2014年泉港一中高中自主招生(数学及答案)

2014年泉港一中高中自主招生加试数学试卷2014.5.10
（总分：120分 请将答案或解答填到答题卷上）
一、填空题（本大题共10小题；每小题5分，共50分）
1．某同学在使用计算器求30个数的平均值的时候，错将99误输入为9，那么由此求出的平均数与实际平均数的差的绝对值为 ． 2．已知1=x 是关于x 不等式组⎩
⎨
⎧>≤a x x 2
的一个解，那么实数a 的取值范围是 ． 3. 如果130
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-m m ，则实数m 的取值范围为____________ 4．已知：21
10,2110+=
-=
y x ， 则xy
x y y xy x ---22的值为__________． 5．一个圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的底面半径是_______．
6．（如图）随机地在如图所示的等边三角形及内区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为 ．
7．一束光线从y 轴上的点A （0 ,m ）出发，经过x 轴上的点M ⎪⎭
⎫
⎝⎛0,43反射后恰好经过点B （3，3）,则=m ．
8．设点P 是半径为5的⊙O 内一定点，且OP ＝4，则过点P 的所有弦中，弦长可能取到的所
有整数值之和为 ．
9．如图,已知⊙O 过正方形ABCD 的顶点A 、D ，且与BC 边相切，若⊙O 的半径
为1，则正方形的边长为 ．
10．将1，－2，3，－4，5，－6……按一定规律排列如下
图，则第10行从左到右第9个数是__________．
二、解答题（本大题共6小题；共70分）
11. （本题满分10分）如图，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的五个等分
点，连接AC 、BE 相交于点F. （1）求证：AC AF AB ⋅=2
（2）设n CF m AF ==,，求n m :的值．
12．（本题满分10分）已知函数2x y -=的图象向右平移2个单位，再向上平移n )0(>n 个
单位后得到的抛物线C 恰好与直线82+-=x y 相切与点A. （1）求抛物线C 得解析式 （2）若抛物线C 的顶点为B ，交
y 轴与点D ，∆ABD 的外接圆交x 轴与M 、N 两点，
求MN 的长
13. （本题满分12分）为了探索代数式()168422
+-+
+x x 的
最小值，小李同学运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作,AB BD ED BD ⊥⊥，连结AC 、EC ．已知AB=2，DE=4，BD=8，
设BC=x ．则42
+=x AC ，()1682+-=
x CE ， 则问题即
转化成求AC+CE 的最小值．
（1）我们知道当A 、C 、E 在同一直线上时， AC+CE 的值最小，于是可求得
()168422+-+
+x x 的最小值等于 ，此时x
= ；
（2）请你根据上述的方法和结论，若代数式()2
22
121x m x -++
+（其中)0>m 的最
小值等于13，求m 值.
14. （本题满分12分）已知关于x 的方程0)3)(1(2=+--m x x x ，m 为实数． （1）当4=m 时，求方程的根；
（2）若方程的三个实根中恰好有两个实根相等，求m 的值；
（3）若方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，求m 的取值范围．
15. （本题满分14分）在等腰三角形中，建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底
边与腰长的比叫做顶角的正对（符号为sad ）.如图1，在∆ABC 中，AB=AC ，顶角A 的
正对记作sad A ，这时sad A=底边÷腰=
AB
BC
.容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解决下列问题：
（1）计算：sad 0
60= ________；sad 0
90= ________；sad 0
120= ________； （2）对于0
0＜A ＜0180，则∠A 的正对值sad A 的取值范围是_____________． （3）如图2在直角三角形ABC 中BC AC ⊥，已知sin A=5
3
，试求sad A 的值．
16.( 本题满分14分)当11x -≤≤时，函数2221y x mx n =--++的最小值是4-，最大值
是0，求m 、n 的值.
2014年泉港一中高中自主招生数学参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共10小题；每小题5分，共50分）
1． 3
2． 1<a 3．0>m 且31≠
m 4． 9
104 5．2 6
7．1 8. 40 9．
5
8
10． -90 二、解答题（本大题共6小题；共70分）
11．（本小题满分10分）
（1）证明：A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上的五个等分点，
