(六)圆形有压隧洞的衬砌计算

有压隧洞多采用圆形断面，内水压力常是控制衬砌断面的主要荷载。

为了充分利用围岩的弹性抗力，围岩厚度应超过三倍开挖洞径，并使衬砌与围岩紧密贴结。

欲求衬砌在某种荷载组合下的内力，只需分别计算出各种荷载单独存在时衬砌的内力，然后进行叠加。

1、均匀内水压力作用下的内力计算
当围岩厚度大于3倍开挖洞径时，应考虑围岩的弹性抗力，将衬砌视为无限弹性介质中的厚壁圆管，根据衬砌和围岩接触面的径向变位相容条件，求出以内水压力p 所表示的弹性抗力P 0，而后按轴对称受力的弹性理论厚壁管公式计算衬砌的内力。

如图1所示，在内水压力p 和弹性抗力p 0作用下，按弹性理论平面变形情况，求得厚壁管管壁任意半径r 处的径向变位u 为
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--+-+=0222221)21()(1)()21()1(p t t r r p t r r E r u e e μμμ (1) 取r=r e ，得衬砌外缘的径向变位u e 为 ⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡--+-
-+-+=
022
21
)21(11
1)21()1(p t t p t E
r u e e μμμ (2) 式中 E ——衬砌材料的弹性模量；
μ——衬砌材料的泊松比；
t ——衬砌外半径与内半径之比，t=r e /r i 。

图1 衬砌在均匀内水压力作用下的应力计算图
当开挖的洞壁作用有p 0时，按文克尔假定，洞壁的径向变位y=p 0/K=p 0r e /100K 0，此处，K 为岩石的弹性抗力系数，K 0为单位弹性抗力系数。

根据变形相容条件，y=u e ，整理后可得围岩的弹性抗力为
p A
t A
p --=
201 (3)
)
21)(1()
1(00μμμ-+++-=
K E K E A (4)
A 为弹性特征因素，式中的E 、K 0分别的kPa 和kN/m 3计；若以kg/cm 2和kg/cm 3为单位，则需将式中的E 改为0.01E 。

按弹性理论的解答，厚壁管在均匀内水压力p 和弹性抗力p 0作用下，管壁厚度内任意半径r 处的切向正应力σt 为
02
2
2221
)(1)(1p t r r t p t r r e e t -+--+=σ (5) 分别令r =r i 及r =r e ，即可得到单层衬砌在均匀内水压力p 作用下内边缘切向拉应力σ
i
和外边缘切向拉应力σe 为
p A
t A t i -+=22σ (6)
p A
t A
e -+=
2
1σ (7) 因为t ＞1，显然σi ＞σe 。

不计弹性抗力时，K 0=0，A =1。

求出σi 、σe 后，可近似按直线分布，即可换算出轴向拉力N 和弯矩M ，然后与其他荷载算出的N 和M 进行组合。

如果围岩厚度大于3倍开挖洞径，岩石坚固，属于稳定及基本稳定的Ⅰ、Ⅱ类围岩，或按普氏坚固系数f k >6，铅直围岩压力很小，可以忽略不计，且洞径小于6m 时，对于混凝土或钢筋混凝土衬砌，都可以只按均匀内水压力计算衬砌的厚度与应力。

（1）混凝土衬砌 求混凝土的衬砌厚度时，可在式(6)中以混凝土的允许轴心抗拉强度[σhi ]代替内边缘应力σi ，并以t =r e /r i =1+h/r i 代入，经整理后可得
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--+=1][][1p p A r h hl h i σσ (8)
L
L hl K R =
][σ 式中 L R ——混凝土的设计抗拉强度；
L K ——混凝土抗拉安全系数，按表1选用。

表1 混凝土的抗拉安全系数表
由式(8)可以看出，[σhl ]应大于p ，A 应为正值，否则h 无解或不合理。

若A 为正值，而p 大于[σhl ]时，应提高混凝土的标号，或改用钢筋混凝土衬砌。

若围岩坚固，内水压力较小，虽算得的h 很不，但采用值应不小于结构的最小厚度。

当给定衬砌厚度时，可用式(9)求出能承受的最大内水压力p 。

[]hl A
t A
t p σ+-=2
2 (9) （2）钢筋混凝土衬砌 同样，求钢筋混凝土衬砌厚度h 时，可用钢筋混凝土结构混凝土的允许轴心抗拉强度 [σgh ]代替式(10)中的[σhl ]，得到
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--+=1][][p p A r h gh
gh i σσ (10)
衬砌的内边缘应力，可按下式校核：
][22gh n i A
t A
t p F F σσ≤-+= (11)
f
f gh K R =
][σ
式中 f R ——混凝土的设计抗裂强度；
F ——沿洞线1m 长衬砌混凝土的纵断面面积； n F ——F 中包括钢筋在内的折算面积；
f K ——钢筋混凝土结构的抗裂安全系数。

