2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测9-1直线与圆带讲解

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第9章 解析几何
9.1 直线与圆
从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力．
1．（2022•乙卷）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0（或x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0或x 2+y 2−8
3
x −
143y ＝0或x 2+y 2−165x ﹣2y −16
5
=0） ． 【解答】解：设过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， 即{F =0
16+4D +F =02−D +E +F =0
，解得F ＝0，D ＝﹣4，E ＝﹣6， 所以过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）圆的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0． 同理可得，过点（0，0），（4，0），（4，2）圆的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0． 过点（0，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x 2+y 2−8
3
x −
14
3
y ＝0． 过点（4，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x 2+y 2−165x ﹣2y −16
5=0．
故答案为：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0（或x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0或x 2+y 2−8
3x −14
3y ＝0或x 2+y 2−16
5x ﹣2y −16
5=0）． 2．（2022•北京）若直线2x +y ﹣1＝0是圆（x ﹣a ）2+y 2＝1的一条对称轴，则a ＝（ ） A ．1
2
B ．−1
2
C ．1
D ．﹣1
【解答】解：圆（x ﹣a ）2+y 2＝1的圆心坐标为（a ，0）， ∵直线2x +y ﹣1＝0是圆（x ﹣a ）2+y 2＝1的一条对称轴，
∴圆心在直线2x +y ﹣1＝0上，可得2a +0﹣1＝0，即a =1
2
． 故选：A ．
3．（2022•甲卷）设点M 在直线2x +y ﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M 上，则⊙M 的方程为 （x ﹣1）2+（y +1）2＝5 ．
【解答】解：由点M 在直线2x +y ﹣1＝0上，可设M （a ，1﹣2a ），
由于点（3，0）和（0，1）均在⊙M 上，∴圆的半径为√(a −3)2+(1−2a −0)2=√(a −0)2+(1−2a −1)2， 求得a ＝1，可得半径为√5，圆心M （1，﹣1）， 故⊙M 的方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝5， 故答案为：（x ﹣1）2+（y +1）2＝5．
4．（2022•新高考Ⅱ）设点A （﹣2，3），B （0，a ），若直线AB 关于y ＝a 对称的直线与圆（x +3）2+（y +2）
2
＝1有公共点，则a 的取值范围是 [13
，3
2] ．
【解答】解：点A （﹣2，3），B （0，a ），k AB =a−3
2，所以直线AB 关于y ＝a 对称的直线的向量为：3−a
2，所
以对称直线方程为：y ﹣a =3−a
2⋅x ，即：（3﹣a ）x ﹣2y +2a ＝0， （x +3）2+（y +2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1， 所以
√4+(3−a)2
≤1，得12a 2﹣22a +6≤0，解得a ∈[13
，3
2
]．
故答案为：[13
，32
]．
5．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确） ．
【解答】解：圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为O （0，0），半径r 1＝1， 圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16的圆心坐标为C （3，4），半径r 2＝4， 如图：
∵|OC |＝r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43
，∴l 1的斜率为−34
，设直线l 1：y =−34
x +b ，即3x +4y ﹣4b ＝0， 由
|−4b|5
=1，解得b =5
4（负值舍去），则l 1：3x +4y ﹣5＝0；
由图可知，l 2：x ＝﹣1；l 2与l 3关于直线y =4
3
x 对称，
联立{x =−1y =43
x
，解得l 2与l 3的一个交点为（﹣1，−4
3），在l 2上取一点（﹣1，0），
该点关于y =43x 的对称点为（x 0，y 0），则{y 02
=43⋅x 0−12y 0x 0+1
=−34
，解得对称点为（725，−2425）． ∴k l 3=
−2425+43
725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−4
3，即7x ﹣24y ﹣25＝0．
∴与圆x 2+y 2
＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为： x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．
故答案为：x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．
题型一.直线与方程
