人教版八年级上册 第11章 三角形有关作图题 专项训练

三角形作图题
1.已知一个三角形的两条边长a，b与一个内角为40°．
（1）请你用“尺规作图”画出一个满足题设条件的三角形．
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？
若能，请用“尺规作图”画出，若不能，请说明理由．
2.作图题：
（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC；
（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：
当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的______ ；
当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的______ ；
当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的______ ；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个．
3.学之道在于悟．希望同学们在问题（1）解决过程中有所悟，再继续探索研究问题
（2）．
（1）如图①，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC．
①求证：△ADE为等腰三角形．
②若∠B=60°，求证：△ADE为等边三角形．
（2）如图②，射线AM与BN，MA⊥AB，NB⊥AB，点P是AB上一点，在射线AM 与BN上分别作点C、点D满足：△CPD为等腰直角三角形．（要求：利用直尺与圆规，不写作法，保留作图痕迹）
4.已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为
40°．
（1）请你借助图画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？
若能，请你在下图画这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？分别画出草图，并在图中相应位置标明数据．（画图请保留作图痕迹，并把符合条件的图形用黑色笔
5.课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成
3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
6.【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL“）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90○，根据______ ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图
7.我们经常遇到需要分类的问题，画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类．
【例题】在等腰三角形ABC中，若∠A=80°，求∠B的度数．
分析：∠A、∠B都可能是顶角或底角，因此需要分成如图1所示的3类，这样的图就是树形图，据此可求出∠B=
【应用】
（1）已知等腰三角形ABC周长为19，AB=7，仿照例题画出树形图，并直接写出BC的长度；
（2）将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法，请你画出其他所有可能的情形，并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度．（选用图3中的备用图画图，每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号，若备用图不够，请自己画图补充）
8.如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．
（1）分别写出点A、B、C三点的坐标；
（2）作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′（不写作法）；
（3）写出△ABC关于x轴对称的三角形的各顶点坐标．
9.在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其
中CD交直线AP于点E．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB=30°，求∠ACE的度数；
（3）如图2，若60°＜∠PAB＜120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．
答案和解析
【答案】
1. 解：（1）如图1，△ABC即为所求作三角形；
（2）如图2，△DEF中，∠D=40°，DE=a，EF=b，当△ABC与△DEF不全等．
2. 内部；斜边的中点；外部
3. （1）①证明：在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴DA=DE，即△ADE为等腰三角
形；
②解：∵△ABD≌△DCE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠B=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∴∠CAE+∠ADB=120°，
∴∠ADE=60°，又△ADE为等腰三
角形，
∴△ADE为等边三角形；
（2）有三种情况，PC=PD、CP=CD、DC=DP，
如图所示：
4. 解：（1）如图（1）所示：
（2）如图（2）所示：
（3）如图所示：
．
5. 解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）如图所示：
6. HL
7. 解：（1）树形图如下：
当AB为底边，BC为腰时，BC=（19-7）=6；
当AB为腰，BC为腰时，BC=AB=7；
当AB为腰，BC为底边时，BC=19-2×7=5；
综上所述，BC的长度是5、6或7．
（2）如图所示，共有6种情况．
8. 解：（1）由图可知，A（-3，3），B（-5，1），
