AB AA AD ===，E ∵是1DD 的中点，
114BF C K AB ==
，1DE =∴，11142BF C K AB ===，3
2
CK =∴. MD DE
MC CK
=
∵，NB BF NC CK =，1322
MD MD =+∴，1
2312NB NB =+， 解得4MD =，12NB =
，426MC =+=∴，3
2CN =， 6
tan 43
2
MC MNC NC ∠===∴.∴直线l 与直线11A D 所成角的正切值4.
二、填空题 11.【答案】°90
【解析】如图D-8-104，取AC 的中点E ，连接BE ，DE ，则DE AC ⊥，
BE AC ⊥，所以DEB ∠为二面角D AC B --的平面角.因为DA AB =，
°60DAB ∠=，所以DAB △为等边三角形.又AB a =，所以BD a =
，DE BE ==
，因此222DE BE BD +=，所以°90DEB ∠=.
12.【解析】
SBC α∵∥平面，ABC l α= 平面，SBC ABC BC = 平面平面，
l BC ∴∥.取AB 中点D ，连接DE ，DF （如图D-8-105）
，则DE BC ∥，l DE ∴∥，
∴异面直线l 和EF 所成角即为DEF ∠或其补角.取BC 中点O ，则SO BC ⊥，AO BC ⊥.又SO AO O = ，.BC SOA ∴⊥平面.又
SA SOA ⊂平面，BC SA ∴⊥，DE DF ∴⊥.在Rt DEF △中，DE =，
DF =，EF =∴，cos DEF ∠==，∴异面直线l 和EF 所成角的余弦值为
. 13.【答案】3
14.
【解析】直角梯形旋转后为圆台，其体积为221=13133V π++⨯⨯圆台（），矩形
ADCE 旋转后为圆柱，其体积为2=1V π 圆柱.所以所求旋转体的体积为
V =
-=
. 三、解答题 15.【答案】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，必须有V V 杯子冰淇淋≥，而
33142=4233V r ⨯=⨯冰淇淋ππ，2211=433V r h h =⨯⨯杯子ππ，则有2312
4433
h ⨯⨯⨯≥ππ，解得
8h ≥，即当圆锥形杯子的高大于或等于8cm 时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.因为圆锥的侧
面积为1
2442
S =
⨯⨯=π，所以当高为8cm 时，杯子所用材料面积最小，
面积的最小值是cm 2.
16.【答案】（1）如图D-8-106，连接BD ，E H AB AD ∵，分别是边，的中点，
1
=2
EH BD EH BD ∴∥，且.
又12CF CG BF DG ==∵
，13CF CG CB CD ==∴.FG BD ∴∥，且1
3
FG BD =，EH FG ∴∥且EH FG ≠，故四边形EFGH 是梯形.
（2）由（1）知EF ，HG 相交，设EF HG K ⋂=，
K EF ∈∵，EF ABC ⊂平面，
K ABC ∈∴平面.同理K ACD ∈平面，又=ABC ACD AC 平面平面，
K AC ∈∴，故EF 和GH 的交点在直线AC 上， AC ∴，EF ，GH 三条直线相交于同一点.
17.【答案】（1）因为AD EF ∥，EF BC ∥，所以AD BC ∥.又因为=2BC AD ，G 是BC 的中点，所以AD BG ∥，所以四边形ADGB 是平行四边形，所以AB DG ∥.因为AB DEG ⊄平面，
DG DEG ⊂平面，所以AB DEG ∥平面.
（2）因为EF AEB ⊥平面，AE AEB ⊂平面，所以EF AE ⊥. 又AE EB ⊥，EB EF E ⋂=，EB ，EF BCFE ⊂平面， 所以AE BCFE ⊥平面.
如图D-8-107，过点D 作DH AE ∥交EF 于点H ， 则DH BCFE ⊥平面，连接BH ，HG . 因为EG BCFE ⊂平面，所以DH EG ⊥.
因为AD EF ∥，DH AE ∥，所以四边形AEHD 是平行四边形，所以2EH AD ==，所以
2EH BE BG ===，
又EH BG ∥，EH BE ⊥，
所以平行四边形BGHE 为正方形，所以BH EG ⊥.又BH DH H ⋂=，BH BHD ⊂平面，DH BHD ⊂平面，所以EG BHD ⊥平面.因为BD BHD ⊂平面，所以BD EG ⊥.
18.【答案】（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P .证明如下：
如图D-8-108，取AB 的中点F ，BC 的中点P 连接DP ，PF ，EF ，则FP AC ∥，1
2
FP AC =
. 取AC 的中点M ，连接EM ，EC ， 因为AE AC =且60BAC ∠=︒，
所以EAC △是正三角形，所以EM AC ⊥，所以四边形EMCD 为矩形，所以1
2
ED MC AC =
∥， 又因为ED AC ∥，所以ED FP ∥且ED FP =，所以四边形EFPD 是平行四边形，所以
DP EF ∥.又EF EAB ⊂平面，DP EAB ⊄平面，所以DP EAB ∥平面.
（2）如图D-8-108，过点C 作CG AB ∥，过点B 作BG AC ∥，CG BG G = ，连接GD .因为ED AC ∥，所以ED BG ∥，所以B ，E ，D ，G 四点共面，所以平面EBD 与平面ABC 相交于BG .
因为CD AC ⊥，平面ACDE ABGC ⊥平面，所以CD ABGC ⊥平面. 又因为BG ABGC ⊂平面，所以BG CD ⊥.
又BG GC ⊥，CD GC C = ，所以BG CDG ⊥平面，所以BG DG ⊥，所以DGC ∠是平面
EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ.
设AB AC AE a ===，则GC AB a ==，DC EM ==，
所以GD =，
所以GC cos cos DGC GD =∠=
=
θ.。