1．（2020•新课标Ⅲ）点（0，﹣1）到直线y ＝k （x +1）距离的最大值为（ ） A ．1
B ．√2
C ．√3
D ．2
【解答】解：方法一：因为点（0，﹣1）到直线y ＝k （x +1）距离d =√k +1
=√
k 2
+2k+1k 2
+1
=√1+
2k
k 2
+1
；
∵要求距离的最大值，故需k ＞0； ∵k 2+1≥2k ，当且仅当k ＝1时等号成立， 可得d ≤√1+2k
2k =√2，当k ＝1时等号成立．
方法二：由y ＝k （x +1）可知，直线y ＝k （x +1）过定点B （﹣1，0）， 记A （0，﹣1），则点A （0，﹣1）到直线y ＝k （x +1）距离d ≤|AB |=√2． 故选：B ．
2．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x ﹣y ﹣3＝0的距离为（ ）
A ．
√55
B ．
2√55
C ．
3√5
5
D ．
4√55
【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a ，a ），则半径为a ，a ＞0． 故圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝a 2，再把点（2，1）代入，求得a ＝5或1， 故要求的圆的方程为（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝25或（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1． 故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）； 故圆心到直线2x ﹣y ﹣3＝0的距离d =
|2×5−5−3|
√2+1=2√55或d =
|2×1−1−3|
√2+1=2√5
5；
故选：B ．
3．（2016•新课标Ⅱ）圆x 2+y 2﹣2x ﹣8y +13＝0的圆心到直线ax +y ﹣1＝0的距离为1，则a ＝（ ） A ．−4
3
B ．−3
4
C ．√3
D ．2
【解答】解：圆x 2+y 2﹣2x ﹣8y +13＝0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax +y ﹣1＝0的距离d =√a +1
=1，
解得：a =−4
3， 故选：A ．
4．（2018•新课标Ⅲ）直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]
B ．[4，8]
C ．[√2，3√2]
D ．[2√2，3√2]
【解答】解：∵直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x ＝0，得y ＝﹣2，令y ＝0，得x ＝﹣2， ∴A （﹣2，0），B （0，﹣2），|AB |=√4+4=2√2，
∵点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，∴设P （2+√2cosθ，√2sinθ）， ∴点P 到直线x +y +2＝0的距离：
d =√2cosθ+√2sinθ+2|√2=|2sin(θ+π
4)+4|√2
，
∵sin （θ+π
4）∈[﹣1，1]，∴d =|2sin(θ+π4)+4|√2
∈[√2，3√2]，
∴△ABP 面积的取值范围是：
[1
2
×2√2×√2，1
2
×2√2×3√2]＝[2，6]．
故选：A ．
题型二.圆的方程
1．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【解答】解：如图示：
半径为1的圆经过点（3，4），可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，1为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时，
连结OB ，A 在OB 上且AB ＝1，此时距离最小， 由OB ＝5，得OA ＝4，
即圆心到原点的距离的最小值是4， 故选：A ．
2．（2016•天津）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，点M （0，√5）在圆C 上，且圆心到直线2x ﹣y ＝0的距离为
4√5
5
，则圆C 的方程为 （x ﹣2）2+y 2＝9 ． 【解答】解：由题意设圆的方程为（x ﹣a ）2+y 2＝r 2（a ＞0）， 由点M （0，√5）在圆上，且圆心到直线2x ﹣y ＝0的距离为4√5
5
， 得a 2+5=r 2√5
=4√55
，解得a ＝2，r ＝3．
∴圆C 的方程为：（x ﹣2）2+y 2＝9． 故答案为：（x ﹣2）2+y 2＝9．
3．（2019•北京）设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 （x ﹣1）2+y 2＝4 ． 【解答】解：如图，
抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），
∵所求圆的圆心F ，且与准线x ＝﹣1相切，∴圆的半径为2． 则所求圆的方程为（x ﹣1）2+y 2＝4． 故答案为：（x ﹣1）2+y 2＝4．
4．（2015•新课标Ⅱ）已知三点A （1，0），B （0，√3），C （2，√3）则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．5
3
B ．
√21
3
C ．
2√5
3
D ．4
3
【解答】解：因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x ＝1上， 可设圆心P （1，p ），由P A ＝PB 得 |p |=√1+(p −√3)2， 得p =2√3
3 圆心坐标为P （1，
2√33
），
所以圆心到原点的距离|OP |=1+(2√3
3)2=√1+12
9=√21
3， 故选：B ．
题型三.直线与圆的位置关系
1．（2020•新课标Ⅲ）若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=1
5都相切，则l 的方程为（ ） A ．y ＝2x +1
B ．y ＝2x +1