如果由式求出的h 为负值或小于结构的最小厚度时，则应采用结构的最小厚度，钢筋可按结构的最小配筋率，对称配置。

当围岩条件较差，或圆洞直径大于6m 时，不能只按内水压力设计衬砌。

此时，应该计算出均匀内水压力作用下的内力，然后与其他荷载引起的内力进行组合后，再行设计。

如果允许衬砌开裂而按限制裂缝开展宽度进行设计时，可参考有关资料或《水工钢筋混凝土结构设计规范》（SDJ20-78）的方法进行。

2、其他荷载作用下的内力计算
（1）考虑弹性抗力的内力计算
1）其本假定和计算方法。

如果围岩较好，在围岩压力、衬砌自重、无水头洞内满水压力作用下，应考虑弹性抗力的存在。

根据研究，约在顶拱中心角90°范围以下部分，衬砌变形指向围岩，作用有弹性抗力(图2)，其分布规律为
ϕδδπ
ϕπ
2cos 2
4
a K K -=≤≤，
ϕδϕδδπ
ϕπ
22cos sin ,2
2
b a K K K +=≤
≤
其中πϕπ
ϕδδ==
及分别为和2
b a K K 处衬砌受到的弹性抗力。

图2 圆形隧洞衬砌弹性抗力分布及计算简图
(a)~(c) 在围岩压力、衬砌自重、洞内无水头满水压力作用下的弹性抗力分布；
(d) 在围岩压力作用下的计算简图
现以铅直围岩压力为例，说明内力的计算方法和步骤图2(d)。

自洞顶切开，引刚臂至圆心，亦即弹性中心，由于荷载及结构左右对称，故切力X 3=0。

取一半计算，力法方程为
⎭
⎬⎫
=∆+=∆+0022221111P P X X δδ (12)
b a p P δδ和都包含有待定的和21∆∆解之可得
⎭
⎬⎫
==),(),(2211b a b a f X f X δδδδ (13)
根据向下的总荷载与向上的弹性抗力合力相平衡∑=)0(Y 及在X 1、X 2和外力作用下，2/πϕ=处的变位应为a δ的两个补充条件，可以解得b a δδ和。

将b a δδ和代入式(13)，即可求
出X 1和X 2，从而可解出各断面的弯矩和轴向力。

计算中忽略了轴向力对压缩变形的影响以及衬砌与围岩间的摩擦力。

弯矩M 以内缘受拉为正，轴向力N 以受压为正。

2）各种荷载作用下的内力计算。

按上述方法，可求得圆形隧洞衬砌在各种荷载作用下考虑弹性抗力时的内力计算公式。

①铅直围岩压力作用下的内力计算。

[][]⎭
⎬⎫
+++=+++=)1()1(a Gn F Da qr N a Cn B Aa qrr M e e (14)
式中 M ——计算截面上的弯矩，kN·m ；
N ——计算截面上的轴向力，KN; q ——铅直围岩压力强度，kPa ； r e ——衬砌的外半径，m ； r ——衬砌的平均半径，m ；
r
r a e
-=2 Kb
r r EJ
n e 3
06416.01
+=
K ——弹性抗力系数，Kn/m 3； E ——材料的弹性模量，kPa ； J ——计算断面的惯性矩，m 4； b ——计算宽度，取b=1m 。

系数A 、B 、C 、D 、F 及G 与ϕ角有关，可由表2查用
表2 铅直围岩压力作用下的内力计算系数表
②衬砌自重作用下的内力计算。

⎭
⎬⎫
+=+=)()(11112n D C gr N n B A gr M (15)
式中 g ——单位面积的衬砌自重，kPa ； 其余符号的意义同前。

系数A 1、B 1、C 1、D 1见表3。

③无水头洞内满水压力作用下的内力计算。

⎭
⎬⎫
+=+=)()(222222n D C r N n B A r r M i i γγ (16)
式中 γ——水的容重，KN/m 3；
r i ——衬砌的内半径，m ； 其余符号的意义同前。

系数A 2、B 2、C 2、D 2见表4
表4 无水头洞内满水压力作用下的内力计算系数表
④外水压力作用下的内力计算。

在无内水压力组合的情况下，当衬砌所受的浮力小于铅直围岩压力及衬砌自重之和即)(22gr qr r r e e ππ+<时，可采用式17计算。

⎭
⎬⎫
++-=+-=e e e r h n D C r N n B A rr M ωγγγ)()
(222222 （17）
式中 ωh ——均匀外水压力计算水头，m ； 其余符号的意义同前
当)(22gr qr r e e πγπ+≥时，应按不考虑弹性抗力的公式表4-1-12中第五项)(22gr qr r e e πγπ+>条件下的公式计算内力。

