历年高考文科数学解答大题分类归纳

历年高考函数大题分类归纳

一、函数大题

1.(本小题满分13分）2011

设()nx mx x x f ++=233

1

.

（1）如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式； （2）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -） 解：（1）已知()nx mx x x f ++=

23

3

1，()n mx x x f ++=∴22' 又()()()322322'-+-+=--=n x m x x x f x g Θ在2-=x 处取极值， 则()()()3022222'=⇒=-+-=-m m g ，又在2-=x 处取最小值-5. 则()()()25342222

=⇒-=-+⨯-+-=-n n g ()x x x x f 233

123

++=

∴ （2）要使()nx mx x x f ++=

23

3

1单调递减，则 ()022'<++=∴n mx x x f 又递减区间长度是正整数，所以()022'=++=n mx x x f 两根设做a ，b 。即有：

b-a 为区间长度。又()()+∈-=-=

-+=

-N n m n m n m ab b a a b ,2444222

又b-a 为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，5,3==n m 符合。

2．（本小题满分12分）2010

设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.

（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；

（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.

解： 2()186(2)2f x x a x a '=+++

（1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118

a

x x =

=，所以9a =； （2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>，

所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数.

3．（本小题满分12分）2009

设函数

32

9()62f x x x x a =-

+-

（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围

解：(1)

'2

()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--, 因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即

2

39(6)0x x m -+-≥恒成立, 所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得

34m ≤-

，即m 的最大值为3

4-

(2) 因为 当1x <时, '()0f x >;当12x <<时, '()0f x <;当2x >时, '()0f x >;

所以 当1x =时,()f x 取极大值

5

(1)2f a =

-;

当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或

5

2a >

.

4．已知函数43

22411()(0)43

f x x ax a x a a =

+-+> 2008 （1）求函数()y f x =的单调区间；

（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．

解：（1）因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+-

令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==

由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示

所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与；()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，

与， （2）由（1）得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47

()()12

f x f a a ==极小值

要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要4457

1312

a a -<<或41a <，

即a >

01a ≤<. 5．（本小题满分12分）2007

已知函数2

1(0)()21(1)x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩

≤满足29()8f c =．

（1）求常数c 的值；

（2

）解不等式()1f x >

+． 解：（1）因为01c <<，所以2c c <；由29()8f c =

，即3918c +=，12

c =． （2）由（1）得411122()211x x x f x x -⎧⎛

⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝

⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩

，，≤

由()1f x >

得， 当102x <<

时，解得142x <<；当112x <≤时，解得15

28

x <≤，

所以()18f x >

+

的解集为58x ⎧⎫⎪⎪

<<⎨⎬⎪⎪⎩

⎭． 6.(本小题满分12分) 2006