2
C ．y =12
x +1
D ．y =12x +12
【解答】解：设直线l 与曲线y =√x 相切于M （a ，b ），（a ＞0），
则由(√x)′=1
2√x 可知，曲线y =√x 在点P 处的切线方程为y −√a =1
2√a −a)，即y −x
2√a √a
2=0，
该方程即为直线l 的方程， ∵直线l 与圆相切，
∴
√a
2
√1+1
4a
=
√5
5
，解得a＝1，
故直线l的方程为y=1
2
x+12．
故选：D．
2．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m−√3=0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2√3，则|CD|＝4．
【解答】解：由题意，|AB|＝2√3，
∴圆心到直线的距离d＝3，
∴
√3|
√m2+1
=3，∴m=−√33
∴直线l的倾斜角为30°，
∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，
∴|CD|=
|AB|
cos30°
=2√3
√3
2
=4．
故答案为：4．
3．（2021•北京）已知直线y＝kx+m（m为常数）与圆x2+y2＝4交于M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝（）
A．±1B．±√2C．±√3D．±2
【解答】解：圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，
直线被圆C所截的弦长的最小值为2，设弦长为a，
则圆心C到直线l的距离d=√4−(a
2
)2=√4−a
2
4，
当弦长取得最小值2时，则d有最大值√4−1=√3，
又d=
|m|
√1+k ，因为k
2≥0，则√1+k2≥1，
故d 的最大值为|m|=√3，解得m =±√3． 故选：C ．
4．（2020•新课标Ⅰ）已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0
B ．2x +y ﹣1＝0
C ．2x ﹣y +1＝0
D ．2x +y +1＝0
【解答】解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．
∵S 四边形PAMB =1
2|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +1
2， 联立{y =12x +1
22x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．
则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −1
2)2=54
．
联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．
故选：D ．
（多选）5．（2021•新高考Ⅰ）已知点P 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣5）2
＝16上，点A （4，0），B （0，2），则（ ）
A ．点P 到直线A
B 的距离小于10
B ．点P 到直线AB 的距离大于2
C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝3√2
D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝3√2
【解答】解：∵A （4，0），B （0，2）， ∴过A 、B 的直线方程为x
4+
y 2
=1，即x +2y ﹣4＝0，
圆（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16的圆心坐标为（5，5）， 圆心到直线x +2y ﹣4＝0的距离d =
|1×5+2×5−4|
√1+2=
11√5
=11√5
5＞4， ∴点P 到直线AB 的距离的范围为[
11√55−4，11√5
5
+4]，
∵
11√55
＜5，∴
11√55
−4＜1，
11√55
+4＜10，
∴点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故A 正确，B 错误；
如图，当过B 的直线与圆相切时，满足∠PBA 最小或最大（P 点位于P 1时∠PBA 最小，位于P 2时∠PBA 最大），
此时|BC |=√(5−0)2+(5−2)2=√25+9=√34， ∴|PB |=√|BC|2−42=√18=3√2，故CD 正确． 故选：ACD ．
（多选）6．（2021•新高考Ⅱ）已知直线l ：ax +by ﹣r 2＝0与圆C ：x 2+y 2＝r 2，点A （a ，b ），则下列说法正确的是（ ）
A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B ．若点A 在圆
C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 【解答】解：∵点A 在圆C 上， ∴a 2+b 2＝r 2，
∵圆心C （0，0）到直线l 的距离为d =2√a 2+b
2
=
2√a 2+b
2
=r ，
∴直线与圆C 相切，故A 选项正确， ∵点A 在圆C 内， ∴a 2+b 2＜r 2，
∵圆心C （0，0）到直线l 的距离为d =|0×a+0×b−r 2|
√a 2+b =
|r 2|
√a 2+b r ，
∴直线与圆C 相离，故B 选项正确， ∵点A 在圆C 外， ∴a 2+b 2＞r 2，
∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=
|0×a+0×b−r2|
√a2+b =|r
2|
√a2+b
r，
∴直线与圆C相交，故C选项错误，∵点A在直线l上，
∴a2+b2＝r2，
∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=
2
√a2+b =
2
√a2+b
=r，
∴直线与圆C相切，故D选项正确．
故选：ABD．
题型四.圆与圆的位置关系