当有内水压力组合时，衬砌本身所受浮力小于自重。

因此，迭加后的弹性抗力仍为正值，与计算图形相符，不受)(22gr qr r e e πγπ+<条件的限制。

（2） 不考虑弹性抗力时的内力计算 当地质条件较差、岩体软弱破碎，坚固系数5.1≤k f 时，就不应该考虑围岩的弹性抗力作用，而且还要考虑侧向围岩压力。

此时，除能自行平衡的荷载（如侧向围岩压力）外，应有地基反力与相应的作用力相平衡。

地基反力以余弦曲线分布较为合理，作用在衬砌的下半圆上(图3 )。

最大反力强度R 由平衡条件极易求得，与衬砌的变形无关。

铅直围岩压力、侧向围岩压力、衬砌自重、无水平头洞内满水压力及外水压力作用下的内力计算公式和系数见表5。

(a)铅直围岩压力；(b)衬砌自重；(c)侧向围岩压力；(d)水重
8
表5 不考虑弹性抗力(反力按余弦曲线分布)时，围岩压力等荷载作用下衬砌内力计算表 ⎩⎨
⎧--轴向受压为正
内壁受拉为正N M
注：表中e r
r a r rg qr e
e e ;2;)(22-=+=
πγλ—侧向压力强度；其余符号的意义同前。

应当注意，当)(22gr qr r e e πγπ+>时，由外水压力产生的内力计算公式，只适用于隧洞施工、检修无内水压力的组合情况。

如有内水压力的组合，即使)(22gr qr r e e πγπ+>，也应按)(22gr qr r e e πγπ+≤条件下的公式进行计算，因为，此时衬砌本身的浮力总是小于自重。

当荷 载组合中同时有均匀内水压力和均匀外压力时，如果e w i r h pr γ>，应以i
e
r r h p ωγ-
作为均匀
内水压力计算内力，不再计算均匀外水压力的作用；如e w i r h pr γ<时，则应以e
i
r pr h -ωγ作为均匀外水压力计算内力，不再计算均匀内水压力所产生的内力。

3、隧洞衬砌设计中的几个问题
（1）水工隧洞沿线的地质条件及计算参数常是变化的，内、外水压力同样也随断面位置的不同而不同。

要使衬砌设计达到安全和经济的目的，应当根据变化情况将隧洞沿轴线分成若干段落，分段进行设计。

（2）一般有压隧洞的内水压力是主要荷载，当内水压力较大时，断面多属小偏心受拉情况，可布置同一直径的环向受拉钢筋。

但如洞径、围岩压力均较大，而内水压力相对较小时，包括无压隧洞，断面内的正负弯矩变化较大，应力分布很不均匀。

此时，应按应力分段配筋，将几段不同直径的环向钢筋焊扎起来。

（3）目前工程设计中，在设计钢筋混凝土，混凝土衬砌时，有控制抗裂稳定性和允许开裂而限制裂缝开展宽度两种不同的考虑和要求。

对于无压隧洞和围岩较厚而渗水不会对附近围岩、岩坡和建筑物产生有害影响的有压隧洞，可按允许开裂限制裂缝开展宽度设计。

否则应按控制混凝土的抗裂稳定性要求设计。

按限裂设计，裂缝的最大允许值，根据水力梯度和水质有无侵蚀性，一般限制在0.15~0.30mm 。

限裂设计可以大量节省混凝土和钢筋用量，且对混凝土的耐久性和钢筋的锈蚀不会产生有害影响，所以，目前在水工隧洞设计中已广为采用。

（4）对于高水头的有压隧洞，当围岩条件较差，单层衬砌需要的厚度过大时，可采用外层为混凝土或钢筋混凝土，内层为钢板的组合式双层衬砌。

我国冯家山水库有压泄洪洞出口段及西南地区一些高压引水道斜井均采用这种衬砌。

如外层混凝土不开裂，且围岩有一定承载能力时，内水压力将由内层衬砌、外层混凝土和围岩共同承受，设计中只要能求出内、外层衬砌之间的均布作用力后，外层衬砌即可按单层衬砌设计，而内层钢板只按内水压力和内外层之间的均布压力计算。

如外层混凝土开裂，外层衬砌只起向围岩传力的作用，而内水压力将由内层和围岩来分担，但应考虑混凝土受压后径向压缩的影响，外层衬砌厚度可按施工要求或按施工期荷载用单层衬砌计算确定。

因此，双层衬砌计算的主要问题，在于确定在内水压力作用下两层衬砌之间的作用力，其值可根据外层内边缘和内层外边缘径向变位一致的条件来确定。