C（-1，0）；
（2）如图所示：
（3）△ABC关于x轴对称的三角形的各顶点坐标
（-3，-3）、B（-5，-1）、C（-1，0）．
9. 解：（1）所作图形如图1所示：
（2）连接AD，
如图1．∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD=AB，∠DAP=∠BAP=30°，
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴AD=AC，∠DAC=120°，
∴2∠ACE+60°+60°=180°，
∴∠ACE=30°；
（3）线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．
证明：连接AD，EB，如图2．
∵点D与点B关于直线AP对称，
∴AD=AB，DE=BE，
∴∠EDA=∠EBA，
∵AB=AC，AB=AD，
∴AD=AC，
∴∠ADE=∠ACE，
∴∠ABE=∠ACE．
设AC，BE交于点F，
又∵∠AFB=∠CFE，
∴∠BAC=∠BEC=60°，
∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．
【解析】
1. 解：①三角形的周长是它的中点三角形的周长的2倍是真命题；
②三角形的三条中线不能平分它的中点三角形的三边是假命题；
③三角形的三条角平分线平分它的中点三角形的三个内角，是真命题；
故选：B．
根据中点三角形的性质判断即可．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
2. （1）设已知角为∠A，在∠A的一条边上截取AB=b，在另一条边上截取AC=a，连接BC，则△ABC就是要作的三角形；
（2）先作一个等于已知40°的∠D，然后在∠D的一条边上截取DE=a，再以E为圆心，b为半径画弧交∠D的另一边于点F，则△DEF就是要作的三角形．
本题考查了作图-复杂作图，掌握利用“边角边”画三角形的方法与“角边边”画三角形是解题的关键，需要注意，根据画法的不同，因为边角的对应关系发生改变，而导致最后两个三角形不全等，所以在平时的学习中对定理的记忆一定要准确．
3. 解：（1）如图所示：
分别作出三角形任意两边垂直平分
线，
根据垂直平分线的性质，可得两直线
的交点，即是P点．
（2）结合图象可知：
故填：内部；斜边的中点；外部
利用三角形外心的作法，确定P点的位置，根据三角形的形状不同，圆形与三角形有三种位置关系．
此题主要考查了三角形外心的作法，以及外心与不同三角形的位置关系．
4. （1）①先根据∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，进而得到△ADE为等腰三角形；
②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根据∠ADC=∠B+∠BAD，
∠ADC=∠ADE+∠EDC，得到∠ADE=∠B=60°，最后判定等腰△ADE为等边三角形；
（2）分三种情况讨论：∠CPD为直角顶点；∠PCD是直角顶点；∠PDC是直角顶点，分别进行画图即可．第一种情况：使得AP=BD，BP=AC；第二种情况：使得AC=AB，CE=AP，BD=AE；第三种情况：使得BD=AB，DF=BP，AC=BF．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法．解题时注意分类讨论思想的运用．
5. （1）利用已知条件画出符合要求的图形即可；
（2）利用已知条件画出符合要求的图形即可；
（3）利用已知条件画出符合要求的图形即可．
此题主要考查了应用设计与作图，利用三角形的形状不确定得出是解题关键．
6. （1）先以底边为腰作顶角为45°的等腰三角形，然后再作腰的垂线得到含顶角为90°的等腰三角形和顶角为135°的等腰三角形；
（2）先过腰上的高得到顶角为90°的等腰三角形，再作此高的垂直平分线得到顶角为
135°的等腰三角形和顶角为45°的等腰三角形．
本题考查了作图-应用与设计作图：首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质作出草图，然后利用基本作图的方法作图．也考查了等腰直角三角形的性质．
7. （1）解：HL；
（2）证明：
如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全
等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，阅读量较大，审题要认真仔细．
8. （1）分三种情况：当AB为底边，BC为腰时，BC=（19-7）=6；当AB为腰，BC
为腰时，BC=AB=7；当AB为腰，BC为底边时，BC=19-2×7=5；
（2）将一个边长为5、12、13的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形，据此可得图形与等腰三角形的腰的长度．
本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角；求等腰三角形的角和边长的计算要注意分类讨论．解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
9. （1）根据各点在坐标系中的位置即可得出结论；
（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）根据关于x轴对称的点的坐标特点即可得出结论．
本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
10. （1）根据题意作出图形；
（2）根据题意可得∠DAP=∠BAP=30°，然后根据AB=AC，∠BAC=60°，得出AD=AC，∠DAC=120°，最后根据三角形的内角和公式求解；
（3）由线段AB，CE，ED可以构成一个含有60度角的三角形，连接AD，EB，根据对称可得∠EDA=∠EBA，然后证得AD=AC，最后即可得出∠BAC=∠BEC=60°．
本题考查了根据轴对称变换作图以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是根据轴对称的性质作出对应点的位置以及掌握等腰三角形的性质．。