∴五边形ABCDE 为⊙O 的内接正五边形，其每个内角为
()
1085
18025=⨯-，
∠ABF=∠BAF=∠ACB= 36,∠CBF=∠CFB= 72, ∴∆AB F ∽∆ACB, AB=BC=CF, 则AB
AF AC AB =得AC AF AB ⋅=2
…………………5分
（2）解：由（1）有AB=CF=n, 由AC AF AB ⋅=2
=()CF AF AF +⋅
∴)(2n m m n +=，化为022=-+n mn m
012
=-⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n m n m ，而0>n m 解得
2
1
5-=n m 符合题意 . ..…………………10分 12．（本小题满分10分）
解：（1）抛物线C:())0(22
>+--=n n x y
联立()⎩⎨⎧+--=+-=n
x y x y 2
282化为01262
=-+-n x x
直线与抛物线相切
∴0)12(436=--=∆n 得3=n
∴抛物线C 的解析式为()322
+--=x y …………………5分
（2）令0=x 得1-=y ，∴ D(0，-1), 抛物线的顶点B(2，3) 由（1）n=3时0962
=+-x x 得3=x
∴切点A(3，2)
则2,52,23===AB BD AD ,满足2
2
2
AB AD BD +=
∴ABD ∆为斜边BD 的直角三角形，
其外接圆圆心E 为BD 中点E(1，1),半径为52
1
==
BD r , ∴MN 的长度为4152222=-=-d r …………………10分
13．（本小题满分12分）
解： （1）最小值10，此时3
8
=x …………………6分
（2）由（1）设A B ⊥BD,ED ⊥DB,AB=1，DE=m ，BC=x 则()222
12,1m x CE x AC +-=
+=
∴()2
22121x m x -+++的最小值=AC+CE 的最小值
AC+C E ≥AE=13
∴()222
13121=++m 且0>m
∴4=m ，此时由
x x -=1241得5
12=x …………………12分 14．（本小题满分12分）
解： （1）m=4时方程为0)43)(1(2
=+--x x x 得01=-x 或0432
=+-x x 由01=-x 得1=x
由0432
=+-x x 得07169<-=-=∆，该方程无实数解
∴方程的实根为1=x …………………3分
（2）由由01=-x 得11=x
由032
=+-m x x 得049≥-=∆m 两根为32,x x
若12=x ，则031=+-m 得2=m ，方程为0232
=+-x x 得2,132==x x 符合题意
若32x x =时049=-=∆m 得4
9=
m 方程为04932
=+-x x 得2332==x x 符合题意
综上知2=m 或4
9
=m …………………8分
（3）方程的三个实根满足11=x ，032
=+-m x x 得049≥-=∆m 两根为32,x x 且,332=+x x m x x =⋅32
方程的三个实根恰好能成为一个三角形的三边长，
则⎪⎩⎪
⎨⎧<-≥-=∆>1
||049032
x x m m 由()1494||3
222232<-=-+=
-m x x x x x x 得2>m
4
9
2≤
<∴m …………………12分 15．（本小题满分14分）
解：（1）sad 0
60= ____1_； sad 090= 2； sad 0
120= 3；…………………4分 （2）20<<sadA …………………8分 （3）不妨设BC=3，AB=5则AC=4，
在AB 上取点D ，使得AD=4，故ACD ∆为腰长4的等腰三角形，作CE ⊥AB 于E 点。

由面积法得5
12=
CE 在直角三角形BCE 中5951292
2
2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=CE BC BE
∴,5
4
=-=BD BE DE
在直角三角形ECD 中5
10
42
2
=
+=DE CE CD ∴在等腰三角形ACD 中5
10
=
=
AC CD sadA …………………14分
16．（本小题满分14分）
解：()2
22
22121y x mx n x m m n =--++=-++++,其对称轴为直线x m =-,……2分
①当 1,m -≤-即1m ≥时，1221412210m n m n --++=-⎧⎨
-+++=⎩,解得1
1m n =⎧⎨=-⎩
…………………4分
②当10,m -<-<即10<<m 时, 221012214
m n m n ⎧++=⎨--++=-⎩消去n 得，2
230m m +-=,
解得1m =或3-=m ,舍去。

…………………7分
③当 01,m <-<即10m -<<时，2210
12214
m n m n ⎧++=⎨-+++=-⎩
解得1m =-或3=m ，舍去。

…………………10分 ④当 1,m -≥即1m ≤-时，1221012214m n m n --++=⎧⎨
-+++=-⎩解得1
1
m n =-⎧⎨=-⎩…………13分
综上所述1,1m n ==-或1,1m n =-=-…………14分。