【志鸿全优设计】八年级数学上册 第十五章 15.2 分式的运算例题与讲解 新人教版

15.2 分式的运算

1．分式的乘除

(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 用式子表示为：a b ·c d ＝a ·c b ·d

. (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为：a b ÷c d ＝a b ·d c ＝a ·d b ·c

. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式． 【例1】 计算：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b

； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1

； (3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4

； (4)4x 2＋4xy ＋y 2

2x ＋y

÷(4x 2－y 2)． 解：(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ＝4a 4b 2·9x 15x 2·8a 4b ＝3b 10x ； (2)a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1

＝

（a ＋1）（a －1）（a ＋1）2·a ＋1a （a －1） ＝（a ＋1）（a －1）（a ＋1）a （a ＋1）2（a －1）＝1a

； (3)a 2－4a 2＋4a ＋4·2a a 2－4a ＋4

＝

（a ＋2）（a －2）（a ＋2）2·2a （a －2）2 ＝

2a （a ＋2）（a －2）（a ＋2）2（a －2）2 ＝2a a 2

－4； (4)4x 2＋4xy ＋y 22x ＋y

÷(4x 2－y 2) ＝（2x ＋y ）2

2x ＋y ·1（2x ＋y ）（2x －y ）

＝12x －y .

2．分式的乘方

(1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．

(2)用式子表示：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝a n

b n . 解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样．

【例2】 计算： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 34；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －z 23

. 解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a

2－b 34＝（a 2）4（－b 3）4＝a 8b 12

； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －z 23＝（x 2y ）3（－z 2）3＝x 6y 3－z 6＝－x 6y 3z 6. 3．分式的加减

(1)同分母分式相加减：

①法则：分母不变，把分子相加减；

②用式子表示：a c ±b c ＝a ±b c

. (2)异分母分式相加减：

①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；

②用式子表示：a b ±c d ＝ad bd ±bc bd ＝ad ±bc bd

. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号；

(2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定；

(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．

【例3】 计算：

(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）22ab

； (2)

a a 2－1－11－a 2； (3)

1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y 2； (4)

12m 2－9＋23－m ； (5)

x －3x 2－1－2x ＋1； (6)4a ＋2

－a －2.

解：(1)（a －b ）22ab ＋（a ＋b ）2

2ab

＝（a －b ）2＋（a ＋b ）22ab ＝a 2－2ab ＋b 2＋a 2＋2ab ＋b 22ab ＝2a 2＋2b 2

2ab

＝a 2＋b 2ab

； (2)

a a 2－1－11－a 2＝a a 2－1＋1a 2－1 ＝a ＋1a 2－1＝a ＋1（a ＋1）（a －1）＝1a －1

； (3)

1x ＋y －1x －y ＋2x x 2－y 2 ＝

1x ＋y －1x －y ＋2x （x ＋y ）（x －y ） ＝

（x －y ）－（x ＋y ）＋2x （x ＋y ）（x －y ） ＝

2x －2y （x ＋y ）（x －y ） ＝2（x －y ）（x ＋y ）（x －y ）＝2x ＋y

； (4)

12m 2－9＋23－m ＝12（m ＋3）（m －3）－2m －3 ＝

12（m ＋3）（m －3）－2（m ＋3）（m ＋3）（m －3） ＝

12－2（m ＋3）（m ＋3）（m －3） ＝－2（m －3）（m ＋3）（m －3）

＝－

2m ＋3； (5)

x －3x 2－1－2x ＋1 ＝

x －3（x ＋1）（x －1）－2（x －1）（x ＋1）（x －1） ＝x －3－2（x －1）（x ＋1）（x －1）＝－（x ＋1）（x ＋1）（x －1）

＝－

1x －1； (6)4a ＋2－a －2＝4a ＋2

－(a ＋2) ＝4a ＋2－（a ＋2）1＝4a ＋2－（a ＋2）2a ＋2

＝4－（a ＋2）2a ＋2＝4－a 2

－4a －4a ＋2 ＝－a 2＋4a a ＋2

. 4．整数指数幂

一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n (a ≠0)．这就是说，a －n (a ≠0)是a n 的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．

根据整数指数幂的运算性质，当m ，n 为整数时，a m ÷a n ＝a m －n ，a m ·a －n ＝a m ＋(－n )＝a m －n ，

因此a m ÷a n ＝a m ·a －n .

特别地，a b ＝a ÷b ＝a ·b －1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝(a ·b －1)n ，即商的乘方⎝ ⎛⎭

⎪⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b －1)n

.

这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为：

(1)a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 是整数)；

(2)(a m ) n ＝a mn (m ，n 是整数)；

(3)(ab )n ＝a n b n (m ，n 是整数)．

【例4】 计算： (1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫－23－2； (2)a 2b －3(a －1b )3÷(ab )－1.

解：(1)⎝ ⎛⎭

⎪⎫－23－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝149＝94； (2)a 2b －3(a －1b )3

÷(ab )－1＝a 2b －3·a －3b 3·ab ＝a 0b ＝b .

5．科学记数法

(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |

＜10，n 为原数整数部分的位数减1；

(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a ×10－n 的形式，其中n 为原

数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a |＜10.

提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小．

【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来：

(1)650 000；

(2)－36 900 000；

(3)0.000 002 1；

(4)－0.000 006 57.

解：(1)650 000＝6.5×105；

(2)－36 900 000＝－3.69×107；

(3)0.000 002 1＝2.1×10－6；

(4)－0.000 006 57＝－6.57×10－6.