第二章向量的数量积【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件

a·b=
.
解析 a·b=|a||b|cos <a,b>=2× 3×cos 30°=2× 3 ×
答案3
3
2
=3.
激趣诱思
知识点拨
二、投影
1.如图,已知两个非零向量 a 和 b,作=a,=b,
过点 A 向直线 OB 作垂线,垂足为 A',得到 a 在 b 上的投影 γ=',γ
称为投影向量.
5.1
向量的数量积
课标阐释
1.理解平面向量的数量积的定义及其物理意义.(数学抽象)
2.掌握数量积公式及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)
3.掌握平面向量数量积的性质及运算律.(数学运算)
4.会求向量的数量积及夹角,能运用数量积求投影数量.(数学抽象、数学
运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
一只猴子捡到一把钝刀,连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教,砍柴人说
180°.反过来,若a与b的夹角是锐角,则a·b>0;若a与b的夹角是钝角,则
a·b<0.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)向量的夹角和直线的夹角的范围相同.(
(2)设向量a与b夹角为θ,则cos θ>0⇔a·b>0.(
答案(1)×
)
)
(2)√
微练习
已知向量a和b的夹角为30°,|a|=2,|b|=3,则向量a和b的数量积
当90°<<a,b>≤180°时,a·b<0;
当<a,b>=0°时,a·b=|a||b|;当<a,b>=180°时,a·b=-|a||b|.
名师点析对数量积含义的理解
(1)向量的数量积a·
b,不能表示为a×b或ab.
(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果
是一个向量,其长度是原向量长度的倍数.
90°<θ<
θ=90°
θ=180°
180°
正数
0
图形
b 在 a 上的
投影数量 正数
的正负
负数
负数
激趣诱思
知识点拨
微练习
π
已知|a|=3,向量 a 与 b 的夹角为 ,则 a 在 b 方向上的投影数量为
3
(
)
3 3
A.
1
2
C.2
3 2
B.
3
D.2
2
π
3
解析向量 a 在 b 方向上的投影数量为|a|cos θ=3×cos3 = 2.
探究二
探究三
当堂检测
变式训练 1 如图所示,已知圆 O 为△ABC 的外接圆,AB=6,BC=7,CA=8,
则 · + · + ·=
.
1
解析 ·=||·||cos(180°-∠BAO)=- ||2.同理, ·
1
=-2
| |2,
1
1
·=-2 ||2,所以 · + · + ·
若向量a满足a·a=8,则|a|=
.
解析因为|a|2=a×a=8,所以|a|=2
.2答案2 2来自究一探究二探究三
当堂检测
求平面向量的数量积
数量积的简单计算
例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)(2a-b)·(a+3b).
角度1
1
解(1)a·b=|a||b|cos 120°=2×3× - 2 =-3.
对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.
形
.
答案若a·
b>0,则a与b的夹角是锐角或0°;若a·
b<0,则a与b的夹角是钝角或180°.
已知向量a和b的夹角为30°,|a|=2,|b|=3,则向量a和b的数量积
按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos
A. 3
B.3
C. 2
D.2
)
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解析如图,
因为 + + =0,
所以 + =0,所以 = ,
所以四边形 ABOC 为平行四边形,又 O 为△ABC 外接圆的圆心,且
||=||=2,
所以△OAB 是边长为 2 的正三角形,
所以平行四边形 ABOC 是边长为 2 的菱形且∠ABO=60°.
149
=-2×(62+72+82)=149
答案-
2
2
2
.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求向量的投影数量
例3如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:
(1)在方向上的投影数量;
(2) 在方向上的投影数量.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角
不正确,即a·
b=b·
c
a=c.
2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·
b)·
c=a·
(b·
c)一般不成立.
这是因为(a·b)·
c表示一个与c共线的向量,而a·
(b·
c)表示一个与a共线的向
量,而c与a不一定共线,所以(a·
b)·
c=a ·
(b·
c)一般不成立.
激趣诱思
(3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ
的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定.
激趣诱思
知识点拨
微思考
若a·b>0,a与b的夹角是锐角吗?a·b<0,a与b的夹角是钝角吗?反过来说呢?
答案若a·
b>0,则a与b的夹角是锐角或0°;若a·b<0,则a与b的夹角是钝角或
(2)(a-b)·(a-b)=|a|2-2a·b+|b|2.
当a·b=0时,a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b.
答案若a·b>0,则a与b的夹角是锐角或0°;若a·b<0,则a与b的夹角是钝角或180°.
2
2
=-2 2.
(2) 在方向上的投影数量是||cos 135°=2 2 × -
“把刀放到石上磨一磨”.猴子高兴地跑回去,把刀放在一块石头上拼命
地磨,直到发现刀口和刀背差不多厚了,才停下来……结果当然是失败
的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功.
物理学当中的做功在数学中叫什么,是如何表示的呢?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的数量积的定义
如图,已知两个非零向量 a 与 b,作=a,=b,
在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.在确定两向
量的夹角时,一定要注意“共始点”.