1．（2016•山东）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是2√2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的位置关系是（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2＝a2（a＞0），
则圆心为（0，a），半径R＝a，
圆心到直线x+y＝0的距离d=a
√2
，
∵圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是2√2，
∴2√R2−d2=2√a2−a2
2
=2√a
2
2
=2√2，
即√a2
2
=√2，即a2＝4，a＝2，
则圆心为M（0，2），半径R＝2，
圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心为N（1，1），半径r＝1，则MN=√12+12=√2，
∵R+r＝3，R﹣r＝1，
∴R﹣r＜MN＜R+r，
即两个圆相交．
故选：B．
1．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）
A ．x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0
B ．x 2+y 2+4x ＝0
C ．x 2+y 2+2x ﹣3＝0
D ．x 2+y 2﹣4x ＝0 【解答】解：设圆心为（a ，0）（a ＞0），
由题意知圆心到直线3x +4y +4＝0的距离d =|3a+4|
√3+4=3a+45
=r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为（2，0） 则圆C 的方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，化简得x 2+y 2﹣4x ＝0
故选：D ．
2．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2+y 2﹣6y +6＝0相交于A 、B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为（ ）
A ．1
B ．±1
C ．√3
D ．±√3
【解答】解：根据题意，圆C ：x 2+y 2﹣6y +6＝0即x 2+（y ﹣3）2＝3，其圆心为（0，3），半径r =√3， 直线y ＝ax 与圆C ：x 2+y 2﹣6y +6＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等边三角形，
则圆心C 到直线y ＝ax 的距离d =32，
则有√1+a 2=3
2， 解可得：a ＝±√3；
故选：D ．
3．两圆x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0和x 2+y 2+2x ﹣8＝0相交于两点M ，N ，则线段MN 的长为（ ）
A ．4
B ．35√5
C ．12
5√5 D ．6
5√5
【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0的圆心为（﹣2，2），半径r 1＝2√2，
圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0的圆心为（﹣1，0），半径r 2＝3，
两圆x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0和x 2+y 2+2x ﹣8＝0相交于两点M ，N ，
直线MN 的方程为（x 2+y 2+4x ﹣4y ）﹣（x 2+y 2+2x ﹣8）＝0，
变形可得：2x ﹣4y +8＝0，即x ﹣2y +4＝0，
圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0的圆心到直线x ﹣2y +4＝0的距离d =
√1+4
=3√55， 则|MN |＝2×√r 22−d 2=2×√9−95=12√55；
故选：C ．
4．已知直线l ：y =√3x +m 与圆C ：x 2+（y ﹣3）2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为（ ）
A ．3+√6或3−√6
B ．3+2√6或3−2√6
C ．9或﹣3
D ．8或﹣2
【解答】解：圆心到直线l 的距离
d =√3+1=|m−3|2， 若∠ACB ＝120°，
则|m−3|
2×2=√6，
解得：m ＝3±√6，
故选：A ．
5．已知a 为常数，圆C ：x 2+2x +y 2﹣2ay ＝0，过圆C 内一点（1，2）的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为2x ﹣y ＝0，则a 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解答】解：将圆C 的方程变形 可得，（x +1）2+（y ﹣a ）2＝1+a 2，
圆心C （﹣1，a ），半径r =√1+a 2，
若使得∠ACB 最小，则弦长最小，弦心距最大，
故当（1，2）与圆心C （﹣1，a ）的连线与2x ﹣y ＝0垂直时，满足题意，
所以a−2
−1−1=−1
2， 故a ＝3．
故选：B ．
6．过圆T ：x 2+y 2＝4外一点P （2，1）作两条互相垂直的直线AB 和CD 分别交圆T 于A ，B 和C ，D 点，则四边形ABCD 面积的最大值为 √15 ．
【解答】解：如图所示，由O 作AB ，CD 的垂线OE ，OF ，连接OP ，BD ，
记OE＝d1，OF＝d2，则d12+d22=5．
AE＝BE=√4−d12，PE=√5−d12=d2，CF＝DF=√4−d22，PF=√5−d22=d1，
故S四边形ABCD＝S△PBD﹣S△P AC=1
2
PB⋅PD−12PA⋅PC=12[(PE+BE)⋅(PF+FD)−(PE−AE)⋅(PF−
CF)]=12[(d2+√4−d12)(d1+√4−d22)−(d2−√4−d12)(d1−√4−d22)]
=12×2(d2√4−d12+d1√4−d22)=d2√4−d12+d1√4−d22≤√(d12+d22)(8−d12−d22)=√5×3=√15．
当且仅当d1＝d2时取等号．
故答案为：√15．。