答案若a·b>0,则a与b的夹角是锐角或0°;若a·b<0,则a与b的夹角是钝角或180°.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练 2 已知△ABC 外接圆的圆心为 O,半径为 2, + +
=0 且||=||,则向量在方向上的投影数量为(
向量 a 与 b 的夹角∠AOB 记为<a,b>或 θ(0°≤θ≤180°).
|a||b|cos θ 称为 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos
<a,b>=|a||b|cos θ.
激趣诱思
知识点拨
规定零向量与任一向量的数量积为0.
当0°≤<a,b><90°时,a·b>0;当<a,b>=90°时,a·b=0;
延长 AB 到 E,则与的夹角为∠DBE=180°-45°=135°.因此,
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
(数学运算、直观想象)
(1)在方向上的投影数量是||cos 135°=4× -
向量数量积的运算律的综合应用
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)两个向量的数量积的运算结果是一个向量.(
(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.(
(3)(a-b)·c=a·c-b·
c.(
答案(1)×
)
(2)× (3)× (4)√
)
)
知识点拨
激趣诱思
四、平面向量的数量积的性质
1.若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos<a,e>;
所以∠AEB=120°.
所以在△AEB 中,AE=BE=2.
所以 · =( + )·( + )
=-||2+ · + · + ·
=-12+2 3×2×cos 30°+5×2 3×cos 30°+5×2×cos 180°=-1.
答案-1
探究一
探究二
所以||=2,∠ACB=30°,故向量在方向上的投影数量为
||cos∠ACB=2×cos 30°= 3.
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
向量数量积的运算律的综合应用
例4已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角θ为60°,求(a+2b)·(a-3b).
|a|cos<a,b>称为投影向量 γ 的数量,也称为向量 a 在向量 b 方向上

的投影数量,可以表示为 a·||.
激趣诱思
知识点拨
2.由向量投影的定义,可以得到向量的数量积a·b的几何意义:
b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积(如下图);
或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积.
探究三
当堂检测
反思感悟 1.解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图
形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已
知长度的向量.
2.向量的夹角是由向量的方向确定的,在△ABC 中, 与, 与
, 与的夹角不是角 C,角 A,角 B,而是它们的补角.
探究一
名师点析1.a在b上的投影与b在a上的投影是不同的.
2.向量b在向量a方向上的投影数量不是向量而是数量,它的符号取决于a与b
的夹角θ的范围.
激趣诱思
知识点拨
微思考
按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos θ,其具体
情况,我们可以如何借助图形分析?
答案
θ 的范围 θ=0°
0°<θ<90°
(a-b)=|a|2-2a·
b+|b|2.
(3)(a+b)·
(a-b)=|a|2-|b|2.
激趣诱思
知识点拨
微思考
在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0;而在向量数量积的运算中,
能由a·b=0推出a=0或b=0吗?
答案不能.当a·b=0时,a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b.
微练习
答案(1)× (2)√
当<a,b>=0°时,a·b=|a||b|;当<a,b>=180°时,a·b=-|a||b|.
按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos θ,其具体情况,我们可以如何借助图形分析?
2
2
=-2.
反思感悟 求投影数量时要搞清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投影,
θ,其具体情况,我们可以如何借助图形分析?
又D是BC边的中点,
计算形如(ma+nb)·(pa+qb)的数量积可仿照多项式乘法的法则展开计算,再运用数量积定义求解.
难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功.
所以AD⊥BC,∠ABD=45°,
于是它向砍柴人请教,砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”.
(2)(2a-b)·(a+3b)=2|a|2+5|a||b|cos 120°-3|b|2=8-15-27=-34.
反思感悟 求向量的数量积时,需明确两个关键点,相关向量的模和夹角.
若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量
积的运算律进行化简,再进行数量积运算.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
角度 2 几何图形中向量数量积的计算
例 2(2019 天津高考)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2 3,AD=5,∠
A=30°,点 E 在线段 CB 的延长线上,且 AE=BE,则 ·
=
.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解析因为 AD∥BC,且∠DAB=30°,所以∠ABE=30°.
因为 AE=BE,所以∠EAB=30°.
已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.
若a·b=a·c,则b=c
当90°<<a,b>≤180°时,a·b<0;
所以 BD=2 2.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
若a·b=a·c,则b=c
反思感悟 熟练掌握两向量的数量积的定义及运算性质,是解决此类问题的关键.
向量数量积的运算律的综合应用
2.若a,b是非零向量,则a·b=0⇔a⊥b;
3.a·a=|a|2,即|a|= ·;
4.cos<a,b>=
·
(|a||b|≠0);
||||
5.|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
名师点析常用运算公式
(1)(a+b)·
(a+b)=|a|2+2a·
b+|b|2.
(2)(a-b)·
答案D
激趣诱思
知识点拨
三、平面向量数量积的运算律
对任意的向量a,b,c和实数λ.
(1)交换律:a·b=b·a.
(2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·
(λb).
(3)关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
名师点析1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc⇒a=c.但对于向量的数量